<< 3.1. Уравнения движения | Оглавление | 4. Интегрируемость >>
3.2. Области и мажоранты
В пространстве положений и пространстве скоростей размерности
введем норму - наибольшую из длин составляющих его трехмерных
векторов
![](http://images.astronet.ru/pubd/2005/12/14/0001210340/img178.gif)
![](http://images.astronet.ru/pubd/2005/12/14/0001210340/img67.gif)
при положительных
![](http://images.astronet.ru/pubd/2005/12/14/0001210340/img180.gif)
![](http://images.astronet.ru/pubd/2005/12/14/0001210340/img73.gif)
![](http://images.astronet.ru/pubd/2005/12/14/0001210340/img67.gif)
![](http://images.astronet.ru/pubd/2005/12/14/0001210340/img75.gif)
![](http://images.astronet.ru/pubd/2005/12/14/0001210340/img181.gif)
![](http://images.astronet.ru/pubd/2005/12/14/0001210340/img59.gif)
![](http://images.astronet.ru/pubd/2005/12/14/0001210340/img182.gif)
![](http://images.astronet.ru/pubd/2005/12/14/0001210340/img14.gif)
![](http://images.astronet.ru/pubd/2005/12/14/0001210340/img183.gif)
![](http://images.astronet.ru/pubd/2005/12/14/0001210340/img64.gif)
![](http://images.astronet.ru/pubd/2005/12/14/0001210340/img184.gif)
На постоянные
наложим ограничения,
гарантирующие быстрый разлет тел без тесных сближений. Именно, пусть
Здесь
![](http://images.astronet.ru/pubd/2005/12/14/0001210340/img187.gif)
![](http://images.astronet.ru/pubd/2005/12/14/0001210340/img188.gif)
![](http://images.astronet.ru/pubd/2005/12/14/0001210340/img189.gif)
![](http://images.astronet.ru/pubd/2005/12/14/0001210340/img190.gif)
![](http://images.astronet.ru/pubd/2005/12/14/0001210340/img191.gif)
Неравенства
,
гарантируют, что точки
в области
отделены друг от друга и
обладают ненулевыми относительными скоростями.
Положительность
обеспечивает неколлинеарность
векторов относительного положения
и
относительной скорости
. Точнее, положительность
равносильна
что влечет отсутствие тесных сближений. Здесь
![](http://images.astronet.ru/pubd/2005/12/14/0001210340/img198.gif)
![](http://images.astronet.ru/pubd/2005/12/14/0001210340/img196.gif)
![](http://images.astronet.ru/pubd/2005/12/14/0001210340/img195.gif)
![](http://images.astronet.ru/pubd/2005/12/14/0001210340/img199.gif)
![](http://images.astronet.ru/pubd/2005/12/14/0001210340/img200.gif)
Переходим к определению . На множестве
В силу (27)
![](http://images.astronet.ru/pubd/2005/12/14/0001210340/img203.gif)
![](http://images.astronet.ru/pubd/2005/12/14/0001210340/img204.gif)
Вывод второго из неравенств (31) повторяет вывод первого с точностью до обозначений. Далее,
![](http://images.astronet.ru/pubd/2005/12/14/0001210340/img206.gif)
![](http://images.astronet.ru/pubd/2005/12/14/0001210340/img207.gif)
Согласно (30, 31, 32) на множестве
![](http://images.astronet.ru/pubd/2005/12/14/0001210340/img59.gif)
В силу (26) можно положить
С учетом первого из неравенств (57) приложения допустимо считать
Поскольку не зависит от
, то
.
Переходим к определению .
В силу (26)
![](http://images.astronet.ru/pubd/2005/12/14/0001210340/img214.gif)
![](http://images.astronet.ru/pubd/2005/12/14/0001210340/img215.gif)
так что
Формулы (7, 37, 33) показывают, что можно положить
С помощью последнего из неравенств (57) приложения устанавливаем, что допустимо считать
Итак, мы находимся в условиях теоремы 1 (с учетом замечания на
с. ) при
. Сформулируем результат.
Теорема 2. При всех положительных
и векторах
, подчиненных условиям (28) и
где
![](http://images.astronet.ru/pubd/2005/12/14/0001210340/img224.gif)
![](http://images.astronet.ru/pubd/2005/12/14/0001210340/img225.gif)
1) решения системы (25) с начальными данными из
продолжимы на всю ось времени и не выходят из
,
принадлежа
при каждом
;
2) решения, начинающиеся в , можно найти с помощью итераций,
сходящихся со скоростью геометрической прогрессии;
сходимость к
равномерна относительно начальных данных и времени
на множестве
, сходимость к
равномерна на множестве
при любом
;
3) при
и
переменные
стремятся к постоянным;
4) векторы
(за исключением не более одного из
них) стремятся к линейным функциям времени.
Доказательство. Условия (28) влекут (7, 8)
при и
, определяемых по (35,
39). Неравенство (9) следует из (40) при
. Все условия теоремы 1 выполнены, откуда следует
справедливость первых трех утверждений теоремы 2.
Равенство
может выполняться только в том случае, если шар
![](http://images.astronet.ru/pubd/2005/12/14/0001210340/img235.gif)
![](http://images.astronet.ru/pubd/2005/12/14/0001210340/img236.gif)
Теорема доказана.
Остановимся еще раз на физическом смысле условий теоремы 2.
Они наложены на параметры системы, каковыми являются
массы , и область начальных данных, описываемую постоянными
. Подчеркнем, что все ограничения
проверяются только для эпохи
. Выполнение второго и третьего
условий (28) означает, что любые две точки системы
отделены друг от друга как в пространстве положений, так и в
пространстве скоростей. Последнее из условий (28) означает,
что векторы взаимной скорости и положения любых двух точек
неколлинеарны. Точнее, угол
между векторами
подчинен условию (29).
Первое из условий (40) выражает малость масс . Точнее,
малость отношения модуля гравитационной потенциальной энергии системы
к ее кинетической энергии. Или иначе, реальная масса
системы много меньше ее вириальной массы.
Второе из условий (40) означает,
что для любых двух точек
отношение квадрата параболической
скорости к взаимной скорости мало по сравнению со скоростью
, на которую
нужно отступить для получения
из
.
Замечание. Все перечисленные условия совместны:
достаточно выбрать неколлинеарные
,
малые
, а затем малые
. Можно сначала фиксировать
любые
и выбрать достаточно большие скорости разлета
. Таким образом, теорема 2 (как и последующие)
применима к задаче с произвольным числом тел N и произвольными
массами
.
Если ограничиться только будущим, то условие
становится необязательным: достаточно исключить сближения лишь при
.
Сформулируем результат, изменяя смысл постоянных
и сохраняя смысл остальных.
Теорема 3.
При всех положительных
и векторах
,
подчиненных условиям
где
![](http://images.astronet.ru/pubd/2005/12/14/0001210340/img246.gif)
1) решения системы (25) с начальными данными из
продолжимы на всю полуось
и не выходят из
,
принадлежа
при каждом
;
2) решения, начинающиеся в , можно найти с помощью
итераций, сходящихся со скоростью геометрической прогрессии;
сходимость к
равномерна относительно начальных данных и времени
на множестве
, сходимость к
равномерна на множестве
при любом
;
3) при
переменные
стремятся к постоянным;
4) векторы
(за исключением не более одного из
них) стремятся к линейным функциям времени.
Доказательство.
Из (30, 42) следует при
Вместо (34, 38) теперь
так что по лемме 6 за
![](http://images.astronet.ru/pubd/2005/12/14/0001210340/img250.gif)
<< 3.1. Уравнения движения | Оглавление | 4. Интегрируемость >>
Публикации с ключевыми словами:
Небесная механика - задача трех тел
Публикации со словами: Небесная механика - задача трех тел | |
См. также:
Все публикации на ту же тему >> |