Астронет > Колебания и волны

по текстам по ключевым словам в глоссарии по сайтам перевод по каталогу

Колебания и волны. Лекции.

В.А.Алешкевич, Л.Г.Деденко, В.А.Караваев (Физический факультет МГУ)
Издательство Физического факультета МГУ, 2001 г. Содержание

На рис. 4.6 изображена группа из двух волн в некоторый фиксированный момент времени $t_{0}.$ Выделим две точки: М и R. Первая из них отвечает фиксированному значению фазы $\varphi _{M} = \omega _{0} t - k_{0} x_{M},$ при которой $\sin \varphi _{M} = 1.$ Очевидно, что скорость этой точки, определяемая из условия $d\varphi _{M} = \omega _{0} dt - k_{0} dx_{M} = 0,$ равна

$c = {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle dx_{M} }}{\displaystyle {\displaystyle dt}}} = {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle \omega _{0} }}{\displaystyle {\displaystyle k_{0} }}}$

(4.19)

и совпадает с фазовой скоростью волны с частотой $\omega _{0}.$

Рис. 4.6.

Амплитуда квазигармонической волны (4.18) определяется как

$s_{0} (x,t) = 2s_{0} \cos \left( {\displaystyle {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle \Delta \omega }}{\displaystyle {\displaystyle 2}}}t - {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle \Delta k}}{\displaystyle {\displaystyle 2}}}x} \right),$

(4.20)

и ее распределение на рис. 4.6 изображено пунктиром в виде медленно меняющейся вдоль $х$ огибающей волны основной частоты $\omega _{0}.$ Точка R на вершине этой огибающей будет двигаться со скоростью, отличающейся от $с.$ Действительно, для координаты $x_{R}$ этой точки, как это следует из (4.20), можем записать условие

${\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle \Delta \omega }}{\displaystyle {\displaystyle 2}}}t - {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle \Delta k}}{\displaystyle {\displaystyle 2}}}x_{R} = const.$

(4.21)

За время dt она сместится на расстояние $dx_{R},$ которое находится из равенства:

${\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle \Delta \omega }}{\displaystyle {\displaystyle 2}}}dt - {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle \Delta k}}{\displaystyle {\displaystyle 2}}}dx_{R} = 0.$

(4.22)

Следовательно, скорость движения вершины огибающей будет равна

$u = {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle dx_{R} }}{\displaystyle {\displaystyle dt}}} = {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle \Delta \omega }}{\displaystyle {\displaystyle \Delta k}}}.$

(4.23)

Эта скорость характеризует движение группы волн и называется групповой скоростью. Ее смысл станет еще более понятным, если в пределах интервала $\Delta \omega$ в группе будут находиться волны с близко расположенными частотами, как, например, изображено на рис. 4.7а.

Рис. 4.7.

Сама группа имеет вид одного импульса длительностью $\tau _{и},$ распространяющегося вдоль оси х (рис. 4.7б). Импульс будет двигаться с групповой скоростью $u = d\omega / dk.$ На дисперсионной кривой (рис. 4.7в) эта скорость равна угловому коэффициенту касательной прямой в точке А. "Синусоида" внутри импульса будет его обгонять и двигаться с фазовой скоростью $c = \omega _{0} / k_{0}.$ Численно эта скорость будет равна угловому коэффициенту отрезка OА. В среде без дисперсии дисперсионная кривая является прямой линией $\omega = ck.$ Поэтому

$c = {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle \omega _{0} }}{\displaystyle {\displaystyle k_{_{0} } }}} = {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle \Delta \omega }}{\displaystyle {\displaystyle \Delta k}}} = u,$

(4.24)

т.е. фазовая и групповая скорости совпадают. В среде с нормальной дисперсией, как это видно из рис. 4.7в, $u \lt c.$ В среде с аномальной дисперсией кривая $\omega = \omega (k)$ должна загибаться вверх и, формально, $u \gt c.$ Однако обычно эта зависимость настолько нелинейна, что понятие групповой скорости теряет смысл.

Действительно, когда импульс, изображенный на рис. 4.7б, пройдет очень большое расстояние в диспергирующей среде, то форма его исказится, и он растянется в пространстве. В среде с сильной аномальной дисперсией это искажение происходит уже на малых расстояниях, поэтому говорить о распространении импульса как целого с групповой скоростью $u$ некорректно.

Дисперсионное уширение импульсов негативно сказывается, например, на скорости передачи информации (количество бит в единицу времени) посредством коротких световых импульсов, бегущих по волоконно-оптическим линиям связи, длина которых достигает нескольких тысяч километров. Два следующих друг за другом импульса могут расшириться настолько, что сольются в один (станут неразличимыми). Естественно, что приемник, установленный в конце линии, "воспримет" два импульса как один, и часть передаваемой информации будет утеряна.

Волновое уравнение.

Уравнение бегущей гармонической волны в однородном шнуре, где дисперсия отсутствует $(\omega = c_{0} k),$ по аналогии с (4.16) имеет вид:
$s(x,t) = s_{0} \sin (\omega t \mp kx) = s_{0} \sin {\displaystyle \left[ {\displaystyle \omega \left( {\displaystyle t \mp {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle x}}{\displaystyle {\displaystyle c_{0} }}}} \right)} \right]}.$ (4.25)

Знак "-" соответствует волне, бегущей в положительном направлении по оси Ox, а знак "+" - в отрицательном.

В более общем случае распространения произвольного импульса (группы волн), двигающегося с той же скоростью $c_{0},$ уравнение волны можно записать в виде:

$s(x,t) = s\left( {\displaystyle t \mp {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle x}}{\displaystyle {\displaystyle c_{0} }}}} \right),$

(4.26)

где $s(\theta )$ - произвольная функция своего аргумента $\theta = t \mp x / c_{0}.$

Покажем, что закон движения шнура (4.26) и, конечно, его частный случай (4.25) являются решениями некоторого уравнения движения, которое называется волновым уравнением. Это волновое уравнение можно получить предельным переходом из уравнения (3.47).

На рис. 4.8 показан фрагмент колеблющегося шнура. На этом фрагменте изображены три отрезка шнура длиной $\Delta x$ и массой $dm$ каждый. Смещения этих отрезков в некоторый произвольный момент времени равны $s_{n - 1} = s(x - \Delta x,t),\; s_{n} = s(x,t),\; s_{n + 1} = s(x + \Delta x,t).$ Ускорение центрального отрезка $\ddot {\displaystyle s}_{n} = {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle \partial ^{2}s(x,t)}}{\displaystyle {\displaystyle \partial t^{2}}}}.$ Оно записано в виде второй частной производной функции $s(x,t)$ по времени. Учтем далее, что

${\displaystyle \mathop {\displaystyle \lim }\limits_{a \to 0} }{\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle s_{n + 1} - s_{n} }}{\displaystyle {\displaystyle a}}} = {\displaystyle \mathop {\displaystyle \lim }\limits_{\Delta x \to 0} }{\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle s(x + \Delta x,t) - s(x,t)}}{\displaystyle {\displaystyle \Delta x}}} = {\displaystyle \left. {\displaystyle {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle \partial s}}{\displaystyle {\displaystyle \partial x}}}} \right|}_{x + {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle dx}}{\displaystyle {\displaystyle 2}}}}.$

(4.27а)

${\displaystyle \mathop {\displaystyle \lim }\limits_{a \to 0} }{\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle s_{n} - s_{n - 1} }}{\displaystyle {\displaystyle a}}} = {\displaystyle \mathop {\displaystyle \lim }\limits_{\Delta x \to 0} }{\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle s(x,t) - s(x - \Delta x,t)}}{\displaystyle {\displaystyle \Delta x}}} = {\displaystyle \left. {\displaystyle {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle \partial s}}{\displaystyle {\displaystyle \partial x}}}} \right|}_{x - {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle dx}}{\displaystyle {\displaystyle 2}}}}.$

(4.27б)

Рис. 4.8.

Обратим внимание, что сила $F \cdot {\displaystyle \left. {\displaystyle {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle \partial s}}{\displaystyle {\displaystyle \partial x}}}} \right|}_{x + dx / 2}$ является проекцией на направление смещения s силы $F,$ приложенной к центральному элементу справа (в точке $x + dx / 2$ ). Аналогично, слева (в точке $x - dx / 2$ ) проекция этой силы равна $- F \cdot {\displaystyle \left. {\displaystyle {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle \partial s}}{\displaystyle {\displaystyle \partial x}}}} \right|}_{x - dx / 2}.$ Равнодействующая этих сил, очевидно, определяется приращением первой производной на длине бесконечно малого элемента $dx$ :

${\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle \partial ^{2}s}}{\displaystyle {\displaystyle \partial t^{2}}}} = {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle F}}{\displaystyle {\displaystyle dm}}}\left( {\displaystyle {\displaystyle \left. {\displaystyle {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle \partial s}}{\displaystyle {\displaystyle \partial x}}}} \right|}_{x + dx / 2} - {\displaystyle \left. {\displaystyle {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle \partial s}}{\displaystyle {\displaystyle \partial x}}}} \right|}_{x - dx / 2} } \right).$

(4.28)

Если теперь учесть, что $dm = \rho _{1} dx$ ( $\rho _{1}$ - плотность единицы длины, или линейная плотность шнура), то (4.28) примет вид волнового уравнения:

(4.29)

Это волновое уравнение является математическим выражением второго закона Ньютона, в котором ускорение единицы длины шнура и действующая на него сила записаны в виде вторых частных производных смещения $s$ по времени и координате соответственно. С математической точки зрения оно является линейным дифференциальным уравнением с частными производными второго порядка. Его решение хорошо известно: им может быть любая функция $s\left( {\displaystyle \theta } \right),$ аргумент которой "сконструирован" в виде (4.26), а скорость $c_{0} = \sqrt {\displaystyle {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle F}}{\displaystyle {\displaystyle \rho _{1} }}}}.$ Убедимся в справедливости этого утверждения. Для этого вычислим вторые производные в соответствии с правилами дифференцирования функции со сложным аргументом $\theta = t \mp {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle x}}{\displaystyle {\displaystyle c_{0} }}}$ :

${\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle \partial s}}{\displaystyle {\displaystyle \partial t}}} = {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle ds}}{\displaystyle {\displaystyle d\theta }}} \cdot {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle \partial \theta }}{\displaystyle {\displaystyle \partial t}}} = {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle ds}}{\displaystyle {\displaystyle d\theta }}}; {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle \partial s}}{\displaystyle {\displaystyle \partial x}}} = {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle ds}}{\displaystyle {\displaystyle d\theta }}} \cdot {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle \partial \theta }}{\displaystyle {\displaystyle \partial x}}} = {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle ds}}{\displaystyle {\displaystyle d\theta }}} \cdot \left( {\displaystyle \mp {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle 1}}{\displaystyle {\displaystyle c_{0} }}}} \right);$

(4.30)

${\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle \partial ^{2}s}}{\displaystyle {\displaystyle \partial t^{2}}}} = {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle d^{2}s}}{\displaystyle {\displaystyle d\theta ^{2}}}}; {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle \partial ^{2}s}}{\displaystyle {\displaystyle \partial x^{2}}}} = {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle d^{2}s}}{\displaystyle {\displaystyle d\theta ^{2}}}} \cdot \left( {\displaystyle \mp {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle 1}}{\displaystyle {\displaystyle c_{0} }}}} \right)^{2}.$

(4.31)

Подставляя вторые производные из (4.31) в (4.29), приходим к выводу, что при $c_{0} = \sqrt {\displaystyle {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle F}}{\displaystyle {\displaystyle \rho _{1} }}}}$ уравнение (4.29) тождественно удовлетворяется, т.е. функция $s\left( {\displaystyle \theta } \right)$ действительно является его решением.

Волновое уравнение является одним из фундаментальных уравнений. В разных областях физики это уравнение получается как результат применения соответствующих законов, описывающих поведение систем различной природы (механических, электромагнитных и др.). В общем случае оно описывает распространение волн в трехмерном пространстве и имеет более сложный вид:

${\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle \partial ^{2}s}}{\displaystyle {\displaystyle \partial t^{2}}}} = c^{2}\left( {\displaystyle {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle \partial ^{2}s}}{\displaystyle {\displaystyle \partial x^{2}}}} + {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle \partial ^{2}s}}{\displaystyle {\displaystyle \partial y^{2}}}} + {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle \partial ^{2}s}}{\displaystyle {\displaystyle \partial z^{2}}}}} \right).$

(4.32)

Под $s$ может подразумеваться любая колеблющаяся величина: смещение, скорость, плотность, давление, электрический ток, электрическое напряжение, напряженность электрического и индукция магнитного полей и др.

Важно подчеркнуть, что если нам удается получить волновое уравнение (вывести его) для какого-либо процесса, то стоящий перед вторыми пространственными производными множитель сразу определяет квадрат скорости распространения волны в среде без дисперсии. Этим приемом часто пользуются для вычисления скорости распространения волн различной природы. Ниже мы тоже так поступим, когда будем рассматривать волны в твердых телах, жидкостях и газах.

Назад| Вперед

Публикации с ключевыми словами: колебания - волны Публикации со словами: колебания - волны
См. также: Эхо из глубин красного гиганта

Обсудить эту публикацию

Версия для печати

Астрометрия - Астрономические инструменты - Астрономическое образование - Астрофизика - История астрономии - Космонавтика, исследование космоса - Любительская астрономия - Планеты и Солнечная система - Солнце