<< 1. Введение | Оглавление | 3. Разлет без сближений >>

2. Основная теорема

Слабовозмущенная задача нескольких тел в подходящих переменных может быть представлена системой обыкновенных дифференциальных уравнений следующего вида [19]:

Здесь  - вектор медленных переменных,  - вектор быстрых переменных,  - вектор-функции;  - малый скалярный параметр.

Упростим систему (3). Во-первых, примем за новые медленные переменные. Этого всегда можно добиться, добавив к вектору и увеличив тем самым порядок системы уравнений. Если же взаимно-однозначно зависит от компонент вектора , то можно не увеличивать числа переменных. Во-вторых, обратим в нуль вектор . Тут придется увеличить число медленных переменных. Для каждого , для которого , введем новую медленную переменную и заменим на :

Заметим, что это преобразование не ново. Если  - средняя аномалия,  - среднее движение, то  - средняя аномалия эпохи, а  - интеграл от среднего движения по времени.

В результате двух преобразований уравнения примут форму

Здесь , и мы опустили штрихи. Множитель введен для согласования физических размерностей. Приведем и векторную форму уравнений

где на главной диагонали прямоугольной матрицы размера стоит , остальные элементы равны нулю.

В дальнейшем имеем дело только с системой вида (5). Функции считаем непрерывными и удовлетворяющими условию Липшица в области , к построению которой мы приступаем.

В пространствах и введем нормы, которые будем обозначать единым символом , что не приводит к путанице. Они индуцируют норму в и расстояния в этих трех пространствах. Для вектор-функций , , введем норму при фиксированном и равномерную норму:

Пусть  - декартово произведение выпуклых компактов и . Введем виртуальное время . Так как система (5) автономна, за начало отсчета времени можно взять эпоху . Наши построения легче проводить для полутраекторий, почему мы и ограничились будущим. Прошлое в автономной системе обладает теми же свойствами, а нужное впоследствии объединение прошлого и будущего легковыполнимо. Рассмотрим множество - декартово произведение множества непрерывных на функций со значениями в и множества постоянных таких, что при каждом . За примем множество точек из , представимых в виде при и фиксированном . Обозначения согласованы: при . За примем объединение по всем .

Согласно леммам 1, 2 (с учетом выпуклости декартова произведения выпуклых множеств) и выпуклы и совпадают с множеством точек, представимых в виде при , при фиксированном и при всех соответственно. Это - ключевой момент для дальнейшего. Хотя мы не знаем поведения траекторий системы (5) как функций реального времени, мы устанавливаем область, в которой они находятся, исследуя зависимость фазовых координат как линейных функций виртуального времени.

В общем случае найдутся начальные данные из такие, что отвечающая им полутраектория покинет . Чтобы этого не случилось, сузим область начальных данных до , где  - множество точек из , отстоящих от границы не менее, чем на , . По лемме 3  - выпуклый компакт. Для непустоты потребуем

где  - расстояние от границы до наиболее удаленной от нее точки .

Теперь мы в состоянии сформулировать основную теорему.

Теорема 1. Дана система (5) с непрерывной и удовлетворяющей условию Липшица в функцией . Считаем функцией виртуального времени посредством

Пусть при каждом и любом выборе , таких, что
, , справедливы неравенства

причем мажоранты допускают интегральные оценки

Тогда при всех положительных , подчиненных условию (6), и

1) решения системы (5) с начальными данными из продолжимы на всю полуось и не выходят из , принадлежа при каждом ;

2) решения, начинающиеся в , можно найти, используя итерации, сходящиеся со скоростью геометрической прогрессии; сходимость к равномерна относительно начальных данных и времени на множестве , сходимость к равномерна на множестве при любом ;

3) при переменные стремятся к постоянным;

4) если предел вектора отличен от нуля, то вектор при стремится к линейной функции времени.

Поясним смысл четвертого утверждения. Обозначим

Тогда . В то же время разность может не быть ограниченной.

Доказательство. Заменим (5) с начальными данными при равносильной системой интегральных уравнений

Образуем последовательность приближений пикаровского типа. За начальное возьмем интегрируемый случай . Далее в качестве приближения для медленных переменных примем правую часть первой из формул (10), куда подставлено предыдущее приближение. Для быстрых же переменных справа в (10) присутствуют только медленные переменные, и мы можем подставить туда текущее приближение. Таким образом,

Индекс сверху всегда обозначает номер приближения, снизу - номер компоненты.

Нулевое приближение с начальными данными из с очевидностью не выходит из .

Перейдем к первому приближению.

В силу (7, 8)

Вследствие (9) имеем , поэтому , так что при любом справедливо . Отсюда

Далее действуем по индукции, предполагая при . Согласно (12)

где

По индуктивному предположению обе точки и
лежат в . Воспользуемся оценками (7):

Аналогично (14) имеем

Подставляя (17) в (16), а результат - в (15), получим с учетом (8)

где

Справа в (9) стоит возрастающая функция от , поэтому из (9) следует

так что и оператор перехода от к является сжимающим. Из (18, 13) вытекает

Сложение неравенств (19) позволяет записать

Неравенство (9) влечет

Поэтому при любых и точка лежит в , соответственно точка лежит в , причем

Обозначим через пределы при . Доказательство того, что пределы существуют, представляют собой решение (5) и справедливы первые два утверждения теоремы, повторяет доказательство классической теоремы Пикара-Линделефа [18]. Приведем лишь несколько полезных формул:

Сопоставление (7, 8, 10) показывает, что существует конечный предел

Пусть . Согласно (10) представим для достаточно больших в виде , где

Сдвигом начала отсчета времени и, возможно, изменением знака можно добиться положительности и неотрицательности .

Тогда

Из стремления к нулю при следует .

Теорема доказана.

Замечание. Исследуемые в механике уравнения движения, как правило, инвариантны относительно перемены знака времени. Система (5) переходит в себя при подстановке . Поэтому теорема 1 остается справедливой и для прошлого при естественных изменениях условий. Именно, обозначим области через , а аналогичные области, заметаемые полутраекториями при , через . Доказанные свойства переносятся и на , причем
. Для справедливости теоремы 1 при отрицательных с очевидными переформулировками надо лишь заменить (8) на

Обозначим через объединение . Очевидно, при при . Утверждение теоремы 1 остается справедливым с соответствующими переформулировками при , если в (24) заменить пределы интегрирования на . Заметим только, что бесконечная в обе стороны область уже не будет в общем случае выпуклой, что не существенно: играет роль только выпуклость .

---

<< 1. Введение | Оглавление | 3. Разлет без сближений >>

Публикации с ключевыми словами: Небесная механика - задача n-тел - задача трех тел Публикации со словами: Небесная механика - задача n-тел - задача трех тел

См. также: Саймон Ньюком (1835 -1909) к 175-летию со дня рождения. Наум Ильич Идельсон - 125 лет со дня рождения Методы теории специальных возмущений в небесной механике К 90-летию Александра Александровича Орлова Динамика звездных скоплений Простейшая форма представления градиента гравитационного потенциала небесных тел Эволюция элементов орбит Юпитера и Сатурна на длительных интервалах времени Все публикации на ту же тему >>