<< 4. Моделирование развитой конвекции | Оглавление | Литература >>
4.1. Двумерная модель растущей планеты
Решение ищется в растущей гравитирующей сфере переменной плотности для не вращающегося тела. Уравнения баланса импульса, энергии и массы сжимаемого вязкого тела можно записать в виде:
где
- плотность тела; 
- удельная
теплоемкость; 
- теплопроводность;
-динамическая вязкость; 
- суммарная мощность
внутренних источников тепла, состоящая из вклада от распада
радиоактивных элементов и «захораниваемой» части тепла от
падения аккумулируемых тел; 
и 
- давление и его
гидростатическая часть; 
- превышение температуры над
адиабатическим значением на данной глубине; 
- вектор
скорости; 
- ее радиальная компонента; 
и
- дифференциальные операторы Лапласа Дельта и Набла,
соответственно; 
- гравитационное ускорение.
Уравнение (4) записано в приближении, которое хорошо выполняется везде, за
исключением слоев фазовых переходов и границы ядро-мантия. Уравнение
(7)
также является приближенным, и оно может оказаться грубым именно на ранних стадиях
эволюции, когда различие в плотности выпадающих тел могло быть значительным, а
давление во внутренних оболочках еще мало по сравнению с пределом прочности пород.
Граничное условие в центре, при 
, есть условие отсутствия сингулярного
источника и отсутствие течения. На внешней растущей границе для учета тепловых
эффектов падения более крупных тел условие (1) преобразуется
в
(44) , а часть захороненной энергии учитывается как вклад в источниковый член
в (38). С учетом полученных ранее результатов
принимается, что в области 
км температура всегда
оставалась ниже значений, которые могли бы обеспечить значения
вязкости, при которых возможна конвекция, поэтому здесь 
. На боковых границах 
и
; заданы
условия, обеспечивающие пространственную периодичность решения, и
эти границы считаются «скользкими». Распределение вязкости как
функции температуры и давления для силикатного состава
использовалось в соответствии с одним из вариантов, предложенных
Б. П. Трубицыным,
. Исследования распределения температуры в
процессе аккумуляции уже в 2D-модели сопряжены с рядом
математических трудностей. Остановимся на основных из них. Первое
принципиальное затруднение: нам не известны математически строго
обоснованные численные схемы решения системы уравнений конвекции
типа (39)-(42) для среды с переменной вязкостью в
области с изменяющейся со временем конфигурацией границ. Второе
принципиальное затруднение: в строго однородном слое с одномерным
распределением температуры и давления даже при значениях
температурного градиента, много большего значений, обеспечивающих
критическую величину числа Релея, , конвекция не возникает.
Сохраняется метастабильное состояние. Это хорошо известный факт и
при моделировании установившейся конвекции он не вызывает
принципиальных трудностей. Конвекция инициализируется либо
заданием неоднородности начальных условий: либо температуры,
либо вихря скорости [8]. Установившийся режим не зависит от
произвола в выборе начальных условий. Иное дело рассмотрение
динамик для системы (39)-(44), которая существенно
зависит от начальных условий.
Чисто техническая трудность обусловлена слишком большими затратами машинного времени имеющихся ЭВМ для решения даже двумерной системы такого типа с достаточно подробным шагом по пространственной сетке. Нами построен эвристический алгоритм, позволивший выполнить численный эксперимент с приемлемыми затратами машинного времени.
В рассмотренных нами вариантах численного решения начальная неоднородность задавалась как тепловая неоднородность в приповерхностном слое, имитирующая тепловой эффект от падения более крупного тела. Результаты решения задачи в 2D-модели с учетом конвекции показали, что удается проследить поднятия восходящих и погружения сопряженных нисходящих струй, формирование первичных неоднородностей планетарной структуры, которая затем могла привести к различному темпу развития больших резервуаров мантии планеты. Отбор геологически приемлемых результатов может быть произведен только на основе сопоставления динамики последующей эволюции планеты с геологически документированной историей Земли.
Установлен факт принципиальной важности: для развития конвекции и последующей дифференциации мантии на стадии аккумуляции планеты необходимо наличие начальной неоднородности либо температуры, либо плотности и т. д. Это переводит различие между моделями типа Сафронова и моделями, предполагающими катастрофическое соударение с гигантским зародышем, из качественного в чисто количественное.
Работа выполнена при поддержке РФФИ, грант N
04-05-64508а.
<< 4. Моделирование развитой конвекции | Оглавление | Литература >>
|
Публикации с ключевыми словами:
геофизика - строение Земли - конвекция
Публикации со словами: геофизика - строение Земли - конвекция | |
См. также:
Все публикации на ту же тему >> | |
