Астронет > Колебания и волны

по текстам по ключевым словам в глоссарии по сайтам перевод по каталогу

Колебания и волны. Лекции.

В.А.Алешкевич, Л.Г.Деденко, В.А.Караваев (Физический факультет МГУ)
Издательство Физического факультета МГУ, 2001 г. Содержание

Отражение волны на конце шнура.

Мы уже упоминали в начале этой лекции, что волна, достигнув конца шнура, отразится. Характер этого отражения зависит от условий закрепления конца шнура (граничных условий).

Рассмотрим вначале более подробно процесс отражения импульса от закрепленного конца шнура.

На рис. 4.9 показаны последовательные стадии отражения импульса треугольной формы, где пунктиром изображены "падающий" и "отраженный" импульсы. Если длительность импульса равна $\tau _{и},$ то его протяженность вдоль струны равна $c_{0} \tau _{и}.$ Пусть в момент времени $t = 0$ он добежит до конца струны. В последующие моменты времени шнур будет воздействовать на кронштейн, к которому прикреплен его конец, с переменной силой, перпендикулярной направлению движения импульса. Эта сила в момент времени $t \gt 0$ начинает тянуть кронштейн вверх. В течении времени $0 \lt t \lt \tau _{и} / 2$ она остается постоянной, и в момент времени $t = \tau _{и} / 2$ становится равной нулю. По третьему закону Ньютона с такой же силой кронштейн действует вниз на конец шнура. В момент времени $t = \tau _{и} / 2$ шнур становится прямым. Однако часть шнура длиной $\frac{\displaystyle {\displaystyle 1}}{\displaystyle {\displaystyle 2}}}c\tau _{и$ продолжает двигаться вниз по инерции. При $t \gt {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle 1}}{\displaystyle {\displaystyle 2}}}\tau _{и}$ шнур тянет кронштейн вниз, и это действие прекращается при $t = \tau _{и}.$ Естественно, что кронштейн воздействует на конец шнура с силой, направленной вверх, тормозя движение его элементов вниз. Окончательно поперечное действие шнура на кронштейн прекратится при $t \gt \tau _{и},$ когда сформируется отраженный импульс, имеющий противоположную (по отношению к падающему) полярность.

Рис. 4.9.

Если по шнуру бежит гармоническая волна, то по достижении закрепленного конца шнура возникает обращенная отраженная волна. Чтобы учесть изменение ее полярности, в аргумент уравнения отраженной волны добавляют фазовый сдвиг $\varphi _{отр} = \pi.$ Поэтому говорят, что в этом случае при отражении фаза волны скачком меняется на $\pi,$ или "теряется полволны". В общем случае при произвольных граничных условиях сдвиг фазы $\varphi _{отр}$ может меняться в интервале $0 \le \varphi _{отр} \le \pi.$ Поясним сказанное простейшим расчетом.

Пусть по шнуру бежит гармоническая волна. Достигнув конца шнура при $x = \ell ,$ она будет отражаться (рис. 4.10). Смещение любого участка струны, имеющего координату $x \le \ell,$ определяется как суперпозиция бегущей и отраженной волн:

$s(x,t) = s_{0} \sin (\omega t - kx) + s_{0} \sin [\omega t - k(2\ell - x) + \varphi _{отр} ].$

(4.33)

Рис. 4.10.

В (4.33) учтено, что отраженная волна, во-первых, проходит расстояние "туда и обратно", равное $\ell + \left( {\displaystyle \ell - x} \right) = 2\ell - x,$ и, во-вторых, приобретает сдвиг фазы $\varphi _{отр}$ при ее отражении. Проведем суммирование в (4.33) и получим:

$s(x,t) = 2s_{0} \cos {\displaystyle \left[ {\displaystyle k(\ell - x) + {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle \varphi _{отр} }}{\displaystyle {\displaystyle 2}}}} \right]}\sin {\displaystyle \left[ {\displaystyle \omega t - k\ell + {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle \varphi _{отр} }}{\displaystyle {\displaystyle 2}}}} \right]}.$

(4.34)

Полагаем, что амплитуда волны $s_{0}$ остается постоянной при распространении и не меняется при отражении.

Это выражение является уравнением стоячей волны. Основные ее характеристики могут быть сведены к следующим:

1. В стоячей волне все участки шнура колеблются с одинаковой частотой $\omega$ и в фазе, однако амплитуда этих колебаний меняется вдоль шнура, т.е. стоячая волна является модой колебаний.

2. Амплитуда колебаний в стоячей волне получается из (4.34) равной:

$A(x) = 2s_{0} \cos {\displaystyle \left[ {\displaystyle k(\ell - x) + {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle \varphi _{отр} }}{\displaystyle {\displaystyle 2}}}} \right]}.$

(4.35)

Из этого выражения видно, что некоторые участки шнура колеблются с амплитудой, равной $2s_{0}.$ Это так называемые "пучности" стоячей волны. С другой стороны, существуют участки, которые остаются неподвижными, т. к. для них амплитуда $А = 0.$ Это так называемые "узлы" стоячей волны.

На рис 4.11 изображены смещения фрагмента струны для трех последовательных моментов времени $t_{1}, t_{2}$ и $t_{3}.$ Нетрудно показать, что расстояния между двумя соседними узлами, указанными точками, равно расстоянию между двумя соседними пучностями, отмеченными крестиками, и составляет величину $\Delta x = {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle \pi }}{\displaystyle {\displaystyle k}}} = {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle \lambda }}{\displaystyle {\displaystyle 2}}}.$

Рис. 4.11.

3. Все части шнура, лежащие между двумя соседними узлами, совершают колебания в фазе. При переходе через узел фаза колебаний скачком изменяется на $\pi,$ что соответствует изменению знака $A(x).$

4. На конце шнура $(x - \ell )$ амплитуда

$A(\ell ) = 2s_{0} \cos {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle \varphi _{отр} }}{\displaystyle {\displaystyle 2}}}.$

(4.36)

Для закрепленного конца шнура $A(\ell ) = 0$ и $\varphi _{отр} = \pi.$ На рис. 4.10 показан участок в полволны, который "теряется" при таком отражении. Расположенная правее этого участка часть волны, изображенная пунктиром в области $x \gt \ell,$ после поворота направления распространения как раз и будет являться волной, отраженной в закрепленной точке $x = \ell .$

Обратимся теперь к отражению волны от свободного конца шнура. Технически это можно реализовать, если конец шнура привязать к тонкой и легкой нити, которая служит лишь для создания натяжения шнура с силой $F.$

Процесс отражения треугольного импульса от свободного конца шнура показан на рис. 4.12. Обращают на себя внимание два обстоятельства:

Отраженный импульс сохраняет ту же полярность, что и падающий. Это связано с тем, что при движении свободный конец будет тянуть вверх прилегающие к нему слева участки шнура, и, в результате, будет возбужден отраженный импульс, в котором элементы шнура также смещены вверх. В случае гармонической волны отраженная волна находится в фазе с падающей. Образующаяся стоячая волна будет описываться уравнением (4.34), в котором $\varphi _{отр} = 0.$
Конец шнура совершает "взмах", величина которого вдвое превышает амплитуду импульса в его середине. Для гармонической волны на конце шнура $(x = \ell )$ образуется пучность стоячей волны. Это следует из формулы (4.36), в которой следует положить $\varphi _{отр} = 0.$

Рис. 4.12.

Возбуждение стоячих волн в шнуре. Моды колебаний.

Пусть кронштейн, к которому привязан левый конец шнура, совершает гармонические колебания $s(t) = \xi _{0} \sin \omega t,$ где $\xi _{0}$ - очень малая амплитуда. Поэтому левый конец шнура можно считать закрепленным. По шнуру побежит гармоническая волна (рис. 4.13), которая после отражения от правого закрепленного конца приобретет сдвиг фазы, равный $\pi.$ Добежав до левого конца, она еще раз отразится, а сдвиг фазы станет равным $2\pi.$

Рис. 4.13.

Двукратно отраженная волна наложится на постоянно бегущую вправо гармоническую волну. Если сдвиг фазы колебаний у этих волн будет кратным величине $2\pi,$ то результатом наложения будет волна, амплитуда которой превышает амплитуду $\xi _{0}$ исходной бегущей волны. Таким образом, бегущая волна усилится. Если бы не было потерь энергии, то нарастание амплитуды при многократном отражении было бы неограниченным. Однако потери, как мы не раз видели, также увеличатся с ростом амплитуды. Поэтому колебания установятся: в систему будет закачано некоторое количество энергии, а дальнейший приток ее будет равен диссипации.

Определим частоту внешнего воздействия $\omega,$ с которой следует двигать левый кронштейн, чтобы обеспечить максимальное усиление волны. Поскольку бегущая гармоническая волна может рассматриваться как набор следующих друг за другом со скоростью $c_{0}$ импульсов разной полярности, то мы проследим за усилением любого из них (например, заштрихованного на рис. 4.13). Время движения импульса (для определенности точки А в его начале) по шнуру туда и обратно равно $\Delta t = 2\ell / c_{0}.$ Учтем далее, что после двух отражений этот импульс два раза обратится. Для его усиления необходимо, чтобы в момент $t = \Delta t$ левый конец шнура проходил положение равновесия и двигался при этом вверх:

$\begin{array}{l} s(\Delta t) = \xi {\displaystyle }_{0}\sin (\omega \Delta t) = 0, \\ \dot {\displaystyle s}(\Delta t) = \xi _{0} \omega \cos (\omega \Delta t) = + \xi _{0} \omega. \\ \end{array}$

(4.37)

Поэтому частота $\omega$ должна удовлетворять условию

$\omega _{p} \Delta t = 2\pi p,$

(4.38)

где $p = I, II, III, \ldots$

Отсюда

$\omega _{p} = {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle \pi c_{0} }}{\displaystyle {\displaystyle \ell }}}p.$

(4.39)

Конфигурацию колеблющейся струны на частотах (4.39) можно легко нарисовать, когда амплитуды бегущей и отраженной волн не меняются вдоль шнура и равны между собой. Очевидно, что это будут стоячие волны, рассмотренные нами выше и соответствующие одинаковым граничным условиям: на обоих концах шнура должны быть узлы смещения.

Назад| Вперед

Публикации с ключевыми словами: колебания - волны Публикации со словами: колебания - волны
См. также: Эхо из глубин красного гиганта

Обсудить эту публикацию

Версия для печати

Астрометрия - Астрономические инструменты - Астрономическое образование - Астрофизика - История астрономии - Космонавтика, исследование космоса - Любительская астрономия - Планеты и Солнечная система - Солнце