Астронет > 1.8 Теорема вириала

по текстам по ключевым словам в глоссарии по сайтам перевод по каталогу

Физические основы строения и эволюции звезд

<< 1.7 Вариационный принцип | Оглавление | 2. Аналитическая теория политропных ... >>

1.8 Теорема вириала

Предположим, что уравнение состояния степенное: $P=K\rho^\gamma$ . Тогда удельная тепловая энергия $E={K\over {\gamma-1}}\rho^{\gamma-1}={K\over {\gamma-1}}v^{-( \gamma-1)}$ . Мы знаем, что в равновесии $\delta {\cal{E}}=0$ при произвольной $\delta r(m)$ . Пусть $\delta r=(1+\alpha) r \;(\vert\alpha\vert \ll 1)$ . Такое возмущение описывает подобное (гомологическое) расширение или сжатие звезды. Тогда $v'=(1+ 3\alpha)v, \;\delta U=-\alpha U, \;\delta Q=-3(\gamma-1)\alpha Q$ . Следовательно,

$\displaystyle \delta {\cal{E}}=-3(\gamma-1)\alpha Q-\alpha U=0,$

откуда

$\displaystyle Q=-{1\over {3(\gamma-1)}}U$

(это соотношение и называют теоремой вириала). Для одноатомного газа с $\gamma= {5\over 3}$ имеем $Q=-{U\over 2}, \;{\cal{E}}={U\over 2}=-Q$ .

$\begin{wrapfigure}{l}{0.5\textwidth} \epsfxsize =0.45\textwidth \hbox to0.5\textwidth{\hss\epsfbox{fig/f11.ai}\hss} \end{wrapfigure}$

Рис. 11.

Теперь положим $r'=\beta r$ , причем не будем считать $\vert\beta-1\vert$ малой величиной, а исходное состояние -- равновесным. Обозначим через и соответствующие величины энергий исходной модели. Тогда после преобразования $U={1\over \beta}U_1, \;Q={1\over {\beta^{3(\gamma-1)}}}Q_1$ (для степенного уравнения состояния). Если $\gamma= {5\over 3}$ , то $Q={1\over \beta^2}Q_1$ . Как выглядит в этом случае кривая ${\cal{E}} (\beta)$ ? При $\beta \to \infty$ асимптотика определяется величиной , при $\beta \to 0$ -- величиной (рис. 11). Получаем, что при $\gamma=5/3$ кривая имеет один и только один минимум, т.е. равновесие устойчиво.

Получим теорему вириала другим способом из уравнения равновесия, причем зависимость $P(\rho)$ может быть произвольной. (Выше при выводе теоремы вириала из вариационного принципа зависимость $P=K\rho^\gamma$ была существенна). Умножим уравнение равновесия (1.6) на :

$\displaystyle -{r\over \rho} \,{dP\over {dr}}={Gm\over r}$

и проинтегрируем по

$\begin{displaymath} \begin{array}{ll} \int {Gmdm\over r}&=-\int {r\over \rho} \,... ...ight\vert _0^R+3\int P \,4\pi r^2 dr=3\int PdV, \cr \end{array}\end{displaymath}$

т.е.

$\displaystyle \int {Gmdm\over r}=3\int PdV$

теорема вириала при произвольном $P(\rho)$ .

При степенном уравнении состояния, используя $P=(\gamma-1)E \,\rho$ , имеем уже известное соотношение $U=-3(\gamma-1)Q$ .

В действительности уравнение состояния не степенное, но для многих оценок полезно знать свойства звезд с таким уравнением состояния. Для степенного уравнения состояния имеется подобие, т.е. достаточно решить задачу при данном $\gamma$ для одного значения $\rho_c$ , чтобы найти функциональную зависимость $M(\rho_c)$ и $R(\rho_c)$ . В систему уравнений

$\displaystyle -{1\over \rho} \,{dP\over {dr}}={Gm\over r^2},\quad {dm\over dr}=4\pi r^2 \,\rho,\quad P=K\rho^\gamma$

входят размерные константы

$\displaystyle [G]={\mbox{см}^3\over \mbox{г} \cdot \mbox{с}^2}, \;[K]={\mbox{см... ...\over \mbox{см}^3}\right)^{-\gamma+1}, \;[\rho_c]= {\mbox{г}\over\mbox{см}^3}.$

Поэтому, комбинируя $G, \;K, \;\rho_c$ в различных степенях, можно получить массу, радиус и другие характеристики звезды. Эту задачу можно решить формально, составляя систему уравнений типа

$\displaystyle [R]=$ см $\displaystyle ^1=[G]^x \,[K]^y \,[\rho_c]^z=$ см $\displaystyle ^\alpha \,$ г $\displaystyle ^\beta \,$ с $\displaystyle ^\delta\,,$

$\displaystyle \alpha=1, \;\beta=0, \;\delta=0, \;$ т.е. $\displaystyle$

$\displaystyle 3x+(3\gamma-1)y-3z=1,$

$\displaystyle -x+(1-\gamma)y+z=0,$

$\displaystyle -2x-2y=0;$

откуда $x=-{1\over 2}, \;y={1\over 2}, \;z={{\gamma-2}\over 2}$ , т.е. $R\sim ( K/G)^{1\over 2}\rho_c^{{\gamma-2}\over 2}$ .

Более наглядно эта связь получается с помощью порядковых оценок:

$\displaystyle P_c \simeq {GM^2\over R^4}, \quad\rho_c \simeq {M\over R^3}, \quad P_c=K\rho_c^\gamma.$

Смысл первого соотношения легко понять, если вспомнить, что сила притяжения между двумя половинками звезды $\sim {GM^2\over R^2}$ , а давление (сила на единицу площади, пропорциональной

) $\sim {GM^2\over R^4}$ . Исключая из этих выражений

, имеем выражение для

, а исключая

, находим

$\displaystyle {P_c\over \rho_c^{4/3}} \sim GM^{2/3} \sim K\rho_c^{\gamma-4/3}, \quad \rho_c \sim \left({GM^{2/3}\over K}\right)^{1\over {\gamma-4/3}}.$

Подчеркнем, что вид кривых $M(\rho_c)$ и $R(\rho_c)$ зависит от безразмерной величины $\gamma$ , т.е. кривые для разных $\gamma$ не подобны.

<< 1.7 Вариационный принцип | Оглавление | 2. Аналитическая теория политропных ... >>

Публикации с ключевыми словами: Эволюция звезд - внутреннее строение звезд - термоядерные реакции - физические процессы
Публикации со словами: Эволюция звезд - внутреннее строение звезд - термоядерные реакции - физические процессы

См. также:

Переработка вещества в Кассиопее А

NGC 7789: Роза Каролины

Планетарная туманность NGC 2818 от Хаббла

Научная конференция "Наблюдаемые проявления эволюции звезд" в САО РАН

Планетарные туманности

Прошлые и будущие звёзды Андромеды

Туманность Ожерелье

Все публикации на ту же тему >>

Обсудить эту публикацию

Версия для печати

Астрометрия - Астрономические инструменты - Астрономическое образование - Астрофизика - История астрономии - Космонавтика, исследование космоса - Любительская астрономия - Планеты и Солнечная система - Солнце