<< 3.1. Уравнения движения | Оглавление | 4. Интегрируемость >>

3.2. Области и мажоранты

В пространстве положений и пространстве скоростей размерности введем норму - наибольшую из длин составляющих его трехмерных векторов

За область примем произведение трехмерных шаров

при положительных . Область получается из заменой на . Выпуклый компакт совпадает с множеством точек при фиксированном и ; . Считаем .

На постоянные наложим ограничения, гарантирующие быстрый разлет тел без тесных сближений. Именно, пусть

Здесь

Индексы независимо изменяются от до N с пропуском значений .

Неравенства , гарантируют, что точки в области отделены друг от друга и обладают ненулевыми относительными скоростями. Положительность обеспечивает неколлинеарность векторов относительного положения и относительной скорости . Точнее, положительность равносильна

что влечет отсутствие тесных сближений. Здесь  - угол между векторами и . Неравенства (28) с очевидностью совместны: достаточно считать малыми , конечными и неколлинеарными векторы .

Переходим к определению . На множестве

В силу (27)

откуда по неравенству треугольника

что положительно согласно (28). Таким образом,

Вывод второго из неравенств (31) повторяет вывод первого с точностью до обозначений. Далее,

Согласно (30, 31, 32) на множестве

В силу (26) можно положить

С учетом первого из неравенств (57) приложения допустимо считать

Поскольку не зависит от , то .

Переходим к определению . В силу (26)

Согласно формуле (56) приложения

Числитель справа не превосходит

так что

Формулы (7, 37, 33) показывают, что можно положить

С помощью последнего из неравенств (57) приложения устанавливаем, что допустимо считать

Итак, мы находимся в условиях теоремы 1 (с учетом замечания на с. ) при . Сформулируем результат.

Теорема 2. При всех положительных и векторах , подчиненных условиям (28) и

где определены формулами ,

1) решения системы (25) с начальными данными из продолжимы на всю ось времени и не выходят из , принадлежа при каждом ;

2) решения, начинающиеся в , можно найти с помощью итераций, сходящихся со скоростью геометрической прогрессии; сходимость к равномерна относительно начальных данных и времени на множестве , сходимость к равномерна на множестве при любом ;

3) при и переменные стремятся к постоянным;

4) векторы (за исключением не более одного из них) стремятся к линейным функциям времени.

Доказательство. Условия (28) влекут (7, 8) при и , определяемых по (35, 39). Неравенство (9) следует из (40) при . Все условия теоремы 1 выполнены, откуда следует справедливость первых трех утверждений теоремы 2.

Равенство

может выполняться только в том случае, если шар содержит начало координат. Второе из условий (28) показывает, что трехмерные шары отделены друг от друга. Поэтому (41) может быть справедливым не более чем для одного значения индекса.

Теорема доказана.

Остановимся еще раз на физическом смысле условий теоремы 2. Они наложены на параметры системы, каковыми являются массы , и область начальных данных, описываемую постоянными . Подчеркнем, что все ограничения проверяются только для эпохи . Выполнение второго и третьего условий (28) означает, что любые две точки системы отделены друг от друга как в пространстве положений, так и в пространстве скоростей. Последнее из условий (28) означает, что векторы взаимной скорости и положения любых двух точек неколлинеарны. Точнее, угол между векторами подчинен условию (29).

Первое из условий (40) выражает малость масс . Точнее, малость отношения модуля гравитационной потенциальной энергии системы к ее кинетической энергии. Или иначе, реальная масса системы много меньше ее вириальной массы. Второе из условий (40) означает, что для любых двух точек отношение квадрата параболической скорости к взаимной скорости мало по сравнению со скоростью , на которую нужно отступить для получения из .

Замечание. Все перечисленные условия совместны: достаточно выбрать неколлинеарные , малые , а затем малые . Можно сначала фиксировать любые и выбрать достаточно большие скорости разлета . Таким образом, теорема 2 (как и последующие) применима к задаче с произвольным числом тел N и произвольными массами .

Если ограничиться только будущим, то условие становится необязательным: достаточно исключить сближения лишь при . Сформулируем результат, изменяя смысл постоянных и сохраняя смысл остальных.

Теорема 3. При всех положительных и векторах , подчиненных условиям

где

1) решения системы (25) с начальными данными из продолжимы на всю полуось и не выходят из , принадлежа при каждом ;

2) решения, начинающиеся в , можно найти с помощью итераций, сходящихся со скоростью геометрической прогрессии; сходимость к равномерна относительно начальных данных и времени на множестве , сходимость к равномерна на множестве при любом ;

3) при переменные стремятся к постоянным;

4) векторы (за исключением не более одного из них) стремятся к линейным функциям времени.

Доказательство. Из (30, 42) следует при

Вместо (34, 38) теперь

так что по лемме 6 за можно принять значения (44). Остальное ясно.

---

<< 3.1. Уравнения движения | Оглавление | 4. Интегрируемость >>

Публикации с ключевыми словами: Небесная механика - задача n-тел - задача трех тел Публикации со словами: Небесная механика - задача n-тел - задача трех тел

См. также: Саймон Ньюком (1835 -1909) к 175-летию со дня рождения. Наум Ильич Идельсон - 125 лет со дня рождения Методы теории специальных возмущений в небесной механике К 90-летию Александра Александровича Орлова Динамика звездных скоплений Простейшая форма представления градиента гравитационного потенциала небесных тел Эволюция элементов орбит Юпитера и Сатурна на длительных интервалах времени Все публикации на ту же тему >>