Астронет > 5.4 Некоторые проблемы интерпретации решений ОТО

по текстам по ключевым словам в глоссарии по сайтам перевод

<< 5.3 Интерпретация заданного фона | Оглавление | Литература к Лекции 5 >>

Разделы

5.4 Некоторые проблемы интерпретации решений ОТО

Интерпретация решений является одной из важных составляющих частей любой физической теории. Нарликаром [13] были описаны трудности, которые встречаются при описании распределения масс и энергии шварцшильдова решения в обычной геометрической формулировке ОТО. Мы приводим ниже эти аргументы. Затем, в рамках полевой формулировки, показываем, что эти интерпретационные (можно сказать методические) трудности становятся несущественными.

5.4.1 Проблемы интерпретации шварцшильдова решения

Мы представляем проблемы, следуя работе [13]. Выпишем сферически симметричный элемент для статической системы в общем случае:

$\begin{displaymath} ds^2 = e^\nu c^2 dt^2 - e^\lambda dr^2 - r^2 (d{{\theta}^2} + {{\sin^2}{\theta}} d{\phi^2}). \end{displaymath}$

(5.39)

Уравнения Эйнштейна приобретают вид [3]:

$\begin{displaymath} \kappa T^{ 0}_0 = - e^{-\lambda}\left ({1 \over {r^2}} - {{{\lambda}^\prime} \over r}\right) + {1 \over {r^2}}, \end{displaymath}$

(5.40)

$\begin{displaymath} \kappa T^{ 1}_1 = - e^{-\lambda}\left ({1 \over {r^2}} + {{{\nu}^\prime} \over r}\right) + {1 \over {r^2}}, \end{displaymath}$

(5.41)

$\begin{displaymath} \kappa T^{ 2}_2 = \kappa T^{ 3}_3 = - {1 \over 2} e^{-\lambd... ...e} \over r} - {{{\nu^\prime}{\lambda^\prime}} \over 2}\right), \end{displaymath}$

(5.42)

где $\lambda = \lambda(r)$ , $\nu = \nu(r)$ и $(^\prime) \equiv d/{dr}$ . В пустом пространстве уранения (5.40) - (5.42) имеют решение

$\begin{displaymath} \nu + \lambda = 0, e^{-\lambda} = 1 - {B \over r}, B = const. \end{displaymath}$

(5.43)

Для выбора постоянной B предполагается, что на пространсвенной бесконечности гравитационные эффекты слабы и делается сравнение с ньютоновым законом тяготения: $B = {{2mG} /{c^2}} \equiv {r_g}.$ Тогда подстановка (5.43) в (5.39) и дает известное решение Шварцшильда. Строго говоря, такое определение B связано не только с гравитирующей массой, но и с ,,массой'' гравитационного поля, которое в рамках ОТО должно ,,весить'', а удаленный наблюдатель может чувствовать только массу всей системы в целом -- тела и гравитационного поля.

Сначала опишем ПЕРВУЮ из проблем рассмотренных в работе [13]. Повторим упражнение предложенное в книге [3], то есть перепишем уравнение (5.40) в виде


		$\displaystyle {d \over {dr}}\left [r \left(1 - e^{-\lambda}\right)\right] = \kappa r^2 c^2 T^{ 0}_0 = 8 \pi G r^2 \rho$

и проинтегрируем его по объему до поверхности сферического тела с радиусом r = r_s:

$\begin{displaymath} m \equiv {m(r_s)} = {4\pi}\int^{r_s}_0 { r^2\rho(r)dr}. \end{displaymath}$

(5.44)

Такое определение массы не так естественно, как кажется с первого взгляда. Прежде всего, объемный элемент для гиперповерхности t = const в метрике (5.39) не будет больше как в плоском мире $4\pi{r^2}dr$ , а на самом деле есть $4\pi{r^2}{e^{\lambda/2}}dr$ . Ландау и Лифшиц [3] интерпретируют этот факт как дефект масс. Однако этот вывод делается лишь на основании того, что значение интеграла (5.44) меньше, чем могло бы быть при интегрировании по $4\pi{r^2}{e^{\lambda/2}}dr$ без объяснений. Кроме того, интегрирование в (5.44) выполняется до r = r_s, (то есть вся масса m определяется лишь материей), в то время как постоянная B была фактически определена материей с индуцированным ей гравитационным полем, как мы это отметили. То, что объяснение с помощью дефекта масс мало обосновано понимают давно. Поэтому в книге [14] предложена другая трактовка формулы (5.44):

m	=	$\displaystyle 4\pi \int^{r_s}_0 {r^2e^{\lambda/2}\rho_Ndr} + 4\pi \int^{r_s}_0 {r^2e^{\lambda/2}(\rho - \rho_N)dr}$
	+	$\displaystyle 4\pi \int^{r_s}_0 {r^2e^{\lambda/2}\rho(e^{-\lambda/2} - 1)dr} \equiv {m_N +{U \over {c^2}} + {\Omega \over {c^2}}}.$	(5.45)

Здесь m_N трактуется как нуклонная масса тела, как если бы оно было построено из свободных гравитационно невзаимодействующих частиц с плотностью $\rho_N$ . Величина U определяется как внутренняя энергия с плотностью $\rho - \rho_N$ , и, наконец, $\Omega$ называется гравитационной потенциальной энергией. Название следует из того, что в слабополевом приближении


		$\displaystyle \Omega = -4\pi\int^{r_s}_0{r^2\rho{{Gm(r)} \over r}dr}$

и находится в соответствии с ньютоновой потенциальной энергией. Но измененная формула (5.45) также не без изъянов, Бонди, еще в работе [15], отмечал, что член m_N не является инвариантным.

ВТОРАЯ проблема рассмотренная Нарликаром [13] касается проблемы точечной массы. В ньютоновой гравитации такая проблема решается просто. Сама по себе она звучит так: Как описывать точечную массу, если мы желаем, чтобы ньютонов потенциал m/r имел смысл везде, включая точку r =0? Для этого достаточно предположить, что распределение масс задается в виде $m\delta(r)$ , где $\delta$ -функция удовлетворяет обычному уравнеию Пуассона


		$\displaystyle \nabla^2 \left({1\over r}\right) = 4\pi\delta(r).$

Мало того, как при обычном регулярном распределении $\rho(x)$ , так и при распределении для точечной частицы $\rho(x) = m\delta(r)$ , полная масса системы расчитывается с помощью одного и того же интеграла:


		$\displaystyle m = \int_\Sigma dx^3 \rho(x).$

Если мы попытаемся в ОТО, используя Шварцшильдово решение, описать точечную массу, мы встретим концептуальные трудности. Предположим, что решение (5.43) имеет место во всем пространстве-времени, включая мировую линию r=0, тогда материальное распределение будет описываться компонентами тензора энергии-импульса:

$\begin{displaymath} T^{ 0}_0 = T^{ 1}_1 = 0, T^{ 2}_2 = T^{ 3}_3 = {{mc^2} \over 2} \delta(r). \end{displaymath}$

(5.46)

Для такого распределения невозможно получить корректную массу системы интегрированием типа (5.44).

5.4.2 Решение методических проблем в рамках полевой формулировки

Две отмеченные проблемы выглядят как методические, тем не менее они не разрешаются в рамках геометрической формулировки ОТО. Мы их разрешаем с помощью полевого подхода [16].

Для решения (5.39) выберем плоский фон в координатах этого же решения:

$\begin{displaymath} \bar g_{00} = 1, \bar g_{11} = -1, \bar g_{22} = - r^2, \bar g_{33} = - r^2 {\sin^2}\theta. \end{displaymath}$

(5.47)

Тогда в силу разбиения $\hat g^{\mu\nu} =\sqrt{-\bar g}(\bar g^{\mu\nu}+ l^{\mu\nu})$ ненулевые компоненты гравитационнгого поля принимают вид:

l⁰⁰	=	$\displaystyle e^{(\lambda - \nu)/2} - 1, l^{11} = 1 - e^{(\nu -\lambda)/2},$
l²²	=	$\displaystyle r^{-2}\left(1 - e^{(\nu +\lambda)/2}\right), l^{33} = r^{-2} {\sin^{-2}}\theta\left(1 - e^{(\nu +\lambda)/2}\right).$	(5.48)

Отметим, что если $\nu +\lambda = 0$ -- это обычное решение Шварцшильда в вакууме, если $\nu +\lambda \neq 0$ , то это решение в присутствии материи.

Интеграл энергии с соответствующим вектором Киллинга (см. (5.18)) в координатах (5.47) приобретает вид:

$\begin{displaymath} E^{tot} = \lim_{r \rightarrow \infty} \int_{\Sigma}{d^3x\sqrt{-\bar g^{(3)}} t^{00}_{(tot)}}, \end{displaymath}$

(5.49)

где t⁰⁰_(tot) -- плотность распределения энергии обычной материи и гравитационного поля. В силу выполнения уравнений Эйнштейна (5.20) этот интеграл переписывается в виде поверхностного:

$\begin{displaymath} E^{tot} = {1 \over {2 \kappa}} \lim_{r \rightarrow \infty} \... ...\left(l^{00}\bar g^{ij} + l^{ij}\bar g^{00}\right)_{\vert i}}, \end{displaymath}$

(5.50)

где вертикальная черта -- ковариантная производная по пространственной метрике в (5.47). Если есть необходимость, то интегрирование как в (5.49), так и в (5.50) может быть ограничено любой сферой r = r₀.

В случае интегрирования внутри материи (5.49), мы делаем предположение, что распределение достаточно регулярно, чтобы было допустимо интегрирование. Чтобы получить значение интеграла масс, как видно из (5.50), достаточно знать значения гравитационных потенциалов (5.48) на границе -- нет необходимости знать явные значения материальных переменных для вычисления (5.49), достаточно знать что они удовлетворяют уравнениям Эйнштейна. Так, для сферически симметричной островной системы интеграл (5.50) для полной массы дает естественный результат mc². В любом случае, уравнение (5.49) решает ПЕРВУЮ методическую проблему, действительно в (5.49) мы интегрируем в плоском пространстве и имеем правильный элемент интегрирования $d^3x\sqrt{-\bar g^{(3)}}$ .

Теперь перейдем ко ВТОРОЙ проблеме -- проблеме точечной массы. Поле (5.48) в ваккуме имеет вид:

$\begin{displaymath} h^{00} = {{r_g} \over r} {1 \over {1 - {{r_g} \over r}}}, h^{11} = {{r_g} \over r}. \end{displaymath}$

(5.51)

Мы предполагаем, что это решение справедливо также на мировой линии r=0. Для (5.51), включая мировую линию r=0, формулы полевой формулировки позволяют посчитать полную плотность энергии

$\begin{displaymath} t^{tot}_{00} = {{mc^2} \over 2} \delta (r)\left[1 - {1 \ove... ... {\kappa r^4}} {1 \over {\left(1 - {{r_g}\over r}\right)^3}}, \end{displaymath}$

(5.52)

которая разбивается на материальную и гравитационнуую части:

$\begin{displaymath} t^m_{00} = - {{mc^2}\over 4} \delta(r) \left[1 - {{r_g}\over r} - {1 \over {1 - {{r_g} \over r}}}\right], \end{displaymath}$

(5.53)

$\begin{displaymath} t^g_{00} = - {{mc^2}\over 4} \delta(r) {{r_g} \over r} {\le... ...{\kappa r^4}} {1 \over {\left(1 - {{r_g}\over r}\right)^3}}. \end{displaymath}$

(5.54)

Формулы (5.52) - (5.54), может быть не так изящно как в ньютоновой гравитации, но вполне разумно (в отличие от геометрической формулировки) представляют плотность массы для точечной частицы в ОТО. Мало того, подстановка плотности энергии t^tot₀₀ из (5.52) в интеграл масс (5.49) вполне допустимо и прямое интегрирование дает ожидаемый результат mc². Таким образом вторая методическая проблема также решается в рамках полевого формализма.

<< 5.3 Интерпретация заданного фона | Оглавление | Литература к Лекции 5 >>

Публикации с ключевыми словами: законы сохранения - Общая теория относительности - гравитация
Публикации со словами: законы сохранения - Общая теория относительности - гравитация

См. также:

Что было до Большого взрыва и откуда взялось время?

Горячие черные дыры

Гравитационное микролинзирование и проблема скрытой массы

Общая теория относительности

Всемирный год физики: триумф Эйнштейна

Заряд

Альберт Эйнштейн описывает пространство-время

Все публикации на ту же тему >>

Обсудить эту публикацию

Версия для печати

Астрометрия - Астрономические инструменты - Астрономическое образование - Астрофизика - История астрономии - Космонавтика, исследование космоса - Любительская астрономия - Планеты и Солнечная система - Солнце