![На первую страницу](http://images.astronet.ru/img/bookicon.gif)
<< 3.3 Кинетика фотонов и | Оглавление | 3.5 Рассеяние излучения на ... >>
3.4 Тормозное излучение зарядов
Заряд (электрон), движущийся равномерно и прямолинейно, очевидно, ничего не излучает (чтобы в этом убедиться, достаточно перейти в систему отсчета, где он покоится). Из классической электродинамики известно, что количество энергии, излучаемой зарядом в единицу времени, определяется его ускорением:
![$\displaystyle Q={2\over 3}\,{e^2\over c^3}\,x^2.
$](http://images.astronet.ru/pubd/2008/02/15/0001226214/img676.gif)
![$ Q$](http://images.astronet.ru/pubd/2008/02/15/0001226214/img295.gif)
![$ Q\sim e^2$](http://images.astronet.ru/pubd/2008/02/15/0001226214/img677.gif)
![$ Q$](http://images.astronet.ru/pubd/2008/02/15/0001226214/img295.gif)
Ниже мы будем рассматривать излучение электрона при ускорении его во внешнем
электрическом поле, скажем, в кулоновском поле иона. Вдали электрон движется
практически с постоянной скоростью. Ускорение электрона максимально при пролете
на минимальном расстоянии от иона. Очевидно, при этом максимально и излучение.
Нас будет интересовать и спектральный состав излучения
, где
-- фурье-компонента ускорения.
Займемся излучением длинных волн. Фурье-компонента ускорения
![$\displaystyle \ddot {x_\nu}={1\over 2}\int e^{i\,\omega\,t}\ddot x\,(t)\,dt.
$](http://images.astronet.ru/pubd/2008/02/15/0001226214/img680.gif)
![$ \vert\omega t\vert<1$](http://images.astronet.ru/pubd/2008/02/15/0001226214/img681.gif)
![$\displaystyle \ddot {x_\nu}=\int \ddot xdt=\Delta x,
$](http://images.astronet.ru/pubd/2008/02/15/0001226214/img682.gif)
![$ \ddot {x_\nu}$](http://images.astronet.ru/pubd/2008/02/15/0001226214/img683.gif)
![$ \nu$](http://images.astronet.ru/pubd/2008/02/15/0001226214/img684.gif)
Подчеркнем еще раз, что это выражение справедливо только при
![$ \omega<1/\tau$](http://images.astronet.ru/pubd/2008/02/15/0001226214/img686.gif)
![$ \tau$](http://images.astronet.ru/pubd/2008/02/15/0001226214/img543.gif)
![$ Q_\nu$](http://images.astronet.ru/pubd/2008/02/15/0001226214/img687.gif)
![$ ^2$](http://images.astronet.ru/pubd/2008/02/15/0001226214/img21.gif)
![$ Q\,\left[{\mbox{эрг}\over \mbox{с}}\right]$](http://images.astronet.ru/pubd/2008/02/15/0001226214/img688.gif)
Легко подсчитать изменение импульса электрона, пролетающего в поле иона, первоначально
имеющего скорость и прицельный параметр
(рис. 18):
![$\displaystyle {Ze^2\over b^2}\,{b\over v}=\int Fdt=\Delta\,(mv)=\Delta\,(mx),
$](http://images.astronet.ru/pubd/2008/02/15/0001226214/img691.gif)
![$\displaystyle \Delta\,x={Ze^2\over {mbv}}.
$](http://images.astronet.ru/pubd/2008/02/15/0001226214/img692.gif)
Пусть на ион с бесконечности падает пучок электронов со скоростью и плотностью
. Через кольцо площадью
около поля иона проходит
электронов в секунду. Каждый из них в единичном интервале частот излучает
.
Если в 1
см
находится
ионов, то полный поток энергии, излучаемый
в единицу времени, очевидно, равен интегралу (логарифмический множитель опускаем)
![$\displaystyle J_\nu=\int\limits_0^\infty {e^2\,(\Delta\,x)^2\over c^3}\,N_ZN_evbdb\simeq {Z^2e^6\over
c^3}\,{N_ZN_e\over {m^2v}}.
$](http://images.astronet.ru/pubd/2008/02/15/0001226214/img697.gif)
![$ \nu$](http://images.astronet.ru/pubd/2008/02/15/0001226214/img684.gif)
![$ mv_{min}^2/2=h\nu$](http://images.astronet.ru/pubd/2008/02/15/0001226214/img698.gif)
![$ e^{-h\nu/kT}$](http://images.astronet.ru/pubd/2008/02/15/0001226214/img699.gif)
![$\displaystyle J_\nu={32\pi\over 3}\,{\left({2\pi\,m\over {3kT}}\right)}^{1/2}\,...
...^{-{h\nu\over {kT}}}\;\left[{\mbox{эрг}\over {\mbox{см}^3
\mbox{с Гц}}}\right]
$](http://images.astronet.ru/pubd/2008/02/15/0001226214/img700.gif)
![$ ff$](http://images.astronet.ru/pubd/2008/02/15/0001226214/img701.gif)
![$ T$](http://images.astronet.ru/pubd/2008/02/15/0001226214/img3.gif)
![$ h\nu>kT$](http://images.astronet.ru/pubd/2008/02/15/0001226214/img702.gif)
При данном объемном коэффициенте изменение интенсивности
в прозрачной
среде, очевидно, определяется уравнением
![$\displaystyle (n\nabla\,F_\nu)={dF_\nu\over {dx}}={J_\nu\over {4\pi}},
$](http://images.astronet.ru/pubd/2008/02/15/0001226214/img704.gif)
![$ x$](http://images.astronet.ru/pubd/2008/02/15/0001226214/img464.gif)
![$ n$](http://images.astronet.ru/pubd/2008/02/15/0001226214/img325.gif)
![$\displaystyle {dF_\nu\over {dx}}={J_\nu\over {4\pi}}+{J_\nu\over {4\pi}}n-a_\nu F_\nu,
$](http://images.astronet.ru/pubd/2008/02/15/0001226214/img705.gif)
![$ a_\nu\;[$](http://images.astronet.ru/pubd/2008/02/15/0001226214/img706.gif)
![$ ^{-1}]$](http://images.astronet.ru/pubd/2008/02/15/0001226214/img707.gif)
При полном термодинамическом равновесии
.
Получаем, что отношение объемного коэффициента излучения вещества
к его
коэффициенту поглощения
есть универсальная функция
и
(закон
Кирхгофа):
![$\displaystyle J_\nu/a_\nu=8\pi\,h\,\nu^3\,e^{-{h\nu\over {kT}}}/c^2.
$](http://images.astronet.ru/pubd/2008/02/15/0001226214/img710.gif)
![$ J_\nu$](http://images.astronet.ru/pubd/2008/02/15/0001226214/img703.gif)
![$ a_\nu$](http://images.astronet.ru/pubd/2008/02/15/0001226214/img709.gif)
![$ (ff)$](http://images.astronet.ru/pubd/2008/02/15/0001226214/img711.gif)
![$\displaystyle a_\nu={4\over 3}\,{\left({2\pi\over {3kTm}}\right)}^{1\over 2}\,{...
...{hcm\,\nu^3}}={3,7\cdot 10^8Z^2N_ZN_e\over {\nu^3\sqrt{T}}}\;[\mbox{см}^{-1}].
$](http://images.astronet.ru/pubd/2008/02/15/0001226214/img712.gif)
![$ F_\nu$](http://images.astronet.ru/pubd/2008/02/15/0001226214/img598.gif)
![$ n\sim F_\nu$](http://images.astronet.ru/pubd/2008/02/15/0001226214/img713.gif)
![$ J_\nu n/4\pi$](http://images.astronet.ru/pubd/2008/02/15/0001226214/img714.gif)
![$ J_\nu$](http://images.astronet.ru/pubd/2008/02/15/0001226214/img703.gif)
![$ a_\nu$](http://images.astronet.ru/pubd/2008/02/15/0001226214/img709.gif)
![$ {J_\nu\over 4\pi}-a_\nu(1-e^{-{h\nu\over kT}})\,F_\nu$](http://images.astronet.ru/pubd/2008/02/15/0001226214/img715.gif)
Отсюда видно, что вынужденное испускание можно трактовать как некое уменьшение
поглощения: часть квантов как бы поглощается и тут же испускается с той же частотой
и в том же направлении с вероятностью
. Физически такие акты никак
себя не проявляют и их можно вообще исключить из рассмотрения, вводя
![$\displaystyle a'_\nu=a_\nu\,(1-e^{-{h\nu\over kT}}).
$](http://images.astronet.ru/pubd/2008/02/15/0001226214/img716.gif)
![$\displaystyle {dF_\nu\over dx}={J_\nu\over 4\pi}-a'_\nu F_\nu,
$](http://images.astronet.ru/pubd/2008/02/15/0001226214/img717.gif)
![$ a'_\nu$](http://images.astronet.ru/pubd/2008/02/15/0001226214/img718.gif)
Коэффициент истинного поглощения
, но при
эффективное
поглощение
и в равновесии это дает рэлей-джинсовскую формулу
для интенсивности
(коэффициент излучения
при
фактически постоянен). Используя закон Кирхгофа
, запишем в общем случае уравнение переноса в виде
![$\displaystyle {dF_\nu\over dx}=a'_\nu\,(F_{\nu\;\rm eq}-F_\nu).
$](http://images.astronet.ru/pubd/2008/02/15/0001226214/img725.gif)
![$ x=0\;F_\nu=0$](http://images.astronet.ru/pubd/2008/02/15/0001226214/img726.gif)
![$ x<1/a'_\nu,\;F_\nu$](http://images.astronet.ru/pubd/2008/02/15/0001226214/img727.gif)
![$ F_{\nu\;\rm eq}$](http://images.astronet.ru/pubd/2008/02/15/0001226214/img728.gif)
![$ F_\nu=a'_\nu F_{\nu\;\rm eq}x$](http://images.astronet.ru/pubd/2008/02/15/0001226214/img729.gif)
![$ x>1
/a'_\nu$](http://images.astronet.ru/pubd/2008/02/15/0001226214/img730.gif)
![$ F_\nu=F_{\nu\;\rm eq}$](http://images.astronet.ru/pubd/2008/02/15/0001226214/img731.gif)
![$ x_0$](http://images.astronet.ru/pubd/2008/02/15/0001226214/img732.gif)
![$ 1/a'_\nu$](http://images.astronet.ru/pubd/2008/02/15/0001226214/img733.gif)
![$ a'_\nu x_0$](http://images.astronet.ru/pubd/2008/02/15/0001226214/img734.gif)
![$ F=\int F_\nu d\nu=
x_o\,\int a'_\nu F_{\nu\;\rm eq}d\nu$](http://images.astronet.ru/pubd/2008/02/15/0001226214/img735.gif)
![$\displaystyle a={\int a'_\nu F_{\nu\;\rm eq}d\nu\over \int F_{\nu\;\rm eq}d\nu},
$](http://images.astronet.ru/pubd/2008/02/15/0001226214/img736.gif)
![$\displaystyle F=ax_0F_{eq}.
$](http://images.astronet.ru/pubd/2008/02/15/0001226214/img737.gif)
![$\displaystyle a_{ff}=6,5\cdot 10^{-24}Z^2{N_eN_Z\over T^{7/2}}\;[$](http://images.astronet.ru/pubd/2008/02/15/0001226214/img738.gif)
![$\displaystyle ^{-1}].
$](http://images.astronet.ru/pubd/2008/02/15/0001226214/img739.gif)
![$\displaystyle l_{ff}={1\over a_{ff}}=1,5\cdot 10^{23}{T^{7/2}\over Z^2N_eN_Z}\;[$](http://images.astronet.ru/pubd/2008/02/15/0001226214/img740.gif)
![$\displaystyle ].
$](http://images.astronet.ru/pubd/2008/02/15/0001226214/img741.gif)
![$ Z_i$](http://images.astronet.ru/pubd/2008/02/15/0001226214/img742.gif)
![$ A_i$](http://images.astronet.ru/pubd/2008/02/15/0001226214/img743.gif)
![$\displaystyle N_e=6\cdot 10^{23}\,\rho\,\sum\limits_i{X_iZ_i\over A_i},
$](http://images.astronet.ru/pubd/2008/02/15/0001226214/img744.gif)
![$\displaystyle Z^2N_Z=6\cdot 10^{23}\,\rho\,\sum\limits_i{X_iZ_i^2\over A_i},
$](http://images.astronet.ru/pubd/2008/02/15/0001226214/img745.gif)
![$ X_i$](http://images.astronet.ru/pubd/2008/02/15/0001226214/img746.gif)
Рассмотрим процесс установления равновесия между веществом и излучением для однородной
неограниченной среды, в которой в начальный момент излучение отсутствовало,
а вещество было мгновенно нагрето до температуры
. Очевидно, что прежде всего
это равновесие установится на низких частотах, так как
. С
течением времени равновесие будет устанавливаться при больших
значениях
(см. рис. 19).
<< 3.3 Кинетика фотонов и | Оглавление | 3.5 Рассеяние излучения на ... >>
Публикации с ключевыми словами:
Эволюция звезд - внутреннее строение звезд - термоядерные реакции - физические процессы
Публикации со словами: Эволюция звезд - внутреннее строение звезд - термоядерные реакции - физические процессы | |
См. также:
Все публикации на ту же тему >> |