Астрономические задачи

---

Предыдущая

Содержание

Следующая

ГЛАВА ДЕВЯТАЯ.

Формулы.

"Математика научает нас отыскивать
истину и помогает нам бороться
с заблуждениями".

Литров. Тайны неба. Стр. 5.

Формулы. В этой главе приведены задачи на вычисление при помощи различных формул курса начальной астрономии и встречающихся в этом курсе основных астрономических законов.

При решении этого рода задач нужно написать сперва формулу, или выразить зависимость данных и искомой величины при помощи формулы, или написать известный закон в виде формулы, - затем, подставить данные в задаче величины в эти формулы, произвести указанные действия и сделать соответствующие вычисления.

281. С воздушного шара, находящегося на высоте 1 километра над поверхностью земли, видны предметы земной поверхности, самое большее, на расстоянии 113 километров от шара. Определить отсюда радиус Земли.

Ответ. По формуле дальности горизонта получим радиус Земли равным 6385 километров.

282. Чему равняется линия видимого горизонта с высоты горы Монблана (4800 метров)?

Ответ. 1552 километра.

283. Флаг корабля привязан к мачте на высоте в 30 метров над уровнем моря; на каком расстоянии он будет виден на горизонте ?

Ответ. 19,6 километра.

284. Определить дальность горизонта с маяка высотою в 20 метров; - с вершины высочайшей пирамиды Хеопса. (156 метров)?

Ответ. 1) 16 километров; 2) 44,6 километра.

285. Определить дальность горизонта с высоты Эйфелевой башни (300 метров).

286. Определить дальность горизонта с высоты американской статуи Свободы (90 метров).

287. Как далеко можно видеть с высочайшей на Земле горы Гауризанкар (8¹/₂ в.)?

Ответ. На 320 верст.

288. Как велик радиус линии видимого горизонта с высоты горы в 3000 метров?

Ответ. 195,8 километра.

289. Определить радиус Земли, если понижение горизонта с высоты Гауризанкара (9 километров) равняется 3њ3'.

Ответ. 6343 километра.

290. С какого расстояния становится видною вершина Тенерифского пика, высота которого равна 10.000 футам, если глаз наблюдателя на корабле находится на высоте 25 футов над уровнем моря?

Ответ. 194 версты.

291. Как велико понижение горизонта с вершины Тенерифского пика?

Ответ. 1њ 46' 15".

292. В 1837 г. астроном Бессель нашел, что четверть земного меридиана равняется не 10.000.000 метрам, как определили во Франции в 1795 году (при введении метрической системы), а 10.000.856 метрам. Найти, чему равняется радиус Земли из определения Бесселя и на сколько эта найденная величина радиуса Земли больше величины, полученной из предыдущего определения.

293. Если за длину метра считать действительно одну десятимиллионную часть четверти меридиана, то на сколько должен быть увеличен прототип - метр, согласно определения Бесселя, по которому четверть земного меридиана равняется 10.000.856 метрам?

Ответ. На 0,1 миллиметра.

294. Окружность земного экватора равняется 5.400 географическим милям; определить, чему равняется один градус экватора? - чему равняется одна минута экватора (морская миля)?

Ответ. И1њ = 15 геогр. мил., И1' =¹/₄ геогр. мили.

295. Зная, что окружность земного экватора равняется 5.400 географическим милям, определить радиус Земли и вычислить поверхность и объем ее.

Ответ. Радиус = 859,45 геогр. миль ; поверхность = 9.261.000 кв. геогр. миль; объем = 2.650.000.000 куб. геогр. миль.

296. Чему равняется одна географическая миля, если по определению Бесселя окружность экватора равняется 40070,368 километр?

Ответ. 1 геогр. миля = 4.200 метра, или около 4¹/₂ километра.

297. Один градус меридиана, измеренный в Лапландии равняется 111477 метрам, измеренный в России - 111360 метрам, в Англии - 111224 метрам, во Франции (измерение Пакара) - 111212 метрам, в Перу - 110582 метрам. Найти чему равняется в каждом этом измерении радиус Земли?

298. Зная, что один градус экватора равняется 15 географическим милям, найти, чему равняется градус параллели: 30њ; 60њ; 70њ; 80њ; 85њ и 89¹/₂⁰ широты.

Ответ. 12,99; 7,50; 5,13; 2,60; 1,31; 0,13 геогр. мили.

299. Квито лежит на 78њ к западу от Гринвича, а устье Амазонки на 50њ к западу от Гринвича, при этом оба, они находятся на земном экваторе; определить расстояние между ними в километрах.

300. Сколько времени нужно кораблю, который в час проходит по 22,2 километра, чтобы из Тулона (43њ сев. шир.) дойти до берегов Алжира (37њ сев. шир.)?

301. Если Землю представить глобусом с диаметром 3 метра, как выразится тогда сжатие Земли?

302. Академик Чебышев предложил следующее простое правило для определения расстояния между двумя точками на земной поверхности: взяв разности широт и долгот двух мест, надо выразить их в дуговых минутах; удвоить разность широт; большее из двух полученных чисел удвоенной разности широт и разности долгот умножить на 7, а меньшее на 3; произведения сложить; полученную сумму разделить на 8; тогда и найдем, сколько верст между данными точками.

Пользуясь этим правилом, найти расстояние: 1) между Петроградом и Москвой; 2) между Казанью и Самарой.

Указание. Географические координаты этих городов смотри таблицу II.

303. Проверить правило Чебышева, определив расстояние между Вологдой и Рязанью, лежащих почти на одном меридиане, если 1њ дуги меридиана равен 111 километрам, а 1 километр равен ¹⁵/₁₆ версты.

304. Проверить правило Чебышева на задаче № 299.

305. Пользуясь правилом Чебышева, определить расстояние вашего города от Москвы.

306. Для нахождения при помощи земного глобуса кратчайшего расстояния между двумя пунктами на Земле нужно сперва измерить число градусов большого круга, проведенного через эти два пункта, а потом умножить это число на 15, или 111, или 105 смотря потому, требуется ли определить расстояние в географических милях, или в километрах, или в верстах, так как И1њ = 15 геогр. милям = 111 километрам = 105 верстам.

Пользуясь этим правилом, найти кратчайшее расстояние: между Петроградом и Одессой в верстах; - между Токио и Сан-Франциско в географических милях; - между Парижем и Москвой в километрах.

307. При помощи земного глобуса определите кратчайшее расстояние от Лондона до Берингова пролива в географических милях.

308. При помощи земного глобуса определите кратчайшее расстояние от Нью-Йорка до Петрограда в морских милях.

Указание. Величина морской мили см. задачу № 294.

309. Определить, какое расстояние должна бы проходить в 1 секунду при своем суточном движении вокруг Земли звезда a Центавра, от которой свет доходит до нас в 4¹/₂ года и склонение которой равно -60њ.

310. Определить, какое расстояние должен бы проходить в 1 секунду при своем суточном движении вокруг Земли Сириус, от которого свет доходит до нас в 10 лет, а склонение которого равно -17њ.

311. Сколько верст в 1 секунду сделает вследствие суточного вращения Земли место, находящееся на земном экваторе? - на широте 60њ? - на широте 30њ? - на широте 80њ? - на широте 45њ?

312. Сравнить скорости движения Петрограда и Одессы при суточном вращении Земли.

313. На какой широте находится место, движущееся при суточном вращении Земли вдвое медленнее Москвы? - вдвое скорее Колы?

314. Определить широту места, которое в t секунд проходит такое же расстояние при суточном вращении Земли, какое проходит в t₁ секунд место, лежащее под широтой а.

315. Вычислить величину отклонения маятника Фуко на широтах: 30њ; 60њ; 45њ; 75њ; 89њ; 0њ; 90њ.

316. Вычислить величину отклонения маятника Фуко в вашем городе.

317. Вычислить величину отклонения к востоку падающего тела с высоты башни в 100 метров, построенной на земном экваторе, при этом сопротивление воздуха не принимается во внимание.

318. Определить разность линейных скоростей вращения точки земного экватора и точки, находящейся в плоскости экватора на высоте 6 километров над поверхностью Земли.

319. Вычислить величину отклонения к востоку падающего тела с высоты А на широте j, при чем не принимается в расчет сопротивление воздуха. Ускорение силы тяжести в данном месте известно и равно g.

320. Если бы возможно было бросить из Москвы к северу по направлению полуденной линии ядро, движущееся со скоростью 100 километров в секунду, то на какой широте оно очутилось бы через 10 секунд? - на какой долготе? Широта Москвы = 55њ45'. А если бы ядро бросили к югу при тех же условиях?

321. Вычислить ускорение центробежной силы: 1) на экваторе; 2) на широте 60њ; 3)на широте j, зная, что скорость движения точки на экваторе равняется 465 метров в 1 секунду.

322. Зная, что уменьшение веса тела на экваторе от центробежной силы составляет ¹/₂₈₉ = (¹/₁₇)² веса тела на полюсе, найти, во сколько раз надо увеличить скорость вращения Земли вокруг оси, чтобы на экваторе совершенно уничтожить действие силы тяжести.

323. Зная формулу Гюйгенса для ускорения центробежной силы (f = v²/r), найти, как изменяется центробежная сила с изменением шпроты места на Земле.

Ответ. Ускорение центробежной силы на широте j есть f =f_0*cosj, где f₀ есть ускорение центробежной силы на экваторе.

324. Доказать, что сила тяжести вследствие влияния центробежной силы увеличивается от экватора к полюсу в отношении квадрата синуса географической широты места.

Ответ: g = g₀+f_0*sin2j, где f₀ есть ускорение центробежной силы на экваторе, т.-е. 33,9 миллиметра.

325. Если принять во внимание кроме влияния центробежной силы еще и влияние сжатия Земли, то ускорение силы тяжести на широте j выражается формулой:
g = g₀ + k*sin²j , где k = 51,9 миллиметра.
Найти при помощи этой формулы ускорение силы тяжести на полюсе Земли; - в Петрограде (j = 60њ); - в вашем городе. Ускорение силы тяжести на экваторе g₀ = 9780,3 миллиметра.

326. Зная, что ускорение силы тяжести на экваторе равно 9780,3 миллиметра, на широте 50њ равно 9810,8 миллиметра, а на полюсе 9832,3 миллиметра, найти длину секундного маятника в этих широтах.

327. Найти длину секундного маятника в вашем городе.

328. По теореме Клеро сжатие Земли равняется ⁵/₂ отношения ускорения центробежной силы на экваторе к ускорению силы тяжести на экваторе, минус дробь, числитель которой есть уменьшение ускорения силы тяжести на экваторе, а знаменатель ускорение силы тяжести на экваторе. Зная из наблюдений, что ускорение центробежной силы на экваторе равно 33,9 миллиметра, ускорение силы тяжести на экваторе 9780,3 миллиметра, а уменьшение ускорения силы тяжести на экваторе равняется 51,9 миллиметра, найти отсюда сжатие Земли.

329. Сколько километров составляет длина годового пути Земли, если его рассматривать как окружность?

330. Определите, сколько километров проходит Земля при своем движении вокруг Солнца в 1 секунду? - в 1 час? - в 1 сутки?

331. Вычислить, сколько суток продолжается в северном полушарии весна? - лето? - осень? - зима? Объяснить неодинаковость продолжительности времен года: почему лето у нас в северном полушарии длиннее зимы?

332. Зная, что величина сидерического года, в который Земля делает полный оборот (360њ) вокруг Солнца, равняется 365,25636 средних суток и что долгота перигелия земной орбиты увеличивается ежегодно на 0,0171њ, найти отсюда длину аномалистического года (от перигелия до перигелия). Определить промежуток времени, через который линия апсид земной орбиты придет в прежнее свое положение, т.-е. сделает 360њ.

333. Величина сидерического года равна 365,25636 сред. суток;. определить величину тропического года, зная, что точка весеннего равноденствия вследствие прецессии движется навстречу Солнцу по эклиптике в год на 50",2.

334. Зная, что горизонтальный суточный параллакс Луны равен 57', а угловой радиус Луны равен 15',5, вычислить расстояние до Луны, линейный радиус Луны, поверхность и объем Луны, выраженные в радиусах Земли.

335. Вычислить, сколько времени нужно ядру, летящему со скоростью 500 км в секунду, чтобы долететь до Луны.

Ответ. 12 минут 49 секунд.

336. Горизонтальный суточный параллакс Солнца равен 8",8, а угловой радиус Солнца 15',5; найти отсюда расстояние до Солнца и линейный радиус Солнца, поверхность и объем Солнца, выраженные в радиусах Земли.

337. Наименьшее расстояние Венеры от Земли равняется 40.000.000 километров; в этот момент угловой радиус Венеры равен 31",1. Определить отсюда линейный диаметр этой планеты.

Ответ. 12024 километра.

338. В момент противостояния Юпитера он удален от Земли на 628 миллионов километров, угловой диаметр его тогда равен 49",4; определить отсюда линейный радиус Юпитера.

339. Жителям Марса, если таковые существуют, солнечный диск представляется под углом 22',7. Зная, что линейный радиус Солнца равен 109 земным радиусам, найти, во сколько времени свет от Солнца доходит до Марса.

340. Найти угловой радиус Венеры, видимый с Солнца, если принять, что линейные радиусы Венеры и Земли равны, расстояние Венеры от Солнца составляет 0,72 расстояния Земли от Солнца и что суточный параллакс Солнца равен 8",8.

341. Если бы на таком расстоянии, на каком находится от нас Нептун, внезапно появилась звезда, то через сколько времени после ее появления мы бы ее увидели?

Ответ. Через 4,1 часа (точнее 4,0(5) часа).

342. Чтобы совершенно освободиться от земного притяжения, нужно сообщить пушечному ядру скорость не меньшую, чем 11 километров в секунду. Вычислить, во сколько времени долетит ядро при этой скорости до Марса в момент его противостояния.

Ответ. 88¹/₂ суток.

343. Расстояние между Марсом и Солнцем составляет приблизительно ²/₇ расстояния Юпитера от Солнца, а время полного оборота Марса вокруг Солнца равняется 1⁸/₉, года. Определить время полного оборота Юпитера вокруг Солнца.

Ответ. 12,37 года.

344. Среднее расстояние Марса от Солнца в четыре раза фаза больше, чем расстояние Меркурия от Солнца; год на Марсе продолжается 688 суток. Сколько времени продолжается год на Меркурии?

Ответ. 86 суток.

345. Астероид Веста делает полный оборот вокруг Солнца в 3,63 года; во сколько раз дальше, чем Земля, он отстоит от Солнца?

Ответ. В 2,362 раза.

346. Астероид Паллада удален от Солнца на расстояние в 2,77 раза большее, чем Земля от Солнца; чему равняется время его полного оборота вокруг Солнца (в годах)?

Ответ. 4,61 года.

347. Зная, что время оборота потока Леонид равно 33¹/₄ годам, определить большую полуось их орбиты.

Ответ. 10,34 радиуса земной орбиты.

348. Найти большую полуось орбиты Нептуна, звездный оборот которого равняется 165 годам.

Ответ. 30,08 радиуса земной орбиты.

349. Каково среднее расстояние Меркурия от Солнца, если время его полного оборота вокруг Солнца равняется 88 суткам, время полного оборота Земли вокруг Солнца 365 суткам, а среднее расстояние Земли от Солнца 150 миллионам километров?

Ответ. 58105700 километров или 0,415 радиуса земной орбиты.

350. Во сколько лет совершает Юпитер полный оборот вокруг Солнца, если его среднее расстояние от Солнца равняется 777 миллионам километров, время полного оборота Земли вокруг Солнца 1 году, а среднее расстояние Земли от Солнца 150 миллионам километров?

Ответ. 11,79 лет.

351. Определить сидерическое время обращения Марса вокруг Солнца, если его расстояние от Солнца равно 1,524 расстояний Земли от Солнца.

Ответ. 1,881 года.

352. Сидерическое обращение Юпитера вокруг Солнца равняется 21,862 годам, а Сатурна 29,457 годам; определить расстояния этих планет от Солнца.

Ответ. Расстояние Юпитера от Солнца 5,201 радиуса земной орбиты. Расстояние Сатурна от Солнца 9,538 радиуса земной орбиты.

353. Определить, на каком среднем расстоянии от Солнца находилась бы планета, обращающаяся вокруг Солнца в 125 лет?

Ответ. 25 радиусов земной орбиты или 3737500000 километров.

354. Найти, во сколько лет обращалась бы вокруг Солнца планета, среднее расстояние которой от Солнца составляет 100 радиусов земной орбиты.

355. Принимая орбиту Венеры за круг, вычислить ее радиус-вектор, если известно, что угол ее наибольшего удаления от Солнца составляет 48њ.

Ответ. 0,743 радиуса земной орбиты или 111100000 километров.

356. Принимая орбиту Меркурия за круг, вычислить его среднее расстояние от Солнца, зная, что в момент его элонгации Меркурий удаляется от Солнца на 28њ.

Ответ. 0,470 радиуса земной орбиты или 70186000 километров.

357. Найти время сидерического оборота Венеры и Марса вокруг Солнца, зная, что времена их синодических оборотов равны: первой 583,92, а второго 779,94 средним суткам.

Ответ. 1) Для Венеры 224,7 ср. суток. 2) для Марса 687,0 ср. суток.

358. Время синодического оборота Юпитера вокруг Солнца равняется 398,80 средним суткам, найти время его сидерического оборота и среднее суточное движение Юпитера.

Ответ. 1) 4342,5 ср. суток 2) 4'58,5".

359. Найти среднее суточное движение Меркурия, если время его синодического оборота вокруг Солнца равняется 115,88 средним суткам.

Ответ. Сперва найдем сидерический оборот Меркурия, он равен 87,97 ср. суток. Тогда среднее суточное движение Меркурия равно 4њ5'30".

360. Вычислить ускорение силы тяжести на Земле из движения Луны вокруг Земли, принимая для этого, что расстояние Луны от Земли равняется 385000 километрам, радиус Земли 6400 километрам, время полного оборота Луны вокруг Земли 27,32 ср. суток.

Ответ. 986,17 сантиметров.

361. Вычислить величину коэффициента пропорциональности в формуле силы тяготения (k), принимая массу Солнца и радиус земной орбиты за 1. Время полного оборота Земли вокруг Солнца равняется 365,256 ср. суток.

Ответ. 0,0001865.

362. Проверить закон всемирного тяготения Ньютона, рассматривая Солнце и Землю, при чем известно, что масса Солнца в 330000 раз больше земной, расстояние Земли от Солнца равняется 23400 земным радиусам, а время полного оборота Земли вокруг Солнца 365,2564 ср. суток.

363. Найти силу тяготения Юпитера и Сатурна друг к другу в момент их соединения. Расстояние Юпитера от Солнца равняется 5,2, а Сатурна 9,5 расстояний Земли от Солнца; масса Юпитера составляет ¹/₁₀₄₇, а Сатурна ¹/₃₄₈₆ массы Солнца. Коэффициент пропорциональности, при принятых единицах, - массе Солнца и радиусе земной орбиты, - составляет 0,0003.

364. Какую скорость нужно сообщить ядру, чтобы оно двигалось вокруг Земли, как спутник? Сопротивление воздуха не принимается во внимание, ускорение силы тяжести на Земле равняется 9,8 метрам, а радиус Земли 6400 километрам.

365. Какое ускорение, сообщаемое притяжением Земли Солнцу или Луне, больше и во сколько раз?

Ответ. Ускорение Луны больше, чем ускорение Солнца в 132230 раз.

366. Выразить в динах, а потом в килограммах, силу притяжения Земли и Солнца, зная, что радиус Земли равняется 6400 километрам, расстояние Земли от Солнца 149 миллионам километров, плотность Земли 5,5 относительно воды, а масса Солнца в 329000 раз больше массы Земли.

367. Вычислить массу Юпитера, зная, что расстояние 1 спутника от Юпитера равняется 429000 км, время его полного оборота вокруг Юпитера 1,77 суток, расстояние Земли до Луны 384000 км и время полного оборота Луны вокруг Земли 27,82 суток.

368. Определить массу Солнца, зная, что расстояние Земли от Солнца равняется 149000000 км, время полного обращения Земли вокруг Солнца 365,256 суток, расстояние Луны от Земли 384000 км и время полного оборота Луны вокруг Земли 27,322 суток.

369. Определить массу Марса относительно Солнца, зная, что расстояние Фобоса, спутника Марса, от планеты равняется 9380 км, а время звездного оборота Фобоса 0,31892 суток; расстояние Марса от Солнца 227 миллионов километров, а время звездного оборота Марса равняется 686,980 суток.

Ответ. Масса Марса равна ¹/_3054500 массы Солнца.

370. Определить массу Солнца относительно Земли, вычислив и сравнив ускорения, которые сообщают Солнце и Земля какому-либо телу на расстоянии Земли от Солнца. Данные: ускорение силы тяжести на Земле равняется 9,81 метра, расстояние Земли от Солнца 23400 земным радиусам и звездный оборот Земли 365,2564 суток.

371. Вычислить в тоннах вес Луны, полагая радиус Земли равным R = 6400 км, ее среднюю плотность 5,5, расстояние Луны от центра Земли 60 R и ее массу ¹/₈₀ массы Земли.

Указание. 1 куб.метр воды, притягиваемый единицею массы (Земля) на единице расстояния (R), имеет вес равный тонне.

372. Вычислить вес Земли в килограммах; радиус Земли равняется 6400 км, а плотность ее 5,5 относительно воды.

Предыдущая

Содержание

Следующая

Публикации с ключевыми словами: задачи - упражнения - методика преподавания - преподавание астрономии - астрономия - календарь Публикации со словами: задачи - упражнения - методика преподавания - преподавание астрономии - астрономия - календарь
См. также: Журнал "Небосвод" за декабрь 2024 года Журнал для любителей астрономии "Небосвод" Журнал Небосвод Журнал "Небосвод" за сентябрь 2024 года Журнал "Небосвод за август 2024 года Журнал "Небосвод" за июль 2024 года Журнал "Небосвод" за июнь 2024 года Все публикации на ту же тему >>