Астронет > Колебания и волны

по текстам по ключевым словам в глоссарии по сайтам перевод по каталогу

Колебания и волны. Лекции.

В.А.Алешкевич, Л.Г.Деденко, В.А.Караваев (Физический факультет МГУ)
Издательство Физического факультета МГУ, 2001 г. Содержание

Вынужденные колебания с произвольной частотой.

Будем искать решение уравнения (2.10) в комплексном виде:

$\hat {\displaystyle s}(t) = \hat {\displaystyle s}_{0} e^{i\omega t}$

(2.26)

Вынуждающую силу в правой части (2.10) также запишем в комплексной форме:

$\hat {\displaystyle F}(t) = \hat {\displaystyle F}_{0} e^{i\omega t},$

(2.27)

где $\hat {\displaystyle F}_{0} = F_{0}$ - действительное число, поскольку для простоты мы положили, что начальная фаза в выражении для силы (2.5) равна нулю.

Тогда уравнение (2.10) можно записать в виде:

$\ddot {\displaystyle \hat {\displaystyle s}} + 2\delta \dot {\displaystyle \hat {\displaystyle s}} + \omega _{0}^{2} \hat {\displaystyle s} = {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle \hat {\displaystyle F}_{0} }}{\displaystyle {\displaystyle m}}}e^{i\omega t}.$

(2.28)

Комплексную амплитуду $\hat {\displaystyle s}_{0} = s_{0} e^{i\varphi _{0} }$ легко находим подстановкой (2.26) в (2.28):

$( - \omega ^{2} + 2i\delta \omega + \omega _{0}^{2} )\hat {\displaystyle s}_{0} e^{i\omega t} = {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle \hat {\displaystyle F}_{0} }}{\displaystyle {\displaystyle m}}}e^{i\omega t}.$

(2.29)

Отсюда получаем:

$\hat {\displaystyle s}_{0} = {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle \hat {\displaystyle F}_{0} }}{\displaystyle {\displaystyle m(\omega _{0}^{2} - \omega ^{2} + 2i\delta \omega )}}}.$

(2.30)

Из (2.30) нетрудно найти амплитуду колебаний $s_{0} = {\displaystyle \left| {\displaystyle \hat {\displaystyle s}_{0} } \right|} :$

$s_{0} = {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle F_{0} }}{\displaystyle {\displaystyle m\sqrt {\displaystyle (\omega _{0}^{2} - \omega ^{2})^{2} + 4\delta ^{2}\omega ^{2}} }}}$

(2.31)

и фазу $\varphi _{0} = \arg \hat {\displaystyle s}_{0} :$

$tg\varphi _{0} = {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle Im\hat {\displaystyle s}_{0} }}{\displaystyle {\displaystyle Re\hat {\displaystyle s}_{0} }}} = {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle 2\delta \omega }}{\displaystyle {\displaystyle \omega ^{2} - \omega _{0}^{2} }}},$

(2.32)

полностью определяющие вынужденные колебания (2.25).

Зависимость амплитуды $s_{0}$ от частоты $\omega ,$ задаваемая формулой (2.31), называется амплитудно-частотной характеристикой (АЧХ), а зависимость $\varphi _{0} (\omega ),$ описываемая формулой (2.32), называется фазо-частотной характеристикой (ФЧХ). На рис. 2.3 изображена АЧХ, которая отображает нарастание амплитуды $s_{0}$ при приближении $\omega$ к $\omega _{0} .$ Это явление получило название резонанса смещений. Интересно, что максимальное значение амплитуды, в $Q$ раз превосходящее статическое смещение ${\displaystyle F_{0} } / {\displaystyle k,}$ достигается на частоте

$\omega _{s} = \sqrt {\displaystyle \omega _{0}^{2} - 2\delta ^{2},}$

(2.33)

которая несколько меньше как собственной частоты $\omega _{0} ,$ так и частоты затухающих колебаний $\sqrt {\displaystyle \omega _{0}^{2} - \delta ^{2}} .$ Для практических целей для частот $\omega ,$ лежащих вблизи частоты $\omega _{0} ,$ формула (2.31) может быть значительно упрощена. Так, можно положить

$(\omega _{0}^{2} - \omega ^{2})^{2} = (\omega _{0} - \omega )^{2}(\omega _{0} + \omega )^{2} \approx (\omega _{0} - \omega )^{2} \cdot 4\omega _{0}^{2} ;$	(2.34)
$4\delta ^{2}\omega ^{2} \approx 4\delta ^{2}\omega _{0}^{2} .$

Рис. 2.3.

С учетом приближений (2.34) формула (2.31) примет вид:

$s_{0} (\omega ) = {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle F_{0} }}{\displaystyle {\displaystyle k}}}Q{\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle 1}}{\displaystyle {\displaystyle \sqrt {\displaystyle \left( {\displaystyle {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle \omega _{0} - \omega }}{\displaystyle {\displaystyle \delta }}}} \right)^{2} + 1} }}}.$

(2.35)

В физике безразмерную функцию

$L(\omega ) = {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle 1}}{\displaystyle {\displaystyle \sqrt {\displaystyle \left( {\displaystyle {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle \omega _{0} - \omega }}{\displaystyle {\displaystyle \delta }}}} \right)^{2} + 1} }}}$

(2.36)

называют Лоренцевой, а график этой функции называют Лоренцевым контуром. Ширину $\Delta \omega$ этого контура, определяющую остроту резонанса, находят из условия убывания вдвое энергии колебательной системы, пропорциональной квадрату амплитуды $s_{0} (\omega )$ в (2.35), что эквивалентно приближенному соотношению

${\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle 1}}{\displaystyle {\displaystyle \sqrt {\displaystyle \left( {\displaystyle {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle {\displaystyle {\displaystyle \Delta \omega } / {\displaystyle 2}}}}{\displaystyle {\displaystyle \delta }}}} \right)^{2} + 1} }}} = {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle 1}}{\displaystyle {\displaystyle \sqrt {\displaystyle 2} }}} \approx 0,7,$

(2.37)

которое поясняется рисунком 2.4. При этом условии ${\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle \Delta \omega }}{\displaystyle {\displaystyle 2}}} = \delta ,$ т.е. $\Delta \omega = 2\delta .$ Ширина Лоренцева контура характеризует полосу пропускания колебательной системы, т.е. такую область частот внешней силы, для которых система эффективно откликается на гармоническое внешнее воздействие. Легко видеть, что добротность системы равна

$Q = {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle \pi }}{\displaystyle {\displaystyle \delta T}}} = {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle \omega _{0} }}{\displaystyle {\displaystyle \Delta \omega }}},$

(2.38)

т.е. обратно пропорциональна полосе пропускания.

Рис. 2.4.

С уменьшением коэффициента $\delta$ АЧХ меняет свою форму, как это изображено пунктиром на рис. 2.3 для ${\displaystyle \delta }' \lt \delta .$ Полоса пропускания $\Delta \omega$ уменьшается, добротность ${\displaystyle Q}'$ возрастает, и резонанс становится более острым.

Фазо-частотная характеристика для двух различных коэффициентов затухания изображена на рис. 2.5. Физическое содержание зависимости $\varphi _{0} (\omega )$ мы подробно обсудили для трех различных режимов вынужденных колебаний. Отметим лишь, что с уменьшением затухания $\delta$ кривая $\varphi _{0} (\omega )$ становится более "чувствительной" к изменению частоты вблизи резонанса.

Рис. 2.5.

Наряду с резонансом смещений, можно говорить о резонансе скоростей $\dot {\displaystyle s}$ и резонансе ускорений $\ddot {\displaystyle s}.$

Скорость колеблющейся массы равна:

$\dot {\displaystyle s} = s_{0} \omega \sin (\omega t + \varphi _{0} + {\displaystyle {\displaystyle \pi } / {\displaystyle 2}}),$

(2.39)

а ее ускорение:

$\ddot {\displaystyle s} = s_{0} \omega ^{2}\sin (\omega t + \varphi _{0} + \pi ),$

(2.40)

т.е. амплитудно-частотная характеристика для скорости получается умножением АЧХ (2.31) на $\omega ,$ а для ускорения - на $\omega ^{2}$ :

$v_{0} = s_{0} \omega = {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle F_{0} }}{\displaystyle {\displaystyle m\sqrt {\displaystyle \left( {\displaystyle {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle \omega _{0}^{2} - \omega ^{2}}}{\displaystyle {\displaystyle \omega }}}} \right)^{2} + 4\delta ^{2}} }}},$

$w_{0} = s_{0} \omega ^{2} = {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle F_{0} }}{\displaystyle {\displaystyle m\sqrt {\displaystyle \left( {\displaystyle {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle \omega _{0}^{2} }}{\displaystyle {\displaystyle \omega ^{2}}}} - 1} \right)^{2} + 4{\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle \delta ^{2}}}{\displaystyle {\displaystyle \omega ^{2}}}}} }}}.$

На рис. 2.6 изображены частотные зависимости амплитуд скорости $v_{0} = s_{0} \omega$ и ускорения $w_{0} = s_{0} \omega ^{2}.$

Рис. 2.6.

Характерно, что резонанс скорости происходит на частоте $\omega _{{\displaystyle s}'} = \omega _{0} ,$ а резонанс ускорения - при $\omega _{{\displaystyle s}''} \gt \omega _{0} .$ Отметим, что все резонансные частоты связаны между собой:

$\omega _{s} \cdot \omega _{{\displaystyle s}''} = \omega _{{\displaystyle s}'}^{2} = \omega _{0}^{2} .$

(2.41)

Отметим также, что по причинам, рассмотренным ранее, в области низких частот малы как ускорение, так и скорость. В области высоких частот ускорение конечно $(s_{0} \omega ^{2} \to {\displaystyle {\displaystyle F_{0} } / {\displaystyle m}})$ и обеспечивается лишь внешней силой. Однако скорость по-прежнему незначительна, поскольку тело не успевает разогнаться.

Не представляет труда нарисовать самостоятельно фазо-частотные характеристики для скорости и для ускорения, пользуясь формулами (2.39) и (2.40), поскольку они получаются простым сдвигом ФЧХ для смещения (2.32), изображенной на рис. 2.5, вверх соответственно на $\pi / 2$ или на $\pi .$

В заключение рассмотрим вопрос о подводе энергии к осциллятору при произвольной частоте вынуждающей силы. Средняя за период мощность этой силы равна

$N = {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle 1}}{\displaystyle {\displaystyle T}}}{\displaystyle \int\limits_{0}^{T} {\displaystyle F(t)\dot {\displaystyle s}(t)dt} } = {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle 1}}{\displaystyle {\displaystyle T}}}{\displaystyle \int\limits_{0}^{T} {\displaystyle F_{0} \sin \omega t \cdot v_{0} \sin \left( {\displaystyle \omega t + \varphi _{0} + {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle \pi }}{\displaystyle {\displaystyle 2}}}} \right)dt} } = {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle 1}}{\displaystyle {\displaystyle T}}}F_{0} v_{0} {\displaystyle \int\limits_{0}^{T} {\displaystyle \sin \omega t\sin (\omega t + \psi _{0} )dt} } = {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle 1}}{\displaystyle {\displaystyle T}}}F_{0} v_{0} {\displaystyle \int\limits_{0}^{T} {\displaystyle \sin ^{2}\omega t\cos \psi _{0} dt} } + {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle 1}}{\displaystyle {\displaystyle T}}}F_{0} v_{0} {\displaystyle \int\limits_{0}^{T} {\displaystyle \sin \omega t\cos \omega t\sin \psi _{0} dt} } = {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle 1}}{\displaystyle {\displaystyle 2}}}F_{0} v_{0} \cos \psi _{0} ,$

где $\psi _{0} = \varphi _{0} + {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle \pi }}{\displaystyle {\displaystyle 2}}}$ - сдвиг фаз между скоростью и силой. Мы видим, что максимум подводимой к осциллятору мощности достигается на частоте $\omega _{0} ,$ поскольку при этом максимальны и амплитуда скорости $v_{0},$ и $\cos \psi _{0} (\psi _{0} = 0).$ При других частотах вынуждающей силы эта мощность быстро уменьшается и стремится к нулю, как при $\omega \to 0,$ так и при $\omega \to \infty .$

Назад| Вперед

Публикации с ключевыми словами: колебания - волны Публикации со словами: колебания - волны
См. также: Эхо из глубин красного гиганта

Обсудить эту публикацию

Версия для печати

Астрометрия - Астрономические инструменты - Астрономическое образование - Астрофизика - История астрономии - Космонавтика, исследование космоса - Любительская астрономия - Планеты и Солнечная система - Солнце