Astronet Астронет: В. Е. Жаров/ГАИШ Сферическая астрономия
http://variable-stars.ru/db/msg/1190817/node10.html
<< 2.3. Сферическая система координат | Оглавление | 3. Астрономические системы координат >>

2.4. Основные формулы сферической геометрии

Рассмотрим сферический треугольник $ ABC$ на небесной сфере, причем точка $ A$ является полюсом, а точка $ B$ лежит в плоскости $ Oxz$ (рис. 2.6).

Рис. 2.6. К выводу формул синусов и косинусов

Декартовы координаты единичных векторов $ {\bf r}_A,{\bf r}_B, {\bf r}_C$ определяются согласно (2.20) при $ r=1$:
$\displaystyle {\bf r}_A$ $\displaystyle =$ $\displaystyle (0,0,1),$  
$\displaystyle {\bf r}_B$ $\displaystyle =$ $\displaystyle (\sin c, 0, \cos c),$  
$\displaystyle {\bf r}_C$ $\displaystyle =$ $\displaystyle (\sin b\cos A, \sin b\sin A, \cos b).$  

По определению скалярного произведения имеем $ {\bf r}_B\cdot {\bf r}_C=\cos a$. Это же произведение в декартовых координатах имеет вид:

$\displaystyle {\bf r}_B\cdot {\bf r}_C=\sin c\sin b \cos A+ \cos c\cos b. $

Перепишем эти формулы в следующем виде:

$\displaystyle \cos a=\cos b\cos c + \sin b\sin c \cos A.$ (2.35)

Мы доказали теорему:"Косинус стороны сферического треугольника равен произведению косинусов двух других его сторон плюс произведение синусов этих сторон на косинус угла между ними". Обычно соотношение (2.35) называют формулой косинусов. С помощью циклической перестановки можно написать формулы косинусов для двух других сторон:

$\displaystyle \cos b$ $\displaystyle =\cos a\cos c + \sin a\sin c \cos B,$    
$\displaystyle \cos c$ $\displaystyle =\cos a\cos b + \sin a\sin b \cos C.$    

Теперь вычислим векторное произведение $ {\bf r}_C \times {\bf r}_B$. Согласно (2.16) получим:

$\displaystyle \vert{\bf r}_C \times {\bf r}_B\vert= \sin a. $

Допустим, что вектор $ {\bf r}_C \times {\bf r}_B$ направлен в точку $ D$ (рис. 2.6), то есть

$\displaystyle {\bf r}_C \times {\bf r}_B={\bf r}_D \sin a,$ (2.36)

$ {\mathbf{r}}_D$ -- единичный вектор. Используя (2.17), запишем левую часть (2.36) в виде:

\begin{displaymath}\begin{split}&{\bf r}_C \times {\bf r}_B = \begin{pmatrix}{\bf i}& {\bf j}& {\bf k}\\ \sin b \cos A& \sin b\sin A & \cos b \\ \sin c & 0 & \cos c \end{pmatrix} =\\ &=(\sin b \sin A\cos c)\ {\bf i}+ (\cos b\sin c-\sin b \cos A\cos c)\ {\bf j} + (-\sin b \sin c\sin A)\ {\bf k}. \end{split}\end{displaymath} (2.37)

Правую часть (2.36) согласно (2.5) можно записать в виде:

$\displaystyle {\bf r}_D \sin a=\sin a\left[{\bf i}(\sin AD\cos BAD) +{\bf j}(\sin AD \sin BAD)+ {\bf k}\cos AD \right].$ (2.38)

В треугольнике $ BAD$ сторона $ \widehat{BD}=90^\circ$, и плоскость $ OBD$ перпендикулярна плоскости $ OBC$ ( $ \angle DBC=90^\circ$). Поэтому $ \angle ABD=90^\circ + B$. По формуле косинусов имеем

$\displaystyle \cos \widehat{AD}=\cos 90^\circ \cos c + \sin 90^\circ \sin c \cos (90^\circ+B) $

или

$\displaystyle \cos \widehat{AD}=- \sin c \sin B. $

Приравнивая $ z$-компоненты в формулах (2.37) и (2.38), получим:

$\displaystyle -\sin b \sin c \sin A=-\sin a \sin c \sin B $

или

$\displaystyle \frac{\sin b}{\sin B} =\frac{\sin a}{\sin A}. $

По аналогии из треугольника $ CAD$ получим:

$\displaystyle \cos \widehat{AD}=- \sin b \sin C, $

что приводит к выражению:

$\displaystyle -\sin b \sin c \sin A=-\sin a \sin b \sin C. $

В результате мы можем записать, что

$\displaystyle \frac{\sin a}{\sin A}=\frac{\sin b}{\sin B} =\frac{\sin c}{\sin C}.$ (2.39)

Эти соотношения известны как формулы синусов. Сформулируем полученный результат как теорему: "В сферическом треугольнике отношение синуса стороны к синусу противолежащего угла есть величина постоянная".

Для вывода следующей группы соотношений между сторонами и углами сферического треугольника запишем формулу синусов для треугольника $ ABD$:

$\displaystyle \frac{\sin AD}{\sin (90^\circ +B)} =\frac{\sin 90^\circ}{\sin BAD}, $

или: $ \cos B=\sin AD \sin BAD$. Сравнивая $ y$-компоненты в уравнениях (2.37) и (2.38), получим:

$\displaystyle \sin a\cos B=\cos b\sin c - \sin b\cos c \cos A.$ (2.40)

Сформулируем следующую теорему: "Произведение синуса стороны сферического треугольника на косинус прилежащего угла равно произведению косинуса противолежащей углу стороны на синус третьей стороны минус произведение синуса на косинус этих же сторон, умноженное на косинус угла между ними".

Используя циклическую перестановку сторон и углов, можно получить следующие уравнения:

$\displaystyle \sin a\cos C$ $\displaystyle =\cos c\sin b - \sin c\cos b \cos A,$    
$\displaystyle \sin b\cos A$ $\displaystyle =\cos a\sin c - \sin a\cos c \cos B,$    
$\displaystyle \sin b\cos C$ $\displaystyle =\cos c\sin a - \sin c\cos a \cos B,$ (41)
$\displaystyle \sin c\cos A$ $\displaystyle =\cos a\sin b - \sin a\cos b \cos C,$    
$\displaystyle \sin c\cos B$ $\displaystyle =\cos b\sin a - \sin b\cos a \cos C.$    

Формулы (2.40) и (2.41) известны как формулы пяти элементов или формулы подобия.

На основе формул синусов, косинусов и формул подобия можно получить ряд других уравнений, связывающих углы и стороны сферического треугольника. С выводом этих уравнений можно ознакомиться в соответствующих учебниках. Так как в астрономии наиболее часто используются формулы синусов, косинусов и подобия, на выводе других уравнений мы не будем останавливаться.

Для усвоения основных формул сферической рассмотрим решение следующих задач.



Задача 1. Вычислить кратчайшее расстояние между точками $ A$ и $ B$ на поверхности Земли, координаты которых равны $ \varphi_1,\lambda_1$ и $ \varphi_2,\lambda_2$, соответственно. Землю считать сферой радиуса $ R$.

Решение. Так как кратчайшим расстоянием на сфере является дуга окружности большого круга, используем для решения задачи формулу косинусов. Рассмотрим сферический треугольник с вершинами $ A,B,C$, в котором точка $ C$ является северным полюсом. Тогда дуга $ \widehat{AC}$ равна $ \pi/2-\varphi_1$, дуга $ \widehat{BC}$ равна $ \pi/2-\varphi_2$, дуга $ \widehat{AB}$ -- $ \lambda_2-\lambda_1$ (будем считать, что $ \lambda_2\gt \lambda_1$). Если $ \lambda_2=\lambda_1$, то, очевидно, расстояние в угловой мере равно $ \vert\varphi_2-\varphi_1\vert$, в линейной мере $ R\vert\varphi_2-\varphi_1\vert$ ( $ \varphi_1,\varphi_2$ выражены в радианах).

Согласно (2.16) получим:

$\displaystyle \cos \widehat{AB}=\sin\varphi_1\sin\varphi_2+ \cos\varphi_1\cos\varphi_2\cos(\lambda_2-\lambda_1). $

В линейной мере расстояние между двумя точками равно $ R \arccos(\cos \widehat{AB})$.

При вычислениях на небесной сфере заранее, как правило, неизвестно, какой может быть длина дуги. Поэтому, обязательно одновременно с использованием формулы косинусов необходимо находить синус дуги (или угла). В этом случае величины синуса и косинуса однозначно определяют величину дуги (угла).



Задача 2. Вычислить координаты $ \varphi,\lambda$ самой северной точки дуги большого круга, проходящего через точки $ A,B$ на поверхности Земли с координатами $ \varphi_1,\lambda_1$ и $ \varphi_2,\lambda_2$, соответственно.

Решение. Рассмотрим сферический треугольник $ ABC$, в котором точка $ C$ является северным полюсом. Определим северный полюс как точку, с которой вращение происходит против часовой стрелки.

Обозначим самую северную точку дуги большого круга, проходящего через точки $ A,B$, через $ D$. Проведем через точку $ D$ плоскость, перпендикулярную оси, соединяющей полюсы. Такая плоскость пересечет сферу по окружности, называемой параллелью. Очевидно, что дуга $ \widehat{AB}$ большого круга касается в т.$ D$ параллели, и, следовательно, меридиан $ CD$ пересекает дугу $ \widehat{AB}$ под прямым углом. Значит углы $ \angle CDA$, $ \angle CDB$ равны $ 90^\circ$, дуги $ \widehat{AC}$ и $ \widehat{BC}$ равны $ \pi/2-\varphi_1, \pi/2-\varphi_2$, соответственно, и по формуле синусов для треугольника $ CAD$ получим:

$\displaystyle \frac{\sin \widehat{CD}}{\sin(\angle CAD)}=\frac{\sin(\pi/2-\varphi_1)}{\sin(\angle CDA)} $

или

$\displaystyle \sin \widehat{CD}=\cos\varphi_1\sin(\angle CAD). $

По формуле синусов для треугольника $ ABC$ найдем:

$\displaystyle \frac{\sin(\angle CAD)}{\sin(\pi/2-\varphi_2)} = \frac{\sin(\lambda_2-\lambda_1)}{\sin\widehat{AB}}. $

Так как длина дуги $ \widehat{CD}$ равна $ \pi/2-\varphi$ и $ \sin(\angle CAD)=\sin(\angle CAB)$, то получим:

$\displaystyle \cos\varphi = \cos\varphi_1\cos\varphi_2 \frac{\sin(\lambda_2-\lambda_1)}{\sin\widehat{AB}}.$ (2.42)

Синус дуги $ \widehat{AB}$ легко вычислить, используя решение предыдущей задачи. Как известно, $ \sin\widehat{AB}=\pm\sqrt{1-\cos^2\widehat{AB}}$. Нужный знак выбирается из условия $ \cos\varphi\gt 0$, так как требуется найти самую северную точку дуги большого круга.

Долготу точки $ D$ найдем из следующих соображений. Использую формулу подобия для прямоугольного треугольника $ CAD$, получим:

$\displaystyle \sin\widehat{AD}\cos(\angle CDA) = \cos(\pi/2-\varphi_1)\sin(\pi/2-\varphi) - \sin(\pi/2-\varphi_1)\cos(\pi/2-\varphi) \cos(\lambda-\lambda_1) $

или:

$\displaystyle \cos(\lambda-\lambda_1)=\tg\varphi_1\textrm{ctg}\varphi. $

Определение долготы становится невозможным в двух случаях: если точки $ A$ и $ B$ лежат на экваторе (в этом случае $ \varphi_1= \varphi_2=0$; $ \sin\widehat{AB}=\sin(\lambda_2-\lambda_1)$; из (2.42) следует, что $ \varphi=0$; значит $ \cos(\lambda-\lambda_1)=0\cdot \infty$) и если точки $ A$ и $ B$ лежат на одном меридиане (в этом случае $ \lambda_1=\lambda_2$ или $ \lambda_1=\lambda_2+\pi$ и $ \varphi=\pi/2$, т.е. дуга проходит через полюс).

<< 2.3. Сферическая система координат | Оглавление | 3. Астрономические системы координат >>

Rambler's Top100 Яндекс цитирования