Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес
оригинального документа
: http://www.astronet.ru/db/msg/1173645/lect3-3.html
Дата изменения: Tue Mar 5 20:58:22 2002
Дата индексирования: Thu Dec 27 16:35:15 2007
Кодировка: Windows-1251
Поисковые слова: векторнаячастица
При заданных внешних силах и известных свойствах жидкости можно записать, пользуясь 2-м законом Ньютона, уравнение движения единицы объема несжимаемой невязкой жидкости:
(3.28)
где оператор grad (градиент) определяется как
(3.29)
Уравнение (3.28)записано в векторном виде и является обобщением одномерного уравнения (3.3).
Расписывая (3.28) для трех проекций скорости, получаем систему уравнений
(3.30)
Если эти уравнения дополнить условием неразрывности
то мы получаем полную систему уравнений с четырьмя неизвестными функциями координат и времени (vx, vy, vz и p). Уравнения (3.29) называются уравнениями Эйлера и позволяют, в принципе, рассчитать динамику жидкости. Однако с математической точки зрения эта система, в отличие от многих других уравнений в физике, является нелинейной из-за наличия членов типа . Поэтому интегрирование этих уравнений и нахождение искомых функций представляет подчас весьма сложную задачу даже при использовании мощных ЭВМ. Несложно, например, из (3.30) получить уравнение Бернулли для стационарного течения, когда . Однако строгий вывод этого уравнения мы предоставляем читателю проделать самостоятельно, обратившись к рекомендованной литературе. Мы же будем использовать уравнения (3.30) для описания волнового движения жидкости и анализа свойств акустических волн.
В заключение отметим, что часто система (3.30) пишется в более компактном виде с использованием оператора градиента. Каждое из трех уравнений (3.30) имеет вид
Возвращаясь к векторному представлению, получаем возможность записать 4 уравнения Эйлера (3.29) в виде двух векторных:
(3.31)
Уравнение неразрывности для сжимаемой жидкости
При течении газов, особенно при больших скоростях, их плотность может заметно, а то и значительно, меняться во времени и в пространстве. Ясно, что объем втекающей жидкости может не быть равным объему вытекающей жидкости через поверхность кубика, изображенного на рис. 3.11. Если такого равенства нет, то масса газа внутри кубика (а с ней и плотность) будут со временем меняться. Уравнение (3.24) в этом случае становится несправедливым. Однако и здесь можно записать уравнение неразрывности, основная идея вывода которого базируется на балансе массы газа, составляющего физическую суть равенства (3.1). Поток массы газа через площадку dS будет равен . Тогда полный поток массы газа через боковую поверхность элемента объема dxdydz, аналогично (3.27), равен
(3.32)
где - новое векторное поле. Если этот поток положительный, то масса внутри элемента будет убывать за счет уменьшения во времени плотности . Поэтому, записывая условие баланса массы в виде
(3.33)
мы получаем (после сокращения на dxdydz) одно из фундаментальных уравнений гидродинамики - уравнение неразрывности сжимаемой жидкости:
(3.34)
Следует отметить, что при =const это уравнение переходит в (3.24).
Рис. 3.11.
В электродинамике это уравнение является также фундаментальным. В самом деле, если речь идет о движущихся зарядах, объемная плотность которых равна , то уравнение (3.34) является математическим выражением универсального закона сохранения заряда.
Уравнения Эйлера и уравнение Бернулли для сжимаемой жидкости.
Динамика сжимаемой жидкости базируется также на 2-м законе Ньютона, записанном для единицы массы жидкости. Равнодействующая сил давления и внешних сил создает ускорение единицы массы, поэтому
(3.35)
где F - внешняя сила, действующая на единицу массы. Для определения 5-ти неизвестных величин (vx, vy, vz, p и ) необходимо дополнить (3.35) материальным уравнением, связывающим плотность и давление:
(3.36)
Система (3.34) - (3.36) носит название уравнений Эйлера для сжимаемой жидкости. Огромное количество задач газодинамики решается на основе анализа этих уравнений.
Воспользуемся уравнением (3.35) и получим уравнение Бернулли. Для этого видоизменим правую часть (3.35), введя вспомогательную функцию (2.27), и учтем (2.29). Тогда (3.35) примет вид
(3.37)
При стационарном течении . В направлении оси трубки тока (вдоль криволинейной координаты ) можно записать
(3.38)
Поскольку потенциальная энергия единицы массы , а , то, по аналогии с (3.13), перепишем (3.38) в виде:
(3.39)
Интегрируя (3.39) вдоль трубки тока, получаем уравнение Бернулли для сжимаемой жидкости
(3.40)
Здесь h - положение по вертикали сечения трубки тока с координатой . Очевидно, что . Постоянная в (3.40) определяется заданием скорости v1 и высоты h1 в фиксированном сечении с координатой . С учетом этого, уравнение (3.40) обретает вид
(3.41)
Для практического использования уравнения Бернулли необходимо знание материальной связи между p и . Для случая несжимаемой жидкости ( = const) уравнение (3.41) переходит в (3.15).
Если речь идет о потоке газа, то при его быстром сжатии (увеличение плотности) газ будет нагреваться. Из-за плохой теплопроводности газа тепло не будет успевать уходить из нагретых областей. Поэтому для установления материальной связи воспользуемся адиабатическим приближением:
(3.42)
где показатель адиабаты . Такая связь получается из первого начала термодинамики и уравнения состояния идеального газа (2.32) при условии отсутствия теплообмена между нагретой областью и окружающей средой. Давление в (3.42) возрастает с плотностью быстрее, чем при изотермическом процессе, так как . В курсе молекулярной физики будет показано. что (Cp и CV - теплоемкости при постоянных давлении и объеме соответственно). Для воздуха, состоящего главным образом из двухатомных газов, = 1,4.
Если подставить (3.42) в (3.41) и выполнить простейшее интегрирование, то можно записать выражение для распределения давления вдоль трубки тока:
(3.43)
Не умаляя общности, будем считать трубку тока горизонтальной (h=h1). Положим далее скорости течения такими, что
(3.44)
где - параметр, имеющий размерность скорости. Как мы увидим несколько позднее, скорость звука в газе
(3.45)
При нормальных условиях для атмосферы с=336 м/с. В этом случае (3.43) можно разложить в ряд:
(3.46)
Если пренебречь квадратичным членом в (3.46), то распределение давлений соответствует течению несжимаемой жидкости с плотностью =const. Квадратичный член начинает давать вклад в распределение давлений при скоростях потока, соизмеримых со скоростью звука с1.
Подставив (3.42) в (3.43), получаем распределение плотности вдоль трубки тока:
(3.47)
Для горизонтальной трубки тока и при условии (3.44) распределение плотности (3.47) имеет вид:
(3.48)
Таким образом, изменение плотности газа необходимо принимать в учет только при скоростях течения, сопоставимых по порядку величины со скоростью звука, определяемой, как следует из (3.45), давлением и плотностью в этом потоке.
Если же скорость течения , то сжимаемостью газа можно пренебречь и оперировать с ним, как и с жидкостью.