![На первую страницу](http://images.astronet.ru/img/bookicon.gif)
<< 1.8 Теорема вириала | Оглавление | 2.2 Основные параметры политропы >>
2. Аналитическая теория политропных шаров (теория Лейна-Риттера-Эмдена)
Разделы
- 2.1 Уравнение Эмдена
- 2.2 Основные параметры политропы
- 2.3 Частные случаи политропных моделей
- 2.4 Теория белых карликов
- 2.5 Горячие звезды
2.1 Уравнение Эмдена
В этой главе мы будем изучать равновесные конфигурации звезд, подчиняющихся степенному (политропному) уравнению состояния
![$\displaystyle P=K\rho^\gamma=K\rho^{1+{1\over n}},
$](http://images.astronet.ru/pubd/2008/02/15/0001226214/img324.gif)
![$ \gamma$](http://images.astronet.ru/pubd/2008/02/15/0001226214/img302.gif)
![$ n$](http://images.astronet.ru/pubd/2008/02/15/0001226214/img325.gif)
![$\displaystyle dE=-Pdv=K\rho^{1+{1\over n}} {1\over \rho^2}d\rho=K\rho^{-1+{1\over n}}d\rho,
$](http://images.astronet.ru/pubd/2008/02/15/0001226214/img326.gif)
![$\displaystyle E=nK\rho^{1\over n}=n{P\over \rho}.
$](http://images.astronet.ru/pubd/2008/02/15/0001226214/img327.gif)
![$\displaystyle H=E+Pv=E+{P\over \rho}=(n+1)\;{P\over \rho}.
$](http://images.astronet.ru/pubd/2008/02/15/0001226214/img328.gif)
![$ c_v$](http://images.astronet.ru/pubd/2008/02/15/0001226214/img329.gif)
![$ {\cal{R}}$](http://images.astronet.ru/pubd/2008/02/15/0001226214/img330.gif)
![$\displaystyle E={c_v\over \mu}T, \quad P=\rho {{\cal{R}}T\over \mu}$](http://images.astronet.ru/pubd/2008/02/15/0001226214/img331.gif)
![$\displaystyle \quad
{P\over \rho}=
{{\cal{R}}T\over \mu}, \quad E={c_v\over {\cal{R}}} {P\over \rho}.
$](http://images.astronet.ru/pubd/2008/02/15/0001226214/img332.gif)
![$\displaystyle c_v={3\over 2}{\cal{R}}$](http://images.astronet.ru/pubd/2008/02/15/0001226214/img333.gif)
![$\displaystyle \quad n={3\over 2}.
$](http://images.astronet.ru/pubd/2008/02/15/0001226214/img334.gif)
То же можно вычислить и для многоатомных газов, но этот случай неинтересен: сейчас мы знаем о звездах несколько больше, чем 100 лет назад.
Введем переменную таким образом, чтобы
![$\displaystyle \rho=\lambda \Theta^n, \quad P=K \lambda^{1+{1\over n}} \Theta^{n+1},
$](http://images.astronet.ru/pubd/2008/02/15/0001226214/img336.gif)
![$\displaystyle {\rho\over \rho_c}={\lambda \Theta^n\over \rho_c}, \quad
{P\over \rho}=K\lambda^{1\over n}\Theta$](http://images.astronet.ru/pubd/2008/02/15/0001226214/img337.gif)
![$\displaystyle \quad H=(n+1)K\lambda^{1\over n}
\Theta.
$](http://images.astronet.ru/pubd/2008/02/15/0001226214/img338.gif)
![$ \Theta$](http://images.astronet.ru/pubd/2008/02/15/0001226214/img335.gif)
![$\displaystyle \varphi+H=$](http://images.astronet.ru/pubd/2008/02/15/0001226214/img339.gif)
![$\displaystyle $](http://images.astronet.ru/pubd/2008/02/15/0001226214/img313.gif)
![$ \Delta$](http://images.astronet.ru/pubd/2008/02/15/0001226214/img60.gif)
![$ \varphi$](http://images.astronet.ru/pubd/2008/02/15/0001226214/img131.gif)
![$ 4\pi G
\rho$](http://images.astronet.ru/pubd/2008/02/15/0001226214/img340.gif)
![$ \Delta \varphi=4\pi G \lambda \Theta^n$](http://images.astronet.ru/pubd/2008/02/15/0001226214/img341.gif)
![$ H$](http://images.astronet.ru/pubd/2008/02/15/0001226214/img342.gif)
![$ (n+1)K\lambda^{1/n}\Delta \Theta $](http://images.astronet.ru/pubd/2008/02/15/0001226214/img343.gif)
![$\displaystyle 4\pi G \lambda \Theta^n+(n+1)K\lambda^{1/n}\Delta \Theta=0 .
$](http://images.astronet.ru/pubd/2008/02/15/0001226214/img344.gif)
Будем упрощать полученное соотношение, изменяя масштаб, т.е. вводя переменную
через соотношение
,
![$\displaystyle 4\pi G \lambda \Theta^n+{(n+1)K\lambda^{1/n}\over \alpha^2} \Delta_\xi
\Theta=0,
$](http://images.astronet.ru/pubd/2008/02/15/0001226214/img347.gif)
![$ \Delta_\xi={1\over \xi^2} {\partial\over \partial \xi} \xi^2
{\partial\over \partial \xi}$](http://images.astronet.ru/pubd/2008/02/15/0001226214/img348.gif)
Выберем так, чтобы
.
Тогда уравнение равновесия запишется в виде
![$\displaystyle \Delta_\xi \Theta+\Theta^n=0 ,$](http://images.astronet.ru/pubd/2008/02/15/0001226214/img350.gif)
![$\displaystyle \quad{1\over \xi^2}
{d\over d \xi}
\xi^2 {d \Theta\over d \xi}+\Theta^n=0.
$](http://images.astronet.ru/pubd/2008/02/15/0001226214/img351.gif)
Таким образом, при данном уравнение равновесия одно и то же для звезд любой
массы. Решая уравнение при граничных условиях
(т.е. положив
), получим монотонное
убывание
от единицы к нулю
(рис. 12). Значение
, где
, является границей звезды. Плотность
, пропорциональная
, при
спадает более круто, чем
. Мы уже показывали в
разделе 1.5, что при
степенном уравнении состояния на краю звезды
.
Но
, т.е.
. Поэтому
и вблизи
величина
проходит нуль с конечной
производной, хотя
``стелется'' (при
), т.е. подходит к нулю, касаясь
оси абсцисс.
Ясно, что для звезд с различными и
кривые с одинаковыми
подобны.
Достаточно знать только одну функцию
. Подчеркнем важность
граничного
условия
. Обратное
означало бы конечный скачок
ускорения в центре (т.е. особенность)2.1.
Несколько авторов в прошлом веке численно проинтегрировали уравнение для различных
. В частности, Эмден получил таблицы
c большой точностью.
Значение этих вычислений теперь невелико, так как расчет реальных звезд проводится
с учетом физических факторов, совершенно не учитываемых в политропной теории
(нестепенное уравнение состояния; истинная связь
и
получается из
рассмотрения всех процессов, включая перенос излучения, ядерные реакции). Однако
для качественных исследований решение уравнений Эмдена весьма полезно. Например,
с помощью политропной модели легко показать невозможность существования
сверхмассивных звезд. Это важно для проблемы квазаров.
<< 2. Политропные шары | Оглавление | 2.2 Основные параметры политропы >>
Публикации с ключевыми словами:
Эволюция звезд - внутреннее строение звезд - термоядерные реакции - физические процессы
Публикации со словами: Эволюция звезд - внутреннее строение звезд - термоядерные реакции - физические процессы | |
См. также:
Все публикации на ту же тему >> |