Астронет | Картинка дня | Обзоры astro-ph | Новости | Статьи | Книги | Карта неба | Созвездия | Переменные Звезды | Глоссарий

Физика космоса | Биографии | Словарь | Ключевые слова | Астрономия в России | Форумы | Семинары | Сверхновые

<< 2.3. Сферическая система координат | Оглавление | 3. Астрономические системы координат >>

2.4. Основные формулы сферической геометрии

Рассмотрим сферический треугольник на небесной сфере, причем точка является полюсом, а точка лежит в плоскости (рис. 2.6).

Декартовы координаты единичных векторов определяются согласно (2.20) при :

По определению скалярного произведения имеем . Это же произведение в декартовых координатах имеет вид:

Перепишем эти формулы в следующем виде:

Мы доказали теорему:"Косинус стороны сферического треугольника равен произведению косинусов двух других его сторон плюс произведение синусов этих сторон на косинус угла между ними". Обычно соотношение (2.35) называют формулой косинусов. С помощью циклической перестановки можно написать формулы косинусов для двух других сторон:

Теперь вычислим векторное произведение . Согласно (2.16) получим:

Допустим, что вектор направлен в точку (рис. 2.6), то есть

- единичный вектор. Используя (2.17), запишем левую часть (2.36) в виде:

Правую часть (2.36) согласно (2.5) можно записать в виде:

В треугольнике сторона , и плоскость перпендикулярна плоскости ( ). Поэтому . По формуле косинусов имеем

или

Приравнивая -компоненты в формулах (2.37) и (2.38), получим:

или

По аналогии из треугольника получим:

что приводит к выражению:

В результате мы можем записать, что

Эти соотношения известны как формулы синусов. Сформулируем полученный результат как теорему: "В сферическом треугольнике отношение синуса стороны к синусу противолежащего угла есть величина постоянная".

Для вывода следующей группы соотношений между сторонами и углами сферического треугольника запишем формулу синусов для треугольника :

или: . Сравнивая -компоненты в уравнениях (2.37) и (2.38), получим:

Сформулируем следующую теорему: "Произведение синуса стороны сферического треугольника на косинус прилежащего угла равно произведению косинуса противолежащей углу стороны на синус третьей стороны минус произведение синуса на косинус этих же сторон, умноженное на косинус угла между ними".

Используя циклическую перестановку сторон и углов, можно получить следующие уравнения:

Формулы (2.40) и (2.41) известны как формулы пяти элементов или формулы подобия.

На основе формул синусов, косинусов и формул подобия можно получить ряд других уравнений, связывающих углы и стороны сферического треугольника. С выводом этих уравнений можно ознакомиться в соответствующих учебниках. Так как в астрономии наиболее часто используются формулы синусов, косинусов и подобия, на выводе других уравнений мы не будем останавливаться.

Для усвоения основных формул сферической рассмотрим решение следующих задач.

Задача 1. Вычислить кратчайшее расстояние между точками и на поверхности Земли, координаты которых равны и , соответственно. Землю считать сферой радиуса .

Решение. Так как кратчайшим расстоянием на сфере является дуга окружности большого круга, используем для решения задачи формулу косинусов. Рассмотрим сферический треугольник с вершинами , в котором точка является северным полюсом. Тогда дуга равна , дуга равна , дуга - (будем считать, что ). Если , то, очевидно, расстояние в угловой мере равно , в линейной мере ( выражены в радианах).

Согласно (2.16) получим:

В линейной мере расстояние между двумя точками равно .

При вычислениях на небесной сфере заранее, как правило, неизвестно, какой может быть длина дуги. Поэтому, обязательно одновременно с использованием формулы косинусов необходимо находить синус дуги (или угла). В этом случае величины синуса и косинуса однозначно определяют величину дуги (угла).

Задача 2. Вычислить координаты самой северной точки дуги большого круга, проходящего через точки на поверхности Земли с координатами и , соответственно.

Решение. Рассмотрим сферический треугольник , в котором точка является северным полюсом. Определим северный полюс как точку, с которой вращение происходит против часовой стрелки.

Обозначим самую северную точку дуги большого круга, проходящего через точки , через . Проведем через точку плоскость, перпендикулярную оси, соединяющей полюсы. Такая плоскость пересечет сферу по окружности, называемой параллелью. Очевидно, что дуга большого круга касается в т. параллели, и, следовательно, меридиан пересекает дугу под прямым углом. Значит углы , равны , дуги и равны , соответственно, и по формуле синусов для треугольника получим:

или

По формуле синусов для треугольника найдем:

Так как длина дуги равна и , то получим:

Синус дуги легко вычислить, используя решение предыдущей задачи. Как известно, . Нужный знак выбирается из условия , так как требуется найти самую северную точку дуги большого круга.

Долготу точки найдем из следующих соображений. Использую формулу подобия для прямоугольного треугольника , получим:

или:

Определение долготы становится невозможным в двух случаях: если точки и лежат на экваторе (в этом случае ; ; из (2.42) следует, что ; значит ) и если точки и лежат на одном меридиане (в этом случае или и , т.е. дуга проходит через полюс).

---

<< 2.3. Сферическая система координат | Оглавление | 3. Астрономические системы координат >>

Публикации с ключевыми словами: астрометрия - сферическая астрономия - системы координат - шкалы времени Публикации со словами: астрометрия - сферическая астрономия - системы координат - шкалы времени
См. также: 80 лет со дня рождения Альберта Петровича Гуляева Руководство по практической работе с каталогом Hipparcos К 70-летию Вилена Валентиновича Нестерова Полная версия "Сферической астрономии" В.Е.Жарова Обзор геостационарной орбиты на двойном астрографе УАФО Отдел пульсарной астрометрии ПРАО АКЦ ФИАН Прямое определение расстояния до центра Галактики Все публикации на ту же тему >>