Астронет > Колебания и волны

Астронет: Научная Сеть/НС Колебания и волны
http://variable-stars.ru/db/msg/1175791/page6.html

Колебания и волны. Лекции.

В.А.Алешкевич, Л.Г.Деденко, В.А.Караваев (Физический факультет МГУ)
Издательство Физического факультета МГУ, 2001 г. Содержание

Свободные колебания в диссипативных системах с вязким трением.

В реальных системах всегда происходит диссипация энергии. Если потери энергии не будут компенсироваться за счет внешних устройств, то колебания с течением времени будут затухать и через какое-то время прекратятся вообще.

Формально затухающие колебания описываются уравнением

$m\ddot {\displaystyle s} = F_{\tau } (s) + F_{тр} (\dot {\displaystyle s}),$

(1.46)

которое, в отличие от (1.2), помимо возвращающей силы $F_{\tau },$ содержит и силу трения $F_{тр}.$ Сила сопротивления движению, вообще говоря, зависит как от направления скорости (например, при сухом трении), так и от величины скорости (при движении в вязкой среде). Если возвращающая сила пропорциональна смещению: $F_{\tau } (s) = - ks,$ где $k$ - коэффициент пропорциональности (для пружинного маятника - жесткость пружины), то уравнение (1.46) можно переписать в виде

$\ddot {\displaystyle s} - {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle F_{тр} }}{\displaystyle {\displaystyle m}}} + \omega _{0}^{2} s = 0,$

(1.47)

где $\omega _{0} = \sqrt {\displaystyle {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle k}}{\displaystyle {\displaystyle m}}}}$ - собственная частота незатухающих гармонических колебаний.

Вначале мы рассмотрим затухающие колебания в случае, когда на колеблющееся тело действует сила вязкого трения, пропорциональная скорости: $F_{тр} = - \Gamma \dot {\displaystyle s}.$ Такая ситуация может иметь место, например, при колебательном движении тела в воздухе или жидкости, когда число Рейнольдса ${\rm Re} \sim 1$ или ${\rm Re}\lt 1$ . Тогда уравнение (1.47) можно записать в виде:

$\ddot {\displaystyle s} + 2\delta \dot {\displaystyle s} + \omega _{0}^{2} s = 0,$

(1.48)

где $\delta = \Gamma / 2m$ - коэффициент, или показатель затухания.

Общая идея решения однородных линейных уравнений типа (1.48) заключается в следующем: в качестве функциональной зависимости $s(t)$ надо выбрать такую, которая при дифференцировании по времени переходит в саму себя, то есть экспоненту: $s(t) = s_{0} e^{\lambda t}.$ Подставим ее в уравнение (1.48):

$s_{0} e^{\lambda t}(\lambda ^{2} + 2\delta \lambda + \omega _{0}^{2} ) = 0.$

(1.49)

Поскольку $e^{\lambda t} \ne 0,$ получаем так называемое "характеристическое" уравнение:

$\lambda ^{2} + 2\delta \lambda + \omega _{0}^{2} = 0,$

(1.50)

которое в данном случае (для уравнения второго порядка) имеет два корня

$\lambda _{1,2} = - \delta \pm \sqrt {\displaystyle \delta ^{2} - \omega _{0}^{2} },$

(1.51)

а само уравнение (1.48) - два независимых решения: $s_{1} (t) = s_{01} e^{\lambda _{1} t}$ и $s_{2} (t) = s_{02} e^{\lambda _{2} t}.$ В силу линейности уравнения (1.48) сумма любых его решений также является решением, то есть справедлив так называемый "принцип суперпозиции" решений, и общим решением данного уравнения является

$s(t) = s_{01} e^{( - \delta + \sqrt {\displaystyle \delta ^{2} - \omega _{0}^{2} } )t} + s_{02} e^{( - \delta - \sqrt {\displaystyle \delta ^{2} - \omega _{0}^{2} } )t}.$

(1.52)

Решение содержит две независимые константы $s_{01}$ и $s_{02},$ которые определяются из начальных условий $s(0), v(0).$

В зависимости от соотношения $\delta$ и $\omega _{0}$ возможны три случая.

Если $\delta \lt \omega _{0},$ то $\sqrt {\displaystyle \delta ^{2} - \omega _{0}^{2} } = i\sqrt {\displaystyle \omega _{0}^{2} - \delta ^{2}},$ где $i \equiv \sqrt {\displaystyle - 1}$ - "мнимая" единица. Решение является комплексным¹, но, поскольку начальные условия действительные, то с помощью формулы Эйлера:

$e^{i\varphi } = \cos \varphi + i\sin \varphi$

(1.53)

нетрудно показать, что общее решение будет действительно и может быть записано в виде:

$s(t) = s_{0} e^{ - \delta t}\sin (\omega t + \varphi _{0} ),$

(1.54)

то есть представляет собой затухающие колебания, частота которых $\omega$ меньше, чем у собственных незатухающих колебаний:

$\omega = \sqrt {\displaystyle \omega _{0}^{2} - \delta ^{2}} .$

(1.55)

Колебания, описываемые (1.54), не являются гармоническими (рис. 1.14). Под их амплитудой будем понимать величину

$A(t) = s_{0} e^{ - \delta t},$

(1.56)

которая монотонно убывает со временем. "Длительность" колебаний характеризуется временем затухания

$\tau = {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle 1}}{\displaystyle {\displaystyle \delta }}}.$

(1.57)

Рис. 1.14.

Если подставить $\tau$ в (1.56), то легко видеть, что по истечении времени затухания $\tau$ амплитуда убывает в е раз. Количество совершенных системой колебаний за время $\tau$ равно отношению этого времени к периоду затухающих колебаний $T = 2\pi / \omega .$ Если затухание в системе мало $(\delta \ll \omega _{0} ),$ то период колебаний $T \approx 2\pi / \omega _{0},$ и число этих колебаний велико:

$N = {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle \tau }}{\displaystyle {\displaystyle T}}} \approx {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle \omega _{0} }}{\displaystyle {\displaystyle 2\pi \delta }}} \gg 1.$

(1.58)

Экспоненциальный закон убывания амплитуды со временем позволяет ввести безразмерный параметр - логарифмический декремент затухания $\theta,$ который равен логарифму отношения двух последовательных отклонений в одну и ту же сторону:

$\theta = \ln {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle A(t)}}{\displaystyle {\displaystyle A(t + T)}}} = \delta T.$

(1.59)

Из (1.57), (1.58) и (1.59) находим:

$\theta = {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle 1}}{\displaystyle {\displaystyle N}}}.$

(1.60)

Логарифмический декремент затухания можно оценить, если подсчитать число колебаний, совершенных системой за время затухания $\tau,$ то есть до уменьшения амплитуды колебаний примерно в 3 раза. Чем больше число этих колебаний, тем меньше потери энергии в системе.

Проследим за убыванием энергии, запасенной осциллятором, с течением времени. Используя (1.54), запишем по аналогии с (1.24) и (1.25) выражения для потенциальной и кинетической энергий осциллятора:

$E_{пот} = {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle 1}}{\displaystyle {\displaystyle 2}}}ks_{0}^{2} e^{ - 2\delta t}\sin ^{2}\left( {\displaystyle \omega t + \varphi _{0} } \right),$

(1.61)

$E_{кин} = {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle 1}}{\displaystyle {\displaystyle 2}}}m\omega ^{2}s_{0}^{2} e^{ - 2\delta t}\cos ^{2}(\omega t + \varphi _{0} ).$

(1.62)

Заметим, что, строго говоря, скорость равна

$v = \dot {\displaystyle s} = - s_{0} \delta e^{ - \delta t}\sin (\omega t + \varphi _{0} ) + s_{0} \omega e^{ - \delta t}\cos (\omega t + \varphi _{0} ).$

(1.63)

Очевидно, что если $\delta \ll \omega,$ то первым слагаемым в (1.63) можно пренебречь и записать выражение для кинетической энергии в виде (1.62). Суммарная энергия осциллятора убывает со временем:

$E(t) = E_{пот} + E_{кин} = {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle 1}}{\displaystyle {\displaystyle 2}}}s_{0}^{2} e^{ - 2\delta t}{\displaystyle \left[ {\displaystyle k\sin ^{2}(\omega t + \varphi _{0} ) + m\omega ^{2}\cos ^{2}(\omega t + \varphi _{0} )} \right]}.$

(1.64)

Примем во внимание, что при $\delta \ll \omega _{0}$ частота $\omega \approx \omega _{0} .$ Так как $k = m\omega _{0}^{2},$ то (1.64) окончательно запишется в виде

$E(t) = {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle 1}}{\displaystyle {\displaystyle 2}}}s_{0}^{2} m\omega _{0}^{2} e^{ - 2\delta t} = E_{0} e^{ - 2\delta t}.$

(1.65)

Полная энергия осциллятора, равная вначале $E_{0} = {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle 1}}{\displaystyle {\displaystyle 2}}}s_{0} m\omega _{0}^{2},$ монотонно убывает со временем по экспоненциальному закону и уменьшается в е раз за время

$\tau _{E} = {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle 1}}{\displaystyle {\displaystyle 2\delta }}} = {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle \tau }}{\displaystyle {\displaystyle 2}}}.$

(1.66)

"Качество" колебательной системы характеризуют безразмерным параметром $Q,$ называемым добротностью. Добротность пропорциональна отношению запасенной энергии $E(t)$ к энергии $\Delta E_{T},$ теряемой за период (рис. 1.15):

$Q = 2\pi {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle E(t)}}{\displaystyle {\displaystyle \Delta E_{T} }}} = 2\pi {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle E_{0} e^{ - 2\delta t}}}{\displaystyle {\displaystyle E_{0} e^{ - 2\delta t} - E_{0} e^{ - 2\delta (t + T)}}}} = {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle 2\pi }}{\displaystyle {\displaystyle 1 - e^{ - 2\delta T}}}}.$

(1.67)

Если число колебаний велико, то $\delta T = {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle 1}}{\displaystyle {\displaystyle N}}} \ll 1.$ Тогда

$Q = {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle 2\pi }}{\displaystyle {\displaystyle 1 - e^{ - 2\delta T}}}} = {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle 2\pi }}{\displaystyle {\displaystyle 1 - (1 - 2\delta T + \ldots)}}} \approx {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle \pi }}{\displaystyle {\displaystyle \theta }}} = \pi N.$

(1.68)

При экспоненциальном законе убывания энергии со временем добротность $Q$ оказывается постоянной величиной, которую, как и логарифмический декремент затухания $\theta,$ можно легко оценить по числу колебаний $N_{Q} = \pi N \approx 3N,$ совершенных системой до их полного прекращения (за время $3\tau$ амплитуда колебаний уменьшается в $e^{3} \approx 20$ раз, то есть колебания практически полностью затухают).

Рис. 1.15.

Следует отметить, что добротность не только характеризует затухание колебаний, но и является важной величиной, определяющей параметры вынужденных колебаний, осуществляемых под действием внешней периодической силы (см. далее).

¹Более подробно метод комплексных амплитуд будет обсуждаться ниже, при рассмотрении вынужденных колебаний.

Назад| Вперед