Колебания и волны. Лекции.
В.А.Алешкевич, Л.Г.Деденко, В.А.Караваев (Физический факультет МГУ)Издательство Физического факультета МГУ, 2001 г. Содержание
Свободные колебания в диссипативных системах с вязким трением.
В реальных системах всегда происходит диссипация энергии. Если потери энергии не будут компенсироваться за счет внешних устройств, то колебания с течением времени будут затухать и через какое-то время прекратятся вообще.
Формально затухающие колебания описываются уравнением
(1.46) |
которое, в отличие от (1.2), помимо возвращающей силы содержит и силу трения Сила сопротивления движению, вообще говоря, зависит как от направления скорости (например, при сухом трении), так и от величины скорости (при движении в вязкой среде). Если возвращающая сила пропорциональна смещению: где - коэффициент пропорциональности (для пружинного маятника - жесткость пружины), то уравнение (1.46) можно переписать в виде
(1.47) |
где - собственная частота незатухающих гармонических колебаний.
Вначале мы рассмотрим затухающие колебания в случае, когда на колеблющееся тело действует сила вязкого трения, пропорциональная скорости: Такая ситуация может иметь место, например, при колебательном движении тела в воздухе или жидкости, когда число Рейнольдса или . Тогда уравнение (1.47) можно записать в виде:
(1.48) |
где - коэффициент, или показатель затухания.
Общая идея решения однородных линейных уравнений типа (1.48) заключается в следующем: в качестве функциональной зависимости надо выбрать такую, которая при дифференцировании по времени переходит в саму себя, то есть экспоненту: Подставим ее в уравнение (1.48):
(1.49) |
Поскольку получаем так называемое "характеристическое" уравнение:
(1.50) |
которое в данном случае (для уравнения второго порядка) имеет два корня
(1.51) |
а само уравнение (1.48) - два независимых решения: и В силу линейности уравнения (1.48) сумма любых его решений также является решением, то есть справедлив так называемый "принцип суперпозиции" решений, и общим решением данного уравнения является
(1.52) |
Решение содержит две независимые константы и которые определяются из начальных условий
В зависимости от соотношения и возможны три случая.
Если то где - "мнимая" единица. Решение является комплексным1, но, поскольку начальные условия действительные, то с помощью формулы Эйлера:
(1.53) |
нетрудно показать, что общее решение будет действительно и может быть записано в виде:
(1.54) |
то есть представляет собой затухающие колебания, частота которых меньше, чем у собственных незатухающих колебаний:
(1.55) |
Колебания, описываемые (1.54), не являются гармоническими (рис. 1.14). Под их амплитудой будем понимать величину
(1.56) |
которая монотонно убывает со временем. "Длительность" колебаний характеризуется временем затухания
(1.57) |
Рис. 1.14. |
Если подставить в (1.56), то легко видеть, что по истечении времени затухания амплитуда убывает в е раз. Количество совершенных системой колебаний за время равно отношению этого времени к периоду затухающих колебаний Если затухание в системе мало то период колебаний и число этих колебаний велико:
(1.58) |
Экспоненциальный закон убывания амплитуды со временем позволяет ввести безразмерный параметр - логарифмический декремент затухания который равен логарифму отношения двух последовательных отклонений в одну и ту же сторону:
(1.59) |
Из (1.57), (1.58) и (1.59) находим:
(1.60) |
Логарифмический декремент затухания можно оценить, если подсчитать число колебаний, совершенных системой за время затухания то есть до уменьшения амплитуды колебаний примерно в 3 раза. Чем больше число этих колебаний, тем меньше потери энергии в системе.
Проследим за убыванием энергии, запасенной осциллятором, с течением времени. Используя (1.54), запишем по аналогии с (1.24) и (1.25) выражения для потенциальной и кинетической энергий осциллятора:
(1.61) |
(1.62) |
Заметим, что, строго говоря, скорость равна
(1.63) |
Очевидно, что если то первым слагаемым в (1.63) можно пренебречь и записать выражение для кинетической энергии в виде (1.62). Суммарная энергия осциллятора убывает со временем:
(1.64) |
Примем во внимание, что при частота Так как то (1.64) окончательно запишется в виде
(1.65) |
Полная энергия осциллятора, равная вначале монотонно убывает со временем по экспоненциальному закону и уменьшается в е раз за время
(1.66) |
"Качество" колебательной системы характеризуют безразмерным параметром называемым добротностью. Добротность пропорциональна отношению запасенной энергии к энергии теряемой за период (рис. 1.15):
(1.67) |
Если число колебаний велико, то Тогда
(1.68) |
При экспоненциальном законе убывания энергии со временем добротность оказывается постоянной величиной, которую, как и логарифмический декремент затухания можно легко оценить по числу колебаний совершенных системой до их полного прекращения (за время амплитуда колебаний уменьшается в раз, то есть колебания практически полностью затухают).
Рис. 1.15. |
Следует отметить, что добротность не только характеризует затухание колебаний, но и является важной величиной, определяющей параметры вынужденных колебаний, осуществляемых под действием внешней периодической силы (см. далее).
1Более подробно метод комплексных амплитуд будет обсуждаться ниже, при рассмотрении вынужденных колебаний.
Публикации с ключевыми словами:
колебания - волны
Публикации со словами: колебания - волны | |
См. также:
|