1. Введение

Среди великого разнообразия небесных тел особое место занимает класс объектов, называемых черными дырами (ЧД). Их поле тяготения столь велико, что никакая частица, включая частицу (квант) света, не может вырваться изнутри такого объекта и уйти на бесконечность. Поэтому его поверхность действует как своего рода клапан, пропускающий вещество лишь в одну сторону – внутрь ЧД (отсюда и это название: вещество валится в ЧД как в дыру, а свет из нее выйти не в состоянии). Это уникальное свойство черных дыр прямо ведет к уникальному факту – внешнему наблюдателю оно представляется как горячее тело, служащее источником теплового излучения. Это и другие тепловые свойства черных дыр описываются специальной теорией – термодинамикой черных дыр.

2. Черные дыры

Небесные тела со свойствами черных дыр рассматривались в рамках механики Ньютона еще в XVIII веке как объекты, вторая космическая скорость которых, v=(2GM/R)^1/2, превышает скорость света c. Здесь G – постоянная тяготения, M – масса объекта, R – его радиус. Приведенному условию удовлетворяет объект, масса которого сконцентрирована в очень малом объеме с радиусом

Для подавляющей части небесных тел условие (1) нарушено. Так, для Солнца (радиус 7·10⁵ км) и Земли (масса 6·10²⁷ г, радиус 6·10³ км) величина r_g составляет соответственно всего 3 км и ~1 см. Еще контрастнее соответствующие цифры для земных объектов. Поэтому черная дыра возникает лишь при крайне необычных условиях сверхвысокой плотности вещества. Такие условия имеются прежде всего на конечном этапе эволюции звезд с массой, превышающей примерно 3M_ʘ; неудержимое гравитационное сжатие такой звезды – коллапс – ведет в конечном счете к выполнению условия (1) и к образованию черной дыры звездной массы. Массы таких объектов лежат в диапазоне от 3 до 100M_ʘ. Более тяжелые массивные и сверхмассивные черные дыры с массами до 10⁹M_ʘ возникают в результате коллапса больших масс газа в центрах шаровых скоплений, в ядрах галактик и в квазарах. Легкие черные дыры с массами до 3M_ʘ могли бы образоваться в результате нарастания флуктуаций плотности сверхсжатого вещества ранней Вселенной (первичные ЧД).

Абсолютно твердых доказательств существования черных дыр в космосе пока нет. Однако большинство ученых сходится во мнении, что рентгеновские источники в некоторых двойных системах представляют собой звездные черные дыры, а активность многих (если не всех) ядер галактик и квазаров – результат существования массивных и сверхмассивных черных дыр в центрах этих объектов.

Предшественник черной дыры (массивная звезда, газ, флуктуация плотности) обладает множеством наблюдаемых параметров, относящихся как к его глобальным свойствам, так и к характеристикам его внутреннего строения. Информация о подавляющей части таких параметров теряется внешним наблюдателем в процессе образования черной дыры, которая не выпускает из себя никаких сигналов, характеризующих состав и структуру вещества, распределение электрических токов и пр. Этот факт образно описывают словами: черная дыра не имеет волос. Фактически наблюдатель может измерить лишь такие глобальные характеристики черной дыры, как ее масса M, вращательный момент m и полный электрический заряд Q .

3. Эффект Хокинга

Нарисованная картина черной дыры носит классический, неквантовый характер. Квантовая механика вносит в нее некоторые коррективы: при сохранении горизонта событий черная дыра перестает быть "черной", становясь источником излучения. Природа этого излучения та же, что и у электронно-позитронных пар, рождаемых сильным электрическим полем, которое увеличивает энергию виртуальных (короткоживущих) пар в вакууме, превращая их в реальные (долгоживущие)¹. Аналогичным образом рождает пары (в том числе и пары фотонов) и сильное поле тяготения черной дыры, действующее на частицы любого сорта. Одна из компонент пары становится реальной частицей снаружи (и вблизи) горизонта событий и, имея положительную энергию, может уйти в бесконечность; другая частица появляется внутри (и вблизи) горизонта и падает с отрицательной энергией внутрь черной дыры (см. рис. 1). В итоге черная дыра становится источником непрерывного потока частиц, уходящего в бесконечность. При формировании такого излучения никакая частица не пересекает горизонта событий, который тем самым по-прежнему обладает свойствами клапана.

Рис. 1. Рождение пар частиц в гравитационном поле черной дыры. а – горизонт событий, область черной дыры заштрихована

В 1974-1975 годах английский теоретик С. Хокинг проводил вычисления характеристик излучения черных дыр, руководствуясь нарисованной выше физической картиной. Он обнаружил, что свойства такого излучения в точности такие же, как у излучения горячего черного тела радиуса r_g, нагретого до температуры (в кельвинах)

В описанном явлении, которое называют эффектом Хокинга, температура обратно пропорциональна массе. В процессе излучения масса черной дыры уменьшается, а ее температура растет, что усиливает излучение и тем самым ускоряет убыль массы. Поэтому со временем черная дыра "разгорается", ее температура быстро растет и за конечное время (в секундах)

Существенно, что последние мгновения перед исчезновением черной дыры будут протекать в режиме мощного взрыва с выделением энергии порядка 10³⁰ эрг за время около 0,1 с. Такие взрывы можно было бы наблюдать и на большом расстоянии от Земли. Это не относится к звездным и тем более к массивным и сверхмассивным черным дырам: уже при массе, равной солнечной, температура составляет ничтожные доли градуса, а время жизни ЧД намного больше времени существования Вселенной (см. формулы (2), (3)). Поэтому взрываться в нашу эпоху способны лишь первичные черные дыры с массой около 10¹⁵ г (масса средней горы). К сожалению, такие взрывы до сих пор не наблюдались.

Как не впечатляющи следствия эффекта Хокинга, с точки зрения теории наибольший интерес представляет природа теплового характера черных дыр – имеем ли мы здесь дело с чисто случайным сходством или же по каким-то причинам черная дыра действительно представляет собой горячее тело.

4. Термодинамика черных дыр

После открытия эффекта Хокинга научное общественное мнение склонялось к тому, что имеет место чисто внешняя аналогия с термодинамическими соотношениями. Ни в самой постановке задачи об излучении черной дыры, ни в чисто динамическом методе ее решения нет, казалось бы, ни малейшего намека на термодинамику. Однако такая точка зрения просуществовала недолго. Пришлось вспомнить, что еще до открытия Хокинга высказывалось немало соображений, свидетельствующих о тесном переплетении физики черных дыр и термодинамики.

Все началось, по-видимому, с задачи, которую поставил известный американский теоретик Дж. Уилер перед своим аспирантом Дж. Бекенштейном за несколько лет до работ Хокинга. Пусть первоначально имеется черная дыра и вдали от нее горячее тело, обладающее некоторым запасом энтропии. Энтропия представляет собой меру того хаоса, который мы связываем с понятием теплоты (о количественном определении энтропии см. ниже). Черная дыра притянет к себе тело, которое в конце концов уйдет под горизонт событий. Тогда наблюдатель столкнется с явным нарушением второго начала термодинамики, согласно которому полная энтропия замкнутой системы (в данном случае системы "ЧД + тело") не может уменьшаться со временем – порядок, в отличие от хаоса, не может возникать сам собой. В начальный момент времени энтропия системы была равна энтропии тела, а в конце она исчезла, так как внутренность черной дыры наблюдателю недоступна. На самом деле энтропия тела не исчезла, а передалась внутренней части черной дыры, но этот аргумент не более чем отговорка: физический мир внешнего наблюдателя не включает в себя внутренности черной дыры, а общие законы физики должны выполняться именно в этом мире².

Существовали и другие, более формальные свидетельства того, что в физике черных дыр определяющей является термодинамика. Например, как показал сам Хокинг, поверхность черной дыры (для нескольких черных дыр – сумма поверхностей),

По-видимому, только Бекенштейн почувствовал, что за всем сказанным стоит глубокая физика. Отвергнув возможность нарушения второго начала термодинамики, он дал следующее решение задачи Уилера. При падении тела внутрь черной дыры такие его характеристики, как масса, вращательный момент и заряд, не исчезают, а передаются черной дыре как целому, меняя соответствующим образом значения ее наблюдаемых параметров M, m, Q. Бекенштейн расширил список таких характеристик тела, включив в него и энтропию, одновременно введя ее в список наблюдаемых параметров черной дыры. Спасение второго начала термодинамики происходит при этом потому, что падающее тело меняет (увеличивает) энтропию самой черной дыры на величину, не меньшую исходной энтропии тела. Перечисленные наблюдаемые величины локализованы не внутри черной дыры (иначе они не были бы наблюдаемыми), а вне ее горизонта, где они и проявляют себя: энтропия – в тепловом характере излучения Хокинга, масса и заряд – в гравитационном и электрическом полях черной дыры и пр.

Но Бекенштейн на этом не остановился, всерьез восприняв черную дыру как термодинамический объект. Он определил температуру черной дыры (она практически совпала с результатом Хокинга, см. (2)), придумав особого рода машину, которая способна (мысленно, конечно) превращать тепло в работу в поле черной дыры (грубо говоря, это заполненный горячим излучением контейнер на длинной нити, который после его спуска до горизонта событий опорожняется, после чего поднимается обратно уже в облегченном виде; выигрыш в энергии при спуске поэтому не меньше ее затрат при подъеме, см. рис. 2). Температура черной дыры определяется коэффициентом полезного действия такой машины (теорема Карно). Одновременно, используя формулу (4), Бекенштейн нашел и энтропию черной дыры, оказавшуюся пропорциональной ее поверхности:

Определив температуру и энтропию черной дыры, Бекенштейн, однако, не сделал последнего шага – не предсказал самого эффекта Хокинга, который по справедливости должен был бы носить имя обоих ученых.

Рис. 2. Тепловая машина Бекенштейна: а – контейнер с горячим излучением, б – заслонка, в – нить

5. Коллапс тел малой массы

Результаты термодинамики черных дыр не ограничиваются выводом о неравенстве нулю температуры черной дыры. Эта теория, как и любой другой раздел термодинамики, позволяет делать общие и достаточно сильные утверждения без проведения конкретных микроскопических расчетов. Еще один пример такого рода приводится ниже.

Выше говорилось, что коллапс могут испытывать лишь тела с массой, превышающей примерно 3M_ʘ. В 1962 году советский теоретик Я.Б. Зельдович показал, что такая граница относится лишь к быстрому коллапсу. В действительности неудержимо сжиматься, хотя и чрезвычайно медленно, способно тело произвольной массы – состояние черной дыры предпочтительнее при любом значении M.

Термодинамика черных дыр вносит существенные коррективы в этот вывод. Применим к процессу коллапса второе начало термодинамики, требующее, чтобы энтропия тела в исходном состоянии была не больше энтропии при его переходе в состояние черной дыры. Первую из этих величин можно оценить, считая, что на каждую степень свободы классической системы частиц приходится энтропия, по порядку величины равная постоянной Больцмана,

Будем теперь уменьшать массу звезды M . При этом, как видно из формул (5) и (6), энтропия черной дыры будет уменьшаться быстрее энтропии исходного тела и при значении M~10¹⁵ г эти величины становятся равными друг другу. При дальнейшем уменьшении M энтропия в процессе коллапса должна была бы уменьшаться, что очевидным образом противоречит второму началу термодинамики. Таким образом, нижняя граница массы коллапсирующего тела хотя и смещается вниз по отношению к величине 3M_ʘ, но остается отличной от нуля. Подчеркнем, что приведенные рассуждения относились лишь к коллапсу изолированного тела и никоим образом неприложимы к первичным черным дырам.

6. Термодинамика и информация

Существование области, информация из которой не доходит до наблюдателя, имеет для термодинамики черных дыр принципиальное значение. Это видно уже из формулировки задачи Уилера, описанной выше, которая послужила отправным пунктом аргументации Бекенштейна. В более общем плане это ясно из следующих квантово-механических соображений. Горячая черная дыра, как и любое горячее тело, должна описываться не волновой функцией, а особой величиной – матрицей плотности, которая осуществляет неполное описание системы. Такая неполнота в случае обычного горячего тела связана с невозможностью детального описания составляющих его частиц, в случае черной дыры как динамической системы – с существованием указанной выше области.

Существует возможность прямого перехода от утверждения: "наблюдатель не имеет информации о внутренней части черной дыры", к утверждению: "черная дыра обладает запасом энтропии, а значит, и отличной от нуля температурой". Эта возможность опирается на сформулированный американским физиком Л. Сцилардом особый информационный подход к термодинамике, который восходит к классикам теории теплоты и развивался многими физиками и математиками. Такой подход сводится к установлению прямой связи величины энтропии системы с недостатком информации о ее внутренней структуре. Речь идет об объективном, принципиально невосполнимом недостатке информации, а не просто об отказе от возможной в принципе регистрации характеристик системы.

Идею информационного подхода сформулируем сначала на примере обычной термодинамики, точнее говоря, на примере перехода динамической системы в состояние термодинамического равновесия. Будем опираться на реальный пример – метод получения высокотемпературной плазмы путем инжекции (впрыскивания) в специальную камеру сгустка ускоренных частиц с его последующей термализацией. Первоначальный сгусток – для определенности монохроматический и поляризованный – представляет собой динамическую систему, описываемую волновой функцией. В процессе нелинейного взаимодействия частиц сгустка в камере развиваются соответствующие неустойчивости, система частиц становится хаотической и переходит в термодинамически равновесное состояние. Это состояние описывается матрицей плотности, причем соответствующая температура определяется первоначальной энергией сгустка. В итоге система "забывает" свое начальное состояние и характеризуется существенно меньшим числом параметров (энергия или температура, давление или объем и пр.), чем полное число ее степеней свободы. Каждому набору таких параметров отвечает огромное число N различных микросостояний системы – комплексий, по терминологии Больцмана, которые реализуют этот набор и которые в принципе невозможно различить. Равновероятность различных комплексий, невозможность предпочесть одну из них другой и есть точный и наиболее общий смысл понятия "хаос".

Число комплексий N определяет по существу степень неполноты сведений о микроструктуре системы при заданном наборе указанных макроскопических параметров. Более удобный мерой такой неполноты информации о системе служит уже упомянутая выше энтропия системы, определяемая количественно соотношением

Чтобы дать такому толкованию количественную формулировку, необходимо ввести следующее простейшее определение изменения количества информации ΔI в результате некоторого процесса. Если до его начала имелось P равновероятных ответов на некоторый вопрос о рассматриваемой системе, ни один из которых нельзя было предпочесть другому, а по окончании процесса число таких ответов стало p, то изменение информации о системе имеет вид ΔI=k ln(P/p).

Если P>p, то имеется прирост информации, ΔI>0, тo есть сведения о системе стали более определенными, а в обратном случае – ее убыль.

Приложим такое определение к рассмотренному процессу перехода системы в термодинамически равновесное состояние. Вначале система была чисто динамической, ее энтропия равнялась нулю и был единственный ответ на вопрос о микросостоянии системы: P=1. В конце энтропия системы увеличилась на величину ΔS, а число ответов на поставленный вопрос выросло до p=N . Поэтому убыль информации после термализации ΔI= – k lnN, и основное соотношение информационного подхода (см. (7)) имеет вид

Простой пример необратимого расширения на весь объем газа, первоначально сосредоточенного в половине объема, проиллюстрирует соотношение (8) (рис. 3). Очевидно, что число равновероятных ответов на вопрос о поперечной по отношению к заслонке координате молекулы газа увеличивается вдвое после поднятия заслонки. Соответствующая убыль информации равна k ln2 , что в соответствии с (8) точно равно известному из термодинамики выражению для приходящегося на одну молекулу прироста энтропии в рассматриваемом процессе.

Из соотношения (8) следует, что невозможно нарушить второе начало термодинамики, то есть уменьшить энтропию замкнутой системы путем увеличения объема информации о ней. За получение информации надо платить определенную цену, в том числе энтропийную, поскольку сам этот процесс необратим. Так, например, при определении координаты молекулы газа путем ее освещения придется считаться с тем, что рассеянный молекулой свет в конце концов диссипирует, поглотится системой, повысив ее энтропию на величину, не меньшую выигрыша за счет соотношения (8). Самое большее, чего можно достичь, это перераспределить энтропию (степень хаотичности) с одних степеней свободы на другие. Именно к этому и сводится работа технических устройств, упорядочивающих систему по некоторым параметрам, – регуляторов, которые обязательно имеют специальный орган (датчик), считывающий информацию о регулируемой величине.

Рис. 3. Расширение газа в удвоенный объем: а – газ, б – заслонка

В информационном подходе к процессу образования черных дыр ситуация очень близка к рассмотренному примеру термализации сгустка (от несущественной разницы – возможности ненулевой температуры у предшественника черной дыры – можно отвлечься). В случае черной дыры был доступен огромный объем информации о микросостоянии ее предшественника, забытый в процессе коллапса. Образовавшаяся черная дыра помнит лишь малое число наблюдаемых параметров. Поэтому применительно к образованию черной дыры можно повторить почти все сказанное. То, что у черной дыры отличная от нуля энтропия, нужно считать естественным и неизбежным.

Остается количественная проблема доказательства совпадения информационной (см. (7) или (8)) и термодинамической (см. (6)) формул для энтропии. Для этого нужно выявить те микросостояния, информации о которых лишен внешний наблюдатель. Этот вопрос оказался далеко не простым, и поэтому решение обсуждаемой проблемы затянулось на долгие годы. Уже из факта необратимости процесса образования черной дыры звездной массы следует, что эти микросостояния не связаны со степенями свободы предшественника черной дыры. Такое решение было предложено лишь в самое последнее время. Исследования российских теоретиков И.Д. Новикова и В.П. Фролова показали, что микросостояния, играющие роль комплексий Больцмана, связаны с компонентами пар, которые рождены около горизонта событий (рис. 1), падающими внутрь черной дыры. Подсчет их вклада в энтропию черной дыры ведет к формуле (5).

7. Некоторые другие примеры

Утверждение об универсальной связи (8) изменений энтропии и информации можно подкрепить двумя примерами, предложенными канадским физиком У. Унру. Эти примеры не относятся к физике черных дыр. Первый из них можно считать газодинамическим аналогом черной дыры. Рассмотрим объем газа под высоким давлением, окруженный звукопоглощающей стенкой с отверстием, сквозь которое вырывается газ со сверхзвуковой скоростью, приобретаемой, например, при протекании через сопло Лаваля (рис. 4). В рамках гидродинамики (от оптических явлений мы отвлекаемся) срез сопла можно считать горизонтом событий: никакой звуковой сигнал не может проникнуть снаружи внутрь объема. Согласно информационному подходу такая система должна обладать запасом энтропии. И действительно, квантовый расчет звукового поля около отверстия показывает, что оно служит источником фотонов, находящихся в состоянии термодинамического равновесия с некоторой отличной от нуля температурой.

Рис. 4. Газодинамическое устройство Унру: а – газ, б – звук, в – сопло Лаваля, г – его сверхзвуковой срез, играющий роль горизонта событий

Второй пример более сложен. Хорошо известно, что явления в поле тяготения и в ускоренной системе отсчета имеют очень близкую и глубокую аналогию, которая подсказала А. Эйнштейну путь к созданию общей теории относительности (подробнее об этом см. статью И.Б. Хрипловича "Общая теория относительности" в этом томе). Проявлением такой аналогии служит, например, невесомость в орбитальном полете: тяготение и центробежная сила точно компенсируют друг друга. Поэтому можно ожидать, что силу тяготения как причину эффекта Хокинга можно заменить переходом к ускоренной системе отсчета, движущейся с ускорением a. Расчет показывает, что равномерно ускоренный в вакууме наблюдатель увидит тепловое излучение, отвечающее температуре kT∝a.

В рассматриваемом случае имеется горизонт событий: существует область пространства-времени, для которой испущенный из нее свет никогда не догонит ускоренного наблюдателя. К тому же в вакууме всегда есть физические короткоживущие поля (нулевые колебания), которые не регистрируются обычным, движущимся инерциально прибором, настроенным на эти колебания как на нуль (начало отсчета). Тот же прибор, движущийся ускоренно, зарегистрирует такие колебания как тепловое излучение.

8. Заключение

Существование черных дыр, предсказанных в их современном понимании общей теорией относительности, с большой долей вероятности уже подтверждено наблюдениями (см. статью А.М. Черепащука "Черные дыры в двойных системах" в этом томе). Если эта вероятность превратится в полную уверенность, то роль черных дыр как источников активности ядер галактик и квазаров позволит считать их важнейшим элементом мироздания. Не исключено, что еще не открытые первичные черные дыры, если они действительно существуют, имеют куда большую значимость для космофизики, чем это кажется сегодня.

Однако уже сейчас можно говорить и о совсем иной, общефизической, роли черных дыр, обогативших наши общие представления о неорганическом мире. Появление черных дыр как продукта теоретической мысли подняло на новый уровень наше понимание теплоты. С XVIII-XIX века – времени победы кинетической теории над теорией теплорода – наука знала единственный механизм появления тепла – хаотизацию движения частиц, обладающих запасом кинетической энергии. Такой механизм проявляется при трении двух кусков дерева, с помощью чего наши предки добывали огонь, и при химических и ядерных реакциях. С наиболее общей, информационной точки зрения появление тепла во всех таких случаях отвечает утрате микроскопической информации о состоянии частиц горячего тела.

Физика черных дыр указала новый механизм возникновения тепла, когда информация о внутреннем состоянии черной дыры "отсекается" от наблюдателя мощными силами тяготения (а сам этот объект может быть уподоблен "черному ящику" – так в кибернетике называют устройство с неизвестной внутренней структурой). Этот новый механизм действует по схеме:

Литература

1. Новиков И.Д., Фролов В.П. Физика черных дыр. М.: Наука, 1986.
2. Киржниц Д.А., Фролов В.П. Природа. 1981. 2. С. 2.
3. Киржниц Д.А., Фролов В.П. В сб.: Прошлое и будущее Вселенной. М.: Наука. 1986. С. 61.
4. Бриллюен Л. Наука и теория информации. М.: ГИФМЛ, 1960.