Радиационное затухание колебаний корональных петель

---

<< 2. Периода свободных колебаний | Оглавление | 4. Сила реакции излучения >>

3. Радиационное затухание колебаний петли во внешнем магнитном поле

Исследуем возбуждение МГД-волн слабоискривленной корональной петлей, колеблющейся во внешнем магнитном поле. Для этого рассчитаем поток волновой энергии, уносимой этими волнами с единицы поверхности цилиндра, совершающего во внешнем поле поперечные колебания заданной амплитуды.

Рассмотрим круглый прямой цилиндр длины L, радиуса поперечного сечения а, заполненный однородным магнитным полем и идеально проводящей плазмой. Магнитное поле В во внешней среде также считаем соосным цилиндру и однородным, а плазму плотности - идеально проводящей. Пусть цилиндр без изменения своей формы и размера совершает в направлении оси х поперечные гармонические колебания (рис. 2,а), т.е. его ось меняет положение со временем по закону х = Х(t), где:

Здесь - амплитуда, - частота колебаний. Каждая точка поверхности цилиндра движется со скоростью .

Будем для простоты расчетов считать колебания достаточно малыми: , несмотря на то, что амплитуда реально наблюдаемых колебаний петель (в среднем около 4 тысяч км) превышает , которое, по данным TRACE составляет, как отмечалось во Введении, 1-2 тысячи км, а по данным аппарата SOHO - 3-4 тысячи км (см. обсуждение в [1]). В пользу принятого нами подхода имеются следующие аргументы: во-первых, приближение малости поперечных колебаний может привести только к недооценке изучаемого эффекта радиационного затухания. Если уже в этом приближении удается решить проблему, то, очевидно, нет необходимости строить значительно более сложную теорию нелинейных колебаний. Во-вторых, необходимо учесть, что наблюдениями фиксируется только центральная, наиболее плотная и горячая часть корональной магнитной петли. Радиус ее эффективного сечения , используемый в МГД-моделях, заведомо превышает . (В работе [1] на стр. 890 для численных оценок принималось = 3600 км).

Таким образом, в реальной ситуации, видимо, , но мы выбираем приближение малых колебаний, как вполне достаточное для описания основного эффекта.

В указанном приближении для нормальной к поверхности цилиндра составляющей скорости можно принять (рис. 2,б):

Рассмотрим волны, возбуждаемые цилиндром во внешней среде. Линеаризованные уравнения идеальной МГД для однородной плазмы имеют вид:

Здесь , , , - невозмущенные параметры среды, , , , - возмущения. Будем рассматривать решение вида:

В этом случае система (6)-(8) дает:

Отсюда следует:

где использовано обычное обозначение: .

Общее решение уравнения (16) можно записать через функции Ганкеля следующим образом:

где m - положительное вещественное число, А, В, С, D - произвольные константы. Можно показать, что первая из функций Ганкеля описывает волны, расходящиеся от цилиндра, а вторая - волны, сходящиеся к оси симметрии из бесконечности, что физически бессмысленно, поэтому сразу исключим из рассмотрения, положив в (17) А = 0. Рассмотрим первую цилиндрическую моду решения (17), приняв m = 1, D = 0. Тогда:

Константу С найдем из граничного условия непрерывности нормальной составляющей скорости на поверхности цилиндра: при , или, используя (14):

Отсюда получаем: . Следовательно, внешнее решение краевой задачи имеет вид:

(Для полноты исследования можно было бы записать и внутреннее решение, определив его константы через условия непрерывности нормальной скорости и полного давления на границе. Но, как уже отмечалось, для решения данной задачи для нас основной интерес представляет именно внешнее решение, определяющее эффект радиационного затухания).

Поток волновой энергии определяется вектором Умова-Пойтинга:

Поскольку то Далее, учитывая, что получаем:

Используя последнюю формулу и выделяя в решении (21) , (22) реальные части, можно рассчитать усредненный по периоду колебаний поток волновой энергии, уносимой с поверхности цилиндра произвольного радиуса r и длины L в единицу времени. Опуская громоздкие промежуточные выкладки, запишем окончательный результат:

Вычислив определитель Вронского для уравнения Бесселя, можно показать, что

Отсюда видно, что поток энергии р не зависит от расстояния от оси цилиндра и определяется квадратом амплитуды колебаний.

Учитывая асимптотику функций Бесселя первого и второго рода:

выражение для потока волновой энергии удобно представить в форме:

Подчеркнем, что в это выражение входят только доступные для измерений величины: геометрические размеры петли, напряженность магнитного поля, частота и амплитуда колебаний.

В первом разделе было получено выражение для энергии возмущения магнитной петли: , соответствующей среднему по петле отклонению в некоторый момент времени. Разделив его на поток энергии р и период колебаний Т, мы получим число, показывающее за какое количество периодов энергия системы, запасенная при первоначальном возмущении, будет рассеяна в результате излучения волн в окружающее пространство. Умножая это число на 2, найдем добротность колебательной системы, т.е. выразим ту же величину в радианах:

Отметим, что поскольку р и зависят одинаковым (квадратичным) образом от амплитуды смещения , то в (29) эта величина сокращается. Аргумент Бесселевых функций в (29) в данном случае достаточно мал: . Ниже для численных оценок мы будем принимать следующие величины:  см/с (согласно оценке, приведенной в [1]);  cм (в согласии с [1] и в соответствии с изложенными выше соображениями, о том, что реальный радиус магнитной трубки заведомо превышает его наблюдаемую величину); для частоты колебаний и длины трубки примем данные для петли, рассмотренной в [4]: L = 130 000 км, частота  Гц, что соответствует периоду колебаний Т = 256,4 с. В этом случае получается: . Учитывая рекуррентные соотношения

мы, подставив численные значения, легко можем убедиться, что в фигурной скобке выражения (29) главную роль при таких малых значениях аргументов играет член . Следовательно:

Подстановка в эту формулу приведенных выше численных величин дает Q 8.756.

---

<< 2. Периода свободных колебаний | Оглавление | 4. Сила реакции излучения >>

Публикации с ключевыми словами: Солнечная корона - магнитное поле Солнца - магнитная гидродинамика - Солнце Публикации со словами: Солнечная корона - магнитное поле Солнца - магнитная гидродинамика - Солнце
См. также: Треугольный протуберанец над Солнцем Эруптивный протуберанец на Солнце Гайя: вот появляется Солнце Солнечный танец Возвращение знаменитой активной области и вспышка класса X на Солнце Выброс солнечного волокна Развернутая солнечная корона Все публикации на ту же тему >>