---

<< 5.3 Протозвезды. | Оглавление | 6. Ядерные реакции >>

Разделы

• 5.4.1 Гидростатическое равновесие
• 5.4.2 Теорема вириала
• 5.4.3 Тепловая устойчивость звезд. Отрицательная теплоемкость.

---

5.4 Стационарные звезды

Физическое состояние стационарных звезд определяется условиями гидростатического равновесия (когда макроскопические параметры - масса, радиус - изменяются на больших временах динамического времени ) и теплового равновесия (несмотря на мощное энерговыделение в центре, звезды не взрываются, их светимость меняется плавно).

5.4.1 Гидростатическое равновесие

Рассмотрим объем вещества с давлением . Сила, стремящаяся расширить объем , где - элемент поверхности. Очевидно, если нет градиента давления () . В общем случае имеем: откуда . Т.о. сила, действующая на элемент объема

Сила гравитационного притяжения, действующая на объем - массовая, действует на элемент , , где - ньютоновский гравитационный потенциал. Суммарная сила, действующая на элементарный объем в звезде

В равновесии суммарная сила равна нулю, откуда получаем уравнение гидростатического равновесия

Для сферически-симметричного случая , и

Для оценок по порядку величины можно пользоваться приближенной формой уравнения гидростатического равновесия

где и - масса и радиус звезды. Эта формуля дает хорошее приближение для центрального давления в самогравитирующем газовом шаре.

5.4.2 Теорема вириала

Прямым следствием уравнения гидростатического равновесия  (5.5) является теорема вириала, связывающая тепловую (кинетическую) и потенциальную (гравитационную) энергию стационарной звезды. Переходя к лагранжевой массе в качестве независимой переменной

умножим полученное уравнение на и проинтегрируем по частям. В результате приходим к теореме вириала для самогравитирующих газовых шаров

(использовали граничное условие - равенство давления на поверхности сферы).

В важном частном случае политропного уравнения состояния (адиабата) , удельная энергия на 1 грамм вещества есть , поэтому получаем

где - тепловая энергия.

Пример 1. Оценим температуру в центре Солнца. Пусть вся звезда состоит из идеального одноатомного газа, . , и находим (с учетом молекулярного веса полностью ионизованной плазмы состоящей по массе на 75 из водорода и на 25 из гелия )  K. Точное значение - 14 млн. градусов. Пример 2. Физически важные случаи:

1) . Этот показатель адиабаты соответствует идеальному одноатомному газу, а также нерелятивистскому вырожденному ферми-газу. Получаем т.е. знакомый вид теоремы вириала в механике для движения тел в потенциале .

2) . Этот показатель адиабаты характерен для газа из релятивистских частиц (например, фотонов или безмассовых нейтрино), когда связь между давлением и плотностью энергии , или для релятивистского вырожденного ферми-газа. В этом случае теорема вириала для самогравитирующей конфигурации дает , , т.е. такая конфигурация находится в положении безразличного равновесия:

Очевидно, полная энергия

является линейной функцией и равновесие () возможно только при . При полная энергия положительна, , т.е. система гравитационно не связанная, и при малых возмущениях распадается ( ). При полная энергия отрицательна, , при малых возмущениях система коллапсирует ( ). Потеря устойчивости всегда происходит в динамической шкале времени, .

Более точно критерий устойчивости выводится из вариационного принципа для полной энергии:

(считаем, что вклад макроскопических движений вещества в полную энергию пренебрежимо мал, в противном случае под интеграл следует добавить кинетическую энергию единицы массы ). Условие экстремума первой вариации энергии по изменению плотности и удельной энергии на грамм вещества по радиусу приводит к уравнению гидростатического равновесия, а условие дает критерий устойчивости по отношению к радиальным возмущениям. Для политропного уравнения состояния знак второй вариации полной энергии оказывается эквивалентным соотношению на эффективный показатель адиабаты вещества звезды (устойчивость) или (неустойчивость) и - безразличное равновесие. См. подробнее в монографии Я.Б. Зельдович, И.Д. Новиков. "Теория тяготения и эволюция звезд", М.: Наука, 1975.

Отметим также, что теорема вириала для системы из многих частиц может быть получена не только из термодинамического рассмотрения, но из классических и квантовых уравнений движения. Она применима как для динамически устойчивых макроскопических систем (например, звездных скоплений), так и для квантовых систем (заряженные частицы в кулоновском поле).

5.4.3 Тепловая устойчивость звезд. Отрицательная теплоемкость.

Рассмотрим теорему вириала для одноатомного идеального газа, который является хорошим приближением для вещества нормальных звезд (): . Отсюда следует равенство , т.е. сообщение энергии звезде () приводит к ее охлаждению, , а излучение энергии () - к разогреву , . Иными словами, звезда, находящаяся в гидростатическом равновесии (т.е. подчиняющаяся теореме вириала) обладает отрицательной теплоемкостью: (здесь - теплоемкость газа звезды), .

Замечание: теорема об отрицательной теплоемкости справедлива для любой стационарной системы в поле тяготения - например, спутник на стационарной орбите вокруг Земли: при торможении спутника в атмосфере (отбор энергии от системы Земля-спутник) он переходит на более низкую орбиту с увеличением скорости ( ).

Пусть - подвод тепла к звезде (термоядерные реакции), - отвод энергии (например, излучением с поверхности). В равновесии имеем . Изменение температуры со временем находим из уравнения теплового баланса

Разлагая правую часть в ряд вблизи точки имеем

(здесь ). Как будет показано в следующей лекции, в нормальных звездах (термоядерные реакции), ъ (фотонное охлаждение с поверхности фотосферы с учетом диффузионного характера переноса энергии от зоны ядерных реакций наружу) и коэффициент в правой части положителен, откуда

В системах с положительной теплоемкостью разница температур экспоненциально возрастает (ср. взрыв тротила), в звездах же с отрицательной теплоемкостью рост флюктуаций температуры невозможен - звезды находятся в устойчивом тепловом равновесии.

Характерное время установления теплового равновесия в звезде (т.н. тепловое время, или время Кельвина-Гельмгольца) грубо можно определить из теоремы вириала, приняв за оценку время, необходимое для потери запаса тепловой энергии при заданном темпе отвода энергии (т.е. светимости ). Имеем ,

(во втором равенстве использовали соотношение масса-радиус и масса-светимость для нормальных звезд околосолнечной массы , ). В XIX в. Кельвин и Гельмгольц таким образом оценивали время жизни Солнца. Любопытно, что Кельвин не принимал теорию эволюции Дарвина (которая требовала миллиардов лет для развития видов) на основании своего заключения о возрасте Солнца в 30 млн. лет! В начале ХХ в. стало ясно, что возраст Земли намного превосходит 30 млн. лет - возникла необходимость поиска источника энергии на Солнце. Таким источником являются термоядерные реакции синтеза тяжелых элементов из водорода и гелия.

ЛИТЕРАТУРА

1. С.А.Каплан. Физика звезд. 3 изд. М.: Наука, 1977

2. Я.Б.Зельдович, С.И.Блинников, Н.И.Шакура. Физические основы строения и эволюции звезд. М.: МГУ, 1982

---

<< 5.3 Протозвезды. | Оглавление | 6. Ядерные реакции >>

Публикации с ключевыми словами: звезды - Межзвездная среда - Космология - теоретическая астрофизика - астрофизика Публикации со словами: звезды - Межзвездная среда - Космология - теоретическая астрофизика - астрофизика
См. также: Местное межзвездное облако Черная дыра разрушает звезду: анимация Звезды, пыль и туманность в NGC 6559 25 самых ярких звезд на ночном небе Анимация: черная дыра разрушает звезду Разложение далекого света Сравнение размеров звезд Все публикации на ту же тему >>