<< 2. Уравнения конвекции | Оглавление | 4. Моделирование развитой конвекции >>

3. Условия возникновения конвекции в мантии

Возникает вопрос: а при каких условиях в системе, поведение которой контролируется гравитационным полем и внутренними источниками энергии, как это явно следует из (3)-(6), возможно стационарное механическое равновесие? Если мы будем рассматривать сферический слой, мощность которого много меньше радиуса Земли, , т. е. при , сферичностью можно пренебречь и слой рассматривать как плоский. Совместим координатную плоскость декартовой системы координат с нижней границей слоя. Ось направим вдоль вектора .

Для того чтобы в явном виде выписать (3)-(6) как систему, нам необходимо использовать уравнение состояния . Поскольку даже состав внутренних оболочек оценен достаточно грубо, то для слоя мантии в качестве уравнения состояния можно использовать приближение

Следовательно, предполагается, что мощность слоя достаточно мала для того, чтобы можно было принять, что распределения температуры, давления и плотности хорошо описываются их средними значениями, которые мы обозначим , , , а отклонения можно считать малыми по сравнению с этими средними в том смысле, что

Тогда в стационарном состоянии механического равновесия (3)-(4) дают

Уравнение (9) называют условием распределения гидростатического давления в жидкости. Взяв от обеих частей этого уравнения, получим важное следствие

т. е. в однородном гравитационном поле гидростатически распределенная плотность может изменяться только вдоль вектора , т. е. оси (у нас не вращающаяся система координат!). Итак, если распределения температуры, давления и плотности удовлетворяют условиям (9)-(10), а они совместимы с граничными условиями, то система может находиться в стационарном состоянии механического равновесия.

Вопрос заключается в том, является ли это состояние устойчивым или произвольные, даже малые возмущения могут вывести систему из механического равновесия. Мы имеем дело с исследованием проблемы устойчивости системы. Состояние системы, характеризующееся набором термодинамических параметров , называют устойчивым по Ляпунову [7], если для любого существует такое, что

здесь  - произвольная функция, описывающая изменение состояния . Наиболее широко на практике для исследования устойчивости термодинамического состояния системы применяется метод нормальных мод [8]. Его использование мы проиллюстрируем на примере изучения устойчивости состояния механического равновесия двухкомпонентной системы, с одним из компонентов которой, для определенности более плотным, связаны радиоактивные источники тепла. Задача впервые была рассмотрена в [9]. Здеь мы приведем несколько модифицированный и упрощенный вариант решения.

Для упрощения задачи примем широко используемое в геодинамике приближение Буссинеска, [8], в котором изменение плотности учитывается только в уравнении баланса импульса (3), а в остальных уравнениях системы принимается постоянной. Тогда из уравнения (6) следует (приближение несжимаемой жидкости), и в уравнении (3) третий член в правой части обращается в нуль. После стандартных преобразований [4, 8] уравнение для баланса энтропии при дополнительном условии

существенно упростится и можно записать

При этом уравнение состояния используется в виде

где в выражениях (14)-(18)  - удельная теплоемкость смеси;  - концентрация тяжелого компонента бинарной смеси;  - удельное энерговыделение радиоактивного элемента;  - концентрация радиоактивного элемента в тяжелом компоненте смеси;  - коэффициент диффузии;  - перекрестнй коэффициент. Аналогично (9)-(10) получаем условия гидростатического равновесия смеси при малости термодиффузии:

Применяя оператор к уравнению (19), получим

Таким образом, распределение температуры и концентрации в состоянии гидростатического равновесия должны быть функциями только вертикальной координаты. Краевые условия, совместимые с условиями (19)-(21) выберем в виде

Условия в (22) на вертикальную компоненту скорости означают, что границы не проницаемые для жидкости и так называемые «скользкие» (последнее принято из соображений удобств последующих вычислений). Решение задачи (21)-(22) имеет вид

Подставляя (23) в (20), получим

Для характерных значений параметров в мантии выражение (24) принимает вид

Теперь рассмотрим отклик системы на произвольные малые изменения состояния (19)-(21) и (23)-(24). Температуру, давление и концентрацию можно представить в виде суммы гидростатически равновесных значений и малых возмущений. Эти малые возмущения также описываются уравнениями конвекции (14)-(17). Прежде чем выписать систему уравнений для возмущений, произведем очень важное преобразование, перейдем к безразмерным переменным (необходимо помнить, что операторы и размерны!). В качестве единицы длины выбираем мощность слоя , единицу времени ; скорости ; температуры , ; концентрации , ; давления .

Тогда краевая задача для возмущений в линейном относительно малых возмущений приближении может быть приведена к виду

где  - число Прандтля;  - число Релея;
 - его диффузионный аналог; ; . Левые части уравнений (25)-(28) в отличие от исходных
(14)-(17) не содержат нелинейных относительно возмущений членов, поскольку вошли только градиенты гидростатически равновесных распределений температуры и концентраций. Тогда входящие в (25)-(28) функции вида можно представить в виде:
. Входящая в показатель экспоненты величина носит название декремент затухания. Это может быть, вообще говоря, комплексная величина. Нарастание или затухание возмущений определяется вещественной частью , при наших обозначениях для данное возмущение со временем затухает. Если это выполняется для всех возможных возмущений, то в соответствии с определением устойчивости системы (12) анализируемое состояние устойчиво. Напротив, если найдется возмущение, для декремента затухания которого выполняется , то амплитуда такого возмущения быстро растет и состояние системы не устойчиво. Ниже для обозначения пространственных амплитуд возмущений скорости, температуры и концентрации мы сохраним те же обозначения , что и в (25)-(28).

С тем чтобы избавиться от члена с градиентом давления в (25) (для возмущения давления весьма сложно сформулировать граничные условия), используется стандартный прием. Возьмем от обеих частей уравнения и спроектируем на ось . При этом будем учитывать, что ни коэффициенты в уравнениях (25)-(28), ни граничные условия не зависят от горизонтальных координат. Поэтому выражения для пространственных амплитуд можно выбрать в виде

Тогда уравнение (25) приводится к виду

где верхний индекс в скобках означает порядок производной по , а . Граничные условия (28) позволяют выбрать зависимость амплитуд от вертикальной координаты в виде:

Подставляя (30) в (25)-(27) с учетом(29), получим

Из условий существования нетривиального решения системы однородных уравнений (30) получаем

Представив декремент затухания в виде: и разделяя действительную и мнимую части, получим

Таким образом, в системе возможны как монотонные, строго убывающие либо возрастающие, так и колебательные возмущения.

Особый интерес представляет состояние нейтральной устойчивости, т. е. , при . Это граница между устойчивым и неустойчивым состоянием. Как следует из (33), оно достигается при , откуда

Для характерных условий в мантии параметр весьма мал и (34) можно оставить в виде

Из (35) видно, что устойчивость системы различна для возмущений различной длины волны, . Критическим называют минимальное значение функции . Первый член в этом выражении описывает критическое значение числа Релея в классической задаче Релея-Бенара. Третий член в (35) получен в работе [8] и отражает увеличение конвективной устойчивости системы, если содержание более плотного компонента к верхней границе увеличивается, оставаясь малой компонентой смеси.

Принципиальное значение имеет вклад второго члена, отражающего действие внутренних источников тепла ( ). Их наличие приводит к уменьшению плотности этого компонента смеси даже в том случае, когда источники тепла связаны с более плотным компонентом смеси. Отсюда следует парадокс устойчивости, впервые описанный в [9, 10]. Он состоит в том, что при достаточной мощности внутренних источников тепла, концентрация которых определяется содержанием более плотного компонента смеси, имеется область значений параметров, когда система остается в устойчивом гидростатическом состоянии при увеличении концентрации тяжелого компонента по направлению к верхней холодной границе плоского слоя.

Численное моделирование развитой конвекции показало, что система стремится вынести внутренние источники тепла, входящие в один из компонентов смеси к верхней холодной границе слоя [11].

---

<< 2. Уравнения конвекции | Оглавление | 4. Моделирование развитой конвекции >>

Публикации с ключевыми словами: геофизика - строение Земли - конвекция Публикации со словами: геофизика - строение Земли - конвекция

См. также: Аннотации основных статей журнала «Земля и Вселенная» № 6, 2020 г. Аннотации основных статей журнала «Земля и Вселенная» № 5, 2020 г. Аннотации основных статей журнала «Земля и Вселенная» № 4, 2020 г. Аннотации основных статей журнала «Земля и Вселенная» № 3, 2020 г. Аннотации основных статей журнала «Земля и Вселенная» № 2, 2020 г. Аннотации основных статей журнала «Земля и Вселенная» № 1, 2020 г. Аннотации основных статей журнала «Земля и Вселенная» № 6, 2019 г. Все публикации на ту же тему >>