Астронет > 1.2 Векторное поле ускорений, теорема Гаусса, гравитационный потенциал, уравнение Пуассона

по текстам по ключевым словам в глоссарии по сайтам перевод по каталогу

Физические основы строения и эволюции звезд

<< 1.1 Энергия взаимодействия ... | Оглавление | 1.3 Сферически-симметричные поля тяг... >>

1.2 Векторное поле ускорений, теорема Гаусса, гравитационный потенциал, уравнение Пуассона

Введем понятие векторного поля ускорений $\vec a$ , создаваемых гравитирующими телами. Одна точечная масса создает поле ускорений :

$\displaystyle \vec a=-{\vec r \over r}{Gm \over r^2} \; .$

Окружим массу произвольной замкнутой поверхностью (рис.1) и вычислим поток поля $\vec a$ через поверхность :

$\displaystyle \int\limits_S \vec a\;$

$\displaystyle \vec {dS} =\int\limits_S a \;\cos\;\theta\;dS=-\int\limits_S {Gm \over r^2}\;\cos\;\theta\;dS= \cr$

$\displaystyle -\int\limits_S {Gm \; \cos\;\theta\;r^2 \over r^2\cos\;\theta}d \Omega=-4 \pi Gm\,. \cr$

Здесь $\theta$ -- угол между $\vec a$ и нормалью к поверхности

. Важно отметить, что полный поток оказался независящим от формы поверхности.

Если имеется несколько масс $m_1,\; m_2, \;m_3,\; ...\,,$ то поле $\vec a$ является суперпозицией полей $\vec a_1,\;\vec a_2,\; ...,$ создаваемых этими массами

$\displaystyle \vec a=\vec a_1+\vec a_2+\vec a_3+\; \ldots$

$\begin{wrapfigure}{r}{0.5\textwidth} \epsfxsize =0.45\textwidth \hbox to0.5\textwidth{\hss\epsfbox{fig/f01.ai}} \end{wrapfigure}$

Рис. 1.

Используя это свойство гравитационного поля и окружая поверхностью несколько масс, легко получить

$\displaystyle \int\limits_S \vec a\; \vec {dS} =-4 \pi GM,$

где $M=m_1+m_2+m_3+...\;.$

Можно убедиться, что масса, расположенная вне замкнутой поверхности , не дает вклада в $\int\limits_S \vec a\; \vec {dS}$ .

Таким образом, полный поток векторного поля $\vec a$ равен

$\displaystyle \int\limits_S \vec a\; \vec {dS}=-4 \pi G(m_1+m_2+m_3+\;.\;.\;.),$

причем в сумму входят только те массы, которые лежат внутри

. Это положение называется теоремой Гаусса.

Применим теорему Гаусса к сферическому слою. Пусть -- сфера радиуса , лежащая внутри этого слоя. Тогда $4 \pi r^2\cdot a=0$ , т.к. внутри нет масс. Следовательно, внутри сферического слоя^1.1 $\; a=0$ . Окружим теперь сферически-симметричную конфигурацию массы поверхностью . Тогда $a \cdot 4 \pi r^2=-4 \pi GM$ и . Итак, сферически-симметричная конфигурация создает поле, эквивалентное полю точечной массы, сосредоточенной в ее центре.

Для малого объема можно написать

$\displaystyle {1 \over V} \int \vec a\; \vec {dS}=-{4 \pi Gm \over V} \; ,$

где интеграл берется по поверхности объема

, а

-- масса, заключенная в этом объеме. В пределе при $V\to0$ отношение

есть локальная плотность $\rho$ , так что получим

$\displaystyle \mathop{\rm div}\; \vec a =-4 \pi G \, \rho.$

Cделаем следующий шаг -- введем потенциал гравитационного поля согласно условию:

$\displaystyle \vec a=-\mathop{\rm grad}\, \varphi.$

Это всегда можно сделать, так как гравитационное поле консервативно: всегда $\oint \vec a\; \vec {dl}$ =0, т.е. $\mathop{\rm rot}\vec a =0$ , а это и означает возможность введения потенциала. Теперь имеем

$\displaystyle \mathop{\rm div}\, \vec a =-\mathop{\rm div}\,\mathop{\rm grad}\, \varphi=- \Delta \varphi=-4 \pi G \, \rho,$

или

$\displaystyle \Delta \varphi=4 \pi G \; \rho.$

Мы получили уравнение Пуассона -- основное уравнение теории потенциала. Дифференциальный оператор $\mathop{\rm div}\mathop{\rm grad}\equiv \Delta$ называют лапласианом. В декартовых координатах

$\displaystyle \Delta \varphi= {\partial^2 \varphi \over \partial x^2}+ {\partial^2 \varphi \over \partial y^2}+{\partial^2 \varphi \over \partial z^2} \; .$

В сферических координатах ( $r, \; \theta ,\; \alpha$ )

$\displaystyle \Delta \varphi={1 \over r^2}{\partial \over \partial r}r^2{\parti... ...1 \over r^2 \sin^2 \;\theta} {\partial^2 \varphi \over \partial \alpha ^2} \;.$

Нетрудно понять, откуда берется такой вид для $\Delta$ . Рассмотрим член ${1 \over r^2} {\partial \over \partial r}r^2{\partial\varphi\over\partial r}$ , который остается в уравнении Пуассона для сферически-симметричной задачи. Очевидно, что $4 \pi r^2 \partial\varphi\over\partial r$ -- это поток поля ускорений $\vec a={\partial\varphi \over\partial r}$ через сферу радиуса

. Разность потоков $\vec a$ через сферы

и $r+ \delta r$ равна $4 \pi\delta r {\partial \over \partial r}r^2{\partial \varphi\over\partial r}$ , объем между сферами -- $4 \pi r^2\delta r$ . Разделив разность потоков $\vec a$ на объем, получаем $\Delta \varphi={1 \over r^2} {\partial \over \partial r}r^2{\partial\varphi\over\partial r}$ . Ясно, что в задаче с цилиндрической симметрией из тех же соображений получим $\Delta \varphi={1 \over r}{\partial \over \partial r}r{\partial\varphi\over\partial r}$ (

-- цилиндрический радиус).

Итак, для сферически-симметричного распределения плотности

$\displaystyle {1\over r^2}{d\over dr}r^2 {d\varphi \over dr}=4 \pi G \rho.$

(1.1)

<< 1.1 Энергия взаимодействия ... | Оглавление | 1.3 Сферически-симметричные поля тяг... >>

Публикации с ключевыми словами: Эволюция звезд - внутреннее строение звезд - термоядерные реакции - физические процессы
Публикации со словами: Эволюция звезд - внутреннее строение звезд - термоядерные реакции - физические процессы

См. также:

Переработка вещества в Кассиопее А

NGC 7789: Роза Каролины

Планетарная туманность NGC 2818 от Хаббла

Научная конференция "Наблюдаемые проявления эволюции звезд" в САО РАН

Планетарные туманности

Прошлые и будущие звёзды Андромеды

Туманность Ожерелье

Все публикации на ту же тему >>

Обсудить эту публикацию

Версия для печати

Астрометрия - Астрономические инструменты - Астрономическое образование - Астрофизика - История астрономии - Космонавтика, исследование космоса - Любительская астрономия - Планеты и Солнечная система - Солнце