Астронет > 1.5 Давление газа. Уравнение равновесия звезды

по текстам по ключевым словам в глоссарии по сайтам перевод

Физические основы строения и эволюции звезд

<< 1.4 Энергия гравитационного взаим... | Оглавление | 1.6 Основы термодинамики звезд >>

1.5 Давление газа. Уравнение равновесия
звезды

Для звезды, находящейся в равновесии, сила гравитационного притяжения, действующая на какой-либо элемент массы , должна быть скомпенсирована равной по величине и противоположной по направлению силой. Такая уравновешивающая гравитацию сила в звездах обусловлена давлением вещества (точнее, градиентом давления).

В общем случае давление является величиной, позволяющей описать силу, действующую на выделенный в жидкости или газе объем произвольной формы со стороны окружающего его вещества, как интеграл по разделяющей поверхности

$\displaystyle \vec F = -\int\limits_S Pd\vec S,$

(1.4)

где давление

зависит только от состояния вещества на этой поверхности. Вектор $d\vec S=\vec n dS$ ( $\vec n$ -- нормаль к элементу поверхности

) направлен в любой точке наружу от поверхности, поэтому в (1.4) перед интегралом стоит знак минус. Из (1.4) следует размерность давления

дин/см

Для жидкости, в которой давление однородно ( const), имеем очевидное выражение для силы, действующей на замкнутую поверхность: $\vec F=0$ . Пусть теперь давление неоднородно. В общем случае в малой окрестности некоторой точки, раскладывая в ряд, можно записать:

$\displaystyle P=P_0+\vec r\, \nabla P+r_ir_k($ вторые производные $\displaystyle )+ \cdots \; .$

(1.5)

Подставляя (1.5) в (1.4), найдем, что с точностью до величин второго порядка малости сила, действующая на объем

, ограниченный поверхностью

, равна $d\vec F_P=-\nabla PdV$ , т.е. сила давления является объемной силой -- она пропорциональна

и направлена из области большего давления в область меньшего. Масса объема

равна $dm=\rho \;dV$ . Сила гравитационного притяжения, которая является массовой силой, равна $d\vec F_g= -\nabla\varphi dm$ .

В равновесии для невращающейся звезды эти две силы должны компенсировать друг друга, т.е.

$\displaystyle d\vec F=-\nabla\varphi \;dm-\nabla PdV=0 \; .$

Окончательно условие механического равновесия записывается в виде

$\displaystyle {1\over \rho} \,\nabla P+\nabla \varphi=0.$

$\begin{wrapfigure}{l}{0.5\textwidth} \epsfxsize =0.5\textwidth \hbox to0.5\textwidth{\epsfbox{fig/f07.ai}\hss} \end{wrapfigure}$

Рис. 7.

Для сферически-симметричных звезд уравнение гидростатического равновесия имеет вид

$\displaystyle {1\over \rho} \,{dP\over dr}+{Gm(r)\over r^2}=0.$

(1.6)

Сила гравитационного притяжения направлена к центру звезды. Уравновешивающая сила давления пропорциональна $- \,\nabla P$ , т.е. для поддержания равновесия звезды давление должно с необходимостью монотонно расти от поверхности к центру звезды.

Выделим внутри звезды единичный цилиндрический объем ( $dV=dSdr=1 \;$ см $^3, dr=1 \;$ см $, dS=1 \;$ см) так, чтобы основания цилиндра были перпендикулярны радиусу. Для такого объема сила, обусловленная давлением, равна $-{dP\over dr} \;[$ дин/см. Выделим теперь шаровой сектор с раствором телесного угла $d \Omega$ (см. рис. 7). Казалось бы, поскольку сила давления на внешнюю поверхность шарового сектора равна ${r^2}Pd\Omega$ , то результирующая сила давления, действующая на единичный объем этого сектора, равна $-{1\over r^2} \, {d\over dr} \,({r^2}P)$ . Не будет ли более правильным подставлять это выражение в (1.6) вместо величины $-{dP\over dr}$ ? Оказывается нет. При выводе силы, действующей на шаровой сектор, мы не учли давление на боковые поверхности сектора, что дает добавочную силу вдоль радиуса ${P\over r^2} \, {dr^2\over dr}$ . С учетом последнего мы опять приходим к выражению для силы газового давления $-{dP\over dr}$ .

В общем случае неизотропного давления следует применять выражение

$\displaystyle F_r=-{1\over r^2} \,{d({r^2}P_{rr})\over {dr}}+{P_{\theta \theta}\over r^2} {dr^2 \over dr},$

где $P_{rr} \ne P_{\theta \theta}$ . Для обычных газовых звезд давление изотропно -- выполняется закон Паскаля: $P_{rr}=P_{\theta \theta}$ и $F_r=-{dP\over dr}$ .

Предположим, что нам известно уравнение состояния в виде $P=P \,(\rho)$ , т.е. давление является функцией только плотности. Зададимся значениями в центре $\rho_c$ и $P_c \;(r=0)$ . Тогда имеем систему двух обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка:

$\displaystyle {1\over \rho} \,{dP\over d \,\rho} \,{d \,\rho\over dr}=-{Gm(r)\over r^2},$

(1.7)

$\displaystyle {dm\over dr}=4\pi \rho \; r^2,$

(1.8)

решая которую, получаем распределение плотности и давления вдоль радиуса.

Рассмотрим асимптотическое поведение решения в центре ( $r \to 0$ ) и на краю звезды ( $r \to R$ ). При $r \to 0$ получим

$\displaystyle m \approx {4\pi\over 3} \;\rho_c r^3,$

$\displaystyle P=P_c-k_1 r^2=P_c-{2\pi\over 3}G{\rho_c}^2 r^2,$

$\displaystyle \rho=\rho_c-k_2 r^2=\rho_c-{\left(\partial P\over \partial \;\rho\right)}^{-1} {2\pi\over 3}G\rho_c^2 r^2,$

т.е. в центре

и ${d\rho/dr}=0$ .

На краю звезды имеем и, интегрируя уравнение равновесия (1.7), получим

$\displaystyle \int {dP\over \rho}={GM\over r}+$ const $\displaystyle .$

Для того чтобы звезда имела определенную внешнюю границу, интеграл $\int{dP/ \rho}$ должен сходиться при $\rho \to 0$ . Например, для изотермической атмосферы $P \,\sim \,\rho T \;(T=$ const

интеграл расходится, т.е. изотермическая атмосфера должна быть бесконечна.

Если давление является степенной функцией плотности $P=K \,\rho^\gamma$ , то необходимым (но не достаточным) условием конечности атмосферы является $\gamma> 1$ . В этом случае

$\displaystyle \rho^{\gamma-1}\sim \,A+{GM\over r}.$

Из условия $\rho \to 0$ при $r \to R$ получим $A+{GM\over R}=0$ и

$\displaystyle \rho^{\gamma-1} \,\sim \,M\left({1\over r}-{1\over R}\right) \,\s... ..., {{M(R-r)} \over R^2}, \; \mbox{т.е.} \;\rho \sim {(R-r)}^{1\over {\gamma-1}}$

вблизи края звезды. Для частного, но встречающегося часто случая $\gamma=4/3 \; (\rho \sim T^3, \;P \sim \rho T \sim \rho^{4/3})$ , получим $\rho \sim {(R-r)}^3\;$ при $\; r \to R$ .

$\begin{wrapfigure}{l}{0.5\textwidth} \epsfxsize =0.45\textwidth \hbox to0.5\textwidth{\hss\epsfbox{fig/f08.ai}\hss} \end{wrapfigure}$

Рис. 8.

При определенном уравнении состояния $P(\rho)$ не всегда можно решить задачу для данной массы (может оказаться, что решений для выбранной массы вообще не существует). Однако, задаваясь центральной плотностью $\rho_c$ , можно найти набор решений с различными массами, т.е. построить кривую $M(\rho_c)$ (рис. 8). После этого уже видно, какие решения соответствуют данной массе, при каких массах существуют решения (т.е. состояния равновесия) и т.п.

Такой же подход применим и в ОТО. Качественно все остается по-прежнему: решение можно находить, интегрируя от центра, так как внешние слои не создают ускорения.

<< 1.4 Энергия гравитационного взаим... | Оглавление | 1.6 Основы термодинамики звезд >>

Публикации с ключевыми словами: Эволюция звезд - внутреннее строение звезд - термоядерные реакции - физические процессы
Публикации со словами: Эволюция звезд - внутреннее строение звезд - термоядерные реакции - физические процессы

См. также:

Туманность Кошачий глаз: переобработка данных космического телескопа

Кошачий глаз в ширину и глубину

Двойная звезда φ Персея

Эта Киля в рентгеновских лучах

Туманность Кошачий глаз

Планетарная туманность Стухшее Яйцо

Туманность Эскимос в обновленный телескоп Хаббла

Все публикации на ту же тему >>

Обсудить эту публикацию

Версия для печати

Астрометрия - Астрономические инструменты - Астрономическое образование - Астрофизика - История астрономии - Космонавтика, исследование космоса - Любительская астрономия - Планеты и Солнечная система - Солнце