Astronet Астронет: Я. Б. Зельдович, С. И. Блинников, Н. И. Шакура Физические основы строения и эволюции звезд
http://variable-stars.ru/db/msg/1169513/node8.html
Физические основы строения и эволюции звезд
<< 1.4 Энергия гравитационного взаим... | Оглавление | 1.6 Основы термодинамики звезд >>

1.5 Давление газа. Уравнение равновесия
звезды


Для звезды, находящейся в равновесии, сила гравитационного притяжения, действующая на какой-либо элемент массы $ dm$, должна быть скомпенсирована равной по величине и противоположной по направлению силой. Такая уравновешивающая гравитацию сила в звездах обусловлена давлением вещества (точнее, градиентом давления).

В общем случае давление $ P$ является величиной, позволяющей описать силу, действующую на выделенный в жидкости или газе объем $ V$ произвольной формы со стороны окружающего его вещества, как интеграл по разделяющей поверхности

$\displaystyle \vec F = -\int\limits_S Pd\vec S,$ (1.4)

где давление $ P$ зависит только от состояния вещества на этой поверхности. Вектор $ d\vec S=\vec n dS$ ($ \vec n$ -- нормаль к элементу поверхности $ dS$) направлен в любой точке наружу от поверхности, поэтому в (1.4) перед интегралом стоит знак минус. Из (1.4) следует размерность давления $ [P]=$дин/см$ ^2.$

Для жидкости, в которой давление однородно ( $ P=$const), имеем очевидное выражение для силы, действующей на замкнутую поверхность: $ \vec F=0$. Пусть теперь давление неоднородно. В общем случае в малой окрестности некоторой точки, раскладывая в ряд, можно записать:

$\displaystyle P=P_0+\vec r\, \nabla P+r_ir_k($вторые производные$\displaystyle )+ \cdots \; .$ (1.5)

Подставляя (1.5) в (1.4), найдем, что с точностью до величин второго порядка малости сила, действующая на объем $ dV$, ограниченный поверхностью $ dS$, равна $ d\vec F_P=-\nabla PdV$, т.е. сила давления является объемной силой -- она пропорциональна $ dV$ и направлена из области большего давления в область меньшего. Масса объема $ dV$ равна $ dm=\rho \;dV$. Сила гравитационного притяжения, которая является массовой силой, равна $ d\vec F_g= -\nabla\varphi dm$.

В равновесии для невращающейся звезды эти две силы должны компенсировать друг друга, т.е.

$\displaystyle d\vec F=-\nabla\varphi \;dm-\nabla PdV=0 \; . $

Окончательно условие механического равновесия записывается в виде

$\displaystyle {1\over \rho} \,\nabla P+\nabla \varphi=0. $

\begin{wrapfigure}{l}{0.5\textwidth} \epsfxsize =0.5\textwidth \hbox to0.5\textwidth{\epsfbox{fig/f07.ai}\hss} \end{wrapfigure}
Рис. 7.

Для сферически-симметричных звезд уравнение гидростатического равновесия имеет вид

$\displaystyle {1\over \rho} \,{dP\over dr}+{Gm(r)\over r^2}=0.$ (1.6)

Сила гравитационного притяжения направлена к центру звезды. Уравновешивающая сила давления пропорциональна $ - \,\nabla P$, т.е. для поддержания равновесия звезды давление должно с необходимостью монотонно расти от поверхности к центру звезды.

Выделим внутри звезды единичный цилиндрический объем ( $ dV=dSdr=1 \;$см$ ^3, dr=1 \;$см$ , dS=1 \;$см$ ^2$) так, чтобы основания цилиндра были перпендикулярны радиусу. Для такого объема сила, обусловленная давлением, равна $ -{dP\over dr} \;[$дин/см$ ^3]$. Выделим теперь шаровой сектор с раствором телесного угла $ d \Omega$ (см. рис. 7). Казалось бы, поскольку сила давления на внешнюю поверхность шарового сектора равна $ {r^2}Pd\Omega$, то результирующая сила давления, действующая на единичный объем этого сектора, равна $ -{1\over r^2} \, {d\over dr} \,({r^2}P)$. Не будет ли более правильным подставлять это выражение в (1.6) вместо величины $ -{dP\over dr}$? Оказывается нет. При выводе силы, действующей на шаровой сектор, мы не учли давление на боковые поверхности сектора, что дает добавочную силу вдоль радиуса $ {P\over r^2} \, {dr^2\over dr}$. С учетом последнего мы опять приходим к выражению для силы газового давления $ -{dP\over dr}$.

В общем случае неизотропного давления следует применять выражение

$\displaystyle F_r=-{1\over r^2} \,{d({r^2}P_{rr})\over {dr}}+{P_{\theta \theta}\over r^2} {dr^2 \over dr}, $

где $ P_{rr} \ne P_{\theta \theta}$. Для обычных газовых звезд давление изотропно -- выполняется закон Паскаля: $ P_{rr}=P_{\theta \theta}$ и $ F_r=-{dP\over dr}$.

Предположим, что нам известно уравнение состояния в виде $ P=P \,(\rho)$, т.е. давление является функцией только плотности. Зададимся значениями в центре $ \rho_c$ и $ P_c \;(r=0)$. Тогда имеем систему двух обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка:

$\displaystyle {1\over \rho} \,{dP\over d \,\rho} \,{d \,\rho\over dr}=-{Gm(r)\over r^2},$ (1.7)

$\displaystyle {dm\over dr}=4\pi \rho \; r^2,$ (1.8)

решая которую, получаем распределение плотности и давления вдоль радиуса.

Рассмотрим асимптотическое поведение решения в центре ($ r \to 0$) и на краю звезды ($ r \to R$). При $ r \to 0$ получим

$\displaystyle m \approx {4\pi\over 3} \;\rho_c r^3, $

$\displaystyle P=P_c-k_1 r^2=P_c-{2\pi\over 3}G{\rho_c}^2 r^2, $

$\displaystyle \rho=\rho_c-k_2 r^2=\rho_c-{\left(\partial P\over \partial \;\rho\right)}^{-1} {2\pi\over 3}G\rho_c^2 r^2, $

т.е. в центре $ {dP/dr}=0$ и $ {d\rho/dr}=0$.

На краю звезды имеем $ m=M$ и, интегрируя уравнение равновесия (1.7), получим

$\displaystyle \int {dP\over \rho}={GM\over r}+$const$\displaystyle . $

Для того чтобы звезда имела определенную внешнюю границу, интеграл $ \int{dP/ \rho}$ должен сходиться при $ \rho \to 0$. Например, для изотермической атмосферы $ P \,\sim \,\rho T \;(T=$const$ )$ интеграл расходится, т.е. изотермическая атмосфера должна быть бесконечна.

Если давление является степенной функцией плотности $ P=K \,\rho^\gamma$, то необходимым (но не достаточным) условием конечности атмосферы является $ \gamma> 1$. В этом случае

$\displaystyle \rho^{\gamma-1}\sim \,A+{GM\over r}. $

Из условия $ \rho \to 0$ при $ r \to R$ получим $ A+{GM\over R}=0$ и

$\displaystyle \rho^{\gamma-1} \,\sim \,M\left({1\over r}-{1\over R}\right) \,\s... ..., {{M(R-r)} \over R^2}, \; \mbox{т.е.} \;\rho \sim {(R-r)}^{1\over {\gamma-1}} $

вблизи края звезды. Для частного, но встречающегося часто случая $ \gamma=4/3 \; (\rho \sim T^3, \;P \sim \rho T \sim \rho^{4/3})$, получим $ \rho \sim {(R-r)}^3\;$   при$ \; r \to R$.

\begin{wrapfigure}{l}{0.5\textwidth} \epsfxsize =0.45\textwidth \hbox to0.5\textwidth{\hss\epsfbox{fig/f08.ai}\hss} \end{wrapfigure}
Рис. 8.

При определенном уравнении состояния $ P(\rho)$ не всегда можно решить задачу для данной массы (может оказаться, что решений для выбранной массы вообще не существует). Однако, задаваясь центральной плотностью $ \rho_c$, можно найти набор решений с различными массами, т.е. построить кривую $ M(\rho_c)$ (рис. 8). После этого уже видно, какие решения соответствуют данной массе, при каких массах существуют решения (т.е. состояния равновесия) и т.п.

Такой же подход применим и в ОТО. Качественно все остается по-прежнему: решение можно находить, интегрируя от центра, так как внешние слои не создают ускорения.


<< 1.4 Энергия гравитационного взаим... | Оглавление | 1.6 Основы термодинамики звезд >>

Rambler's Top100 Яндекс цитирования