Rambler's Top100Astronet    
  по текстам   по ключевым словам   в глоссарии   по сайтам   перевод   по каталогу 		 

На первую страницу << A.2 Линейная алгебра | Оглавление | A.4 Элементы дифференциального и >>

A.3 Декартовы прямоугольные и сферические координаты вектора

Если базисные векторы или орты $ {\mathbf{i}},{\mathbf{j}}, {\mathbf{k}}$ взаимно перпендикулярны и определяют оси системы координат $ Ox, Oy, Oz$, то разложение

$\displaystyle {\mathbf{u}} = u_x{\mathbf{i}}+u_y{\mathbf{j}}+ u_z{\mathbf{e}} $

определяет декартовы прямоугольные координаты $ u_x,u_y,u_z$ вектора $ {\mathbf{u}}$.

Базисными векторами сферической системы координат является тройка единичных векторов $ {\mathbf{i}}_r,{\mathbf{i}}_\theta, {\mathbf{i}}_\lambda$, направленных в сторону увеличения соответствующих координат: $ r$ -- расстояния, $ \theta$ -- кошироты, $ \lambda$ -- долготы. Разложение вектора $ {\mathbf{u}}$ по базису имеет вид:

$\displaystyle {\mathbf{u}}=u_r{\mathbf{i}}_r+u_\theta{\mathbf{i}}_\theta+ u_\lambda{\mathbf{i}}_\lambda, $

$ u_r,u_\theta,u_\lambda$ компоненты вектора $ {\mathbf{u}}$ в базисе $ {\mathbf{i}}_r,{\mathbf{i}}_\theta, {\mathbf{i}}_\lambda$.

Декартовы координаты вектора $ {\mathbf{u}}=(u_x,u_y,u_z)$ выражаются через сферические координаты $ (r,\theta,\lambda)$ следующим образом:

$\displaystyle {\mathbf{u}}= \begin{pmatrix} u_x \\ u_y \\ u_z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} r\sin\theta\cos\lambda \\ r\sin\theta\sin\lambda \\ r\cos\theta \end{pmatrix}, $

$ r=\vert{\mathbf{u}}\vert$.

Единичные векторы $ {\mathbf{i}}_r,{\mathbf{i}}_\theta, {\mathbf{i}}_\lambda$ в декартовых координатах имеют вид:

$\displaystyle {\mathbf{i}}_r=\frac{\partial{\mathbf{r}}}{\partial{r}}= \begin{pmatrix} \sin\theta\cos\lambda \\ \sin\theta\sin\lambda \\ \cos\theta \end{pmatrix}, \quad {\mathbf{i}}_\theta=\frac{1}{r}\frac{\partial{\mathbf{r}}}{\partial{\theta}}= \begin{pmatrix} \cos\theta\cos\lambda \\ \cos\theta\sin\lambda \\ -\sin\theta \end{pmatrix}, \quad {\mathbf{i}}_\lambda=\frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial{\mathbf{r}}}{\partial{\lambda}}= \begin{pmatrix} -\sin\lambda \\ \cos\lambda \\ 0 \end{pmatrix}. $

Преобразование между компонентами вектора в декартовом и сферическом базисе имеет вид:

$\displaystyle \begin{pmatrix} u_x \\ u_y \\ u_z \end{pmatrix} = M \begin{pmatrix} u_r \\ u_\theta \\ u_\lambda \end{pmatrix}; \quad \textrm{где}\ M = \begin{pmatrix} \sin\theta\cos\lambda & \cos\theta\cos\lambda & -\sin\lambda\\ \sin\theta\sin\lambda & \cos\theta\sin\lambda & \cos\lambda\\ \cos\theta & -\sin\theta & 0 \end{pmatrix}. $

Обратное преобразование имеет вид:

$\displaystyle \begin{pmatrix} u_r \\ u_\theta \\ u_\lambda \end{pmatrix} = M^T \begin{pmatrix} u_x \\ u_y \\ u_z \end{pmatrix}. $


<< A.2 Линейная алгебра | Оглавление | A.4 Элементы дифференциального и >>

Публикации с ключевыми словами: астрометрия - сферическая астрономия - системы координат - шкалы времени
Публикации со словами: астрометрия - сферическая астрономия - системы координат - шкалы времени
См. также:
Все публикации на ту же тему >>

Мнения читателей [13]
Оценка: 3.5 [голосов: 304]
 
О рейтинге
Версия для печати Распечатать

Астрометрия - Астрономические инструменты - Астрономическое образование - Астрофизика - История астрономии - Космонавтика, исследование космоса - Любительская астрономия - Планеты и Солнечная система - Солнце

Астронет | Научная сеть | ГАИШ МГУ | Поиск по МГУ | О проекте | Авторам

Комментарии, вопросы? Пишите: info@astronet.ru или сюда

Rambler's Top100 Яндекс цитирования