![На первую страницу](http://images.astronet.ru/img/bookicon.gif)
<< 1.4 Энергия гравитационного взаим... | Оглавление | 1.6 Основы термодинамики звезд >>
1.5 Давление газа. Уравнение равновесия
звезды
Для звезды, находящейся в равновесии, сила гравитационного притяжения,
действующая на какой-либо элемент массы , должна быть скомпенсирована
равной по величине и противоположной по направлению силой. Такая уравновешивающая
гравитацию сила в звездах обусловлена давлением вещества (точнее, градиентом
давления).
В общем случае давление является величиной, позволяющей описать силу,
действующую на выделенный в жидкости или газе объем
произвольной формы
со стороны окружающего его вещества, как интеграл по разделяющей поверхности
где давление
![$ P$](http://images.astronet.ru/pubd/2008/02/15/0001226214/img162.gif)
![$ d\vec S=\vec n dS$](http://images.astronet.ru/pubd/2008/02/15/0001226214/img164.gif)
![$ \vec n$](http://images.astronet.ru/pubd/2008/02/15/0001226214/img165.gif)
![$ dS$](http://images.astronet.ru/pubd/2008/02/15/0001226214/img166.gif)
![$ [P]=$](http://images.astronet.ru/pubd/2008/02/15/0001226214/img167.gif)
![$ ^2.$](http://images.astronet.ru/pubd/2008/02/15/0001226214/img168.gif)
Для жидкости, в которой давление однородно (
const), имеем очевидное выражение
для силы, действующей на замкнутую поверхность:
. Пусть теперь давление
неоднородно. В общем случае в малой окрестности некоторой точки, раскладывая в
ряд, можно записать:
Подставляя (1.5) в (1.4), найдем, что с точностью до величин второго порядка малости сила, действующая на объем
![$ dV$](http://images.astronet.ru/pubd/2008/02/15/0001226214/img150.gif)
![$ dS$](http://images.astronet.ru/pubd/2008/02/15/0001226214/img166.gif)
![$ d\vec F_P=-\nabla PdV$](http://images.astronet.ru/pubd/2008/02/15/0001226214/img173.gif)
![$ dV$](http://images.astronet.ru/pubd/2008/02/15/0001226214/img150.gif)
![$ dV$](http://images.astronet.ru/pubd/2008/02/15/0001226214/img150.gif)
![$ dm=\rho \;dV$](http://images.astronet.ru/pubd/2008/02/15/0001226214/img148.gif)
![$ d\vec F_g=
-\nabla\varphi dm$](http://images.astronet.ru/pubd/2008/02/15/0001226214/img174.gif)
В равновесии для невращающейся звезды эти две силы должны компенсировать друг друга, т.е.
![$\displaystyle d\vec F=-\nabla\varphi \;dm-\nabla PdV=0 \; .
$](http://images.astronet.ru/pubd/2008/02/15/0001226214/img175.gif)
![$\displaystyle {1\over \rho} \,\nabla P+\nabla \varphi=0.
$](http://images.astronet.ru/pubd/2008/02/15/0001226214/img176.gif)
Для сферически-симметричных звезд уравнение гидростатического равновесия имеет вид
Сила гравитационного притяжения направлена к центру звезды. Уравновешивающая
сила давления пропорциональна
, т.е. для поддержания равновесия
звезды давление должно с необходимостью монотонно расти от поверхности к центру
звезды.
Выделим внутри звезды единичный цилиндрический объем (
см
см
см
) так, чтобы основания цилиндра были
перпендикулярны радиусу. Для такого объема сила, обусловленная давлением, равна
дин/см
. Выделим теперь шаровой сектор с раствором
телесного угла
(см. рис. 7).
Казалось бы, поскольку сила давления на
внешнюю поверхность шарового сектора равна
, то результирующая
сила давления, действующая на единичный объем этого сектора, равна
. Не будет ли более правильным подставлять это
выражение в (1.6) вместо величины
? Оказывается нет. При
выводе силы, действующей на шаровой сектор, мы не учли давление на боковые
поверхности сектора, что дает добавочную силу вдоль радиуса
. С учетом последнего мы опять приходим к выражению для силы
газового давления
.
В общем случае неизотропного давления следует применять выражение
![$\displaystyle F_r=-{1\over r^2} \,{d({r^2}P_{rr})\over {dr}}+{P_{\theta \theta}\over r^2}
{dr^2 \over dr},
$](http://images.astronet.ru/pubd/2008/02/15/0001226214/img189.gif)
![$ P_{rr} \ne P_{\theta \theta}$](http://images.astronet.ru/pubd/2008/02/15/0001226214/img190.gif)
![$ P_{rr}=P_{\theta \theta}$](http://images.astronet.ru/pubd/2008/02/15/0001226214/img191.gif)
![$ F_r=-{dP\over dr}$](http://images.astronet.ru/pubd/2008/02/15/0001226214/img192.gif)
Предположим, что нам известно уравнение состояния в виде
, т.е.
давление является функцией только плотности. Зададимся значениями в центре
и
. Тогда имеем систему двух обыкновенных дифференциальных
уравнений первого порядка:
решая которую, получаем распределение плотности и давления вдоль радиуса.
Рассмотрим асимптотическое поведение решения в центре () и на краю
звезды (
). При
получим
![$\displaystyle m \approx {4\pi\over 3} \;\rho_c r^3,
$](http://images.astronet.ru/pubd/2008/02/15/0001226214/img200.gif)
![$\displaystyle P=P_c-k_1 r^2=P_c-{2\pi\over 3}G{\rho_c}^2 r^2,
$](http://images.astronet.ru/pubd/2008/02/15/0001226214/img201.gif)
![$\displaystyle \rho=\rho_c-k_2 r^2=\rho_c-{\left(\partial P\over \partial \;\rho\right)}^{-1}
{2\pi\over 3}G\rho_c^2 r^2,
$](http://images.astronet.ru/pubd/2008/02/15/0001226214/img202.gif)
![$ {dP/dr}=0$](http://images.astronet.ru/pubd/2008/02/15/0001226214/img203.gif)
![$ {d\rho/dr}=0$](http://images.astronet.ru/pubd/2008/02/15/0001226214/img204.gif)
На краю звезды имеем и, интегрируя уравнение равновесия (1.7),
получим
![$\displaystyle \int {dP\over \rho}={GM\over r}+$](http://images.astronet.ru/pubd/2008/02/15/0001226214/img206.gif)
![$\displaystyle .
$](http://images.astronet.ru/pubd/2008/02/15/0001226214/img100.gif)
![$ \int{dP/
\rho}$](http://images.astronet.ru/pubd/2008/02/15/0001226214/img207.gif)
![$ \rho \to 0$](http://images.astronet.ru/pubd/2008/02/15/0001226214/img208.gif)
![$ P \,\sim \,\rho T \;(T=$](http://images.astronet.ru/pubd/2008/02/15/0001226214/img209.gif)
![$ )$](http://images.astronet.ru/pubd/2008/02/15/0001226214/img210.gif)
Если давление является степенной функцией плотности
, то
необходимым (но не достаточным) условием конечности атмосферы является
. В этом случае
![$\displaystyle \rho^{\gamma-1}\sim \,A+{GM\over r}.
$](http://images.astronet.ru/pubd/2008/02/15/0001226214/img213.gif)
![$ \rho \to 0$](http://images.astronet.ru/pubd/2008/02/15/0001226214/img208.gif)
![$ r \to R$](http://images.astronet.ru/pubd/2008/02/15/0001226214/img199.gif)
![$ A+{GM\over R}=0$](http://images.astronet.ru/pubd/2008/02/15/0001226214/img214.gif)
![$\displaystyle \rho^{\gamma-1} \,\sim \,M\left({1\over r}-{1\over R}\right) \,\s...
..., {{M(R-r)}
\over R^2}, \; \mbox{т.е.} \;\rho \sim {(R-r)}^{1\over {\gamma-1}}
$](http://images.astronet.ru/pubd/2008/02/15/0001226214/img215.gif)
![$ \gamma=4/3 \;
(\rho \sim T^3, \;P \sim \rho T \sim \rho^{4/3})$](http://images.astronet.ru/pubd/2008/02/15/0001226214/img216.gif)
![$ \rho \sim {(R-r)}^3\;$](http://images.astronet.ru/pubd/2008/02/15/0001226214/img217.gif)
![$ \; r \to R$](http://images.astronet.ru/pubd/2008/02/15/0001226214/img218.gif)
При определенном уравнении состояния не всегда можно решить задачу
для данной массы (может оказаться, что решений для выбранной массы вообще не
существует). Однако, задаваясь центральной плотностью
, можно найти
набор решений с различными массами, т.е. построить кривую
(рис. 8).
После этого уже видно, какие решения соответствуют данной массе, при каких
массах существуют решения (т.е. состояния равновесия) и т.п.
Такой же подход применим и в ОТО. Качественно все остается по-прежнему: решение можно находить, интегрируя от центра, так как внешние слои не создают ускорения.
<< 1.4 Энергия гравитационного взаим... | Оглавление | 1.6 Основы термодинамики звезд >>
Публикации с ключевыми словами:
Эволюция звезд - внутреннее строение звезд - термоядерные реакции - физические процессы
Публикации со словами: Эволюция звезд - внутреннее строение звезд - термоядерные реакции - физические процессы | |
См. также:
Все публикации на ту же тему >> |