Астронет | Картинка дня | Обзоры astro-ph | Новости | Статьи | Книги | Карта неба | Созвездия | Переменные Звезды | Глоссарий

Физика космоса | Биографии | Словарь | Ключевые слова | Астрономия в России | Форумы | Семинары | Сверхновые

<< 6. Эффекты, искажающие положение | Оглавление | 6.2. Аберрация >>

Разделы

• 6.1.1. Учет рефракции в оптическом диапазоне
• 6.1.2. Формула Лапласа для вычисления рефракции
• 6.1.3. Влияние рефракции на прямое восхождение и склонение звезды
• 6.1.4. Рефракция при наблюдениях в радиодиапазоне
• 6.1.5. Рефракция и задержка радиосигнала в тропосфере

---

6.1. Рефракция

При прохождении атмосферы Земли лучи света от звезды попадают в среду с изменяющимся показателем преломления. На больших расстояниях от поверхности Земли (в безвоздушном пространстве) показатель преломления равен 1 и скорость света равна скорости света в вакууме. В атмосфере показатель преломления уже не равен 1 и меняется в зависимости от плотности воздуха. В результате путь света от звезды в атмосфере не является прямой линией (рис. 6.1).

Из-за рефракции наблюдатель видит звезду на зенитном расстоянии , тогда как ее реальное зенитное расстояние (при отсутствии атмосферы) равно . Под астрономической рефракцией понимают смещение небесного объекта относительно его истинного положения на угол , равный

при прохождении светом атмосферы Земли.

Показатель преломления зависит от плотности воздуха, меняющейся вдоль траектории луча света. Так как точный закон изменения плотности с высотой не известен, то точное определение величины рефракции невозможно. В оптическом диапазоне рефракция является одним из главных факторов, ограничивающих точность позиционных наблюдений. Единственным способом решения проблемы является вынос оптических телескопов за пределы земной атмосферы. Успешное завершение проекта HIPPARCOS, результатом которого стал высокоточный каталог звезд, является подтверждением этого вывода. Если наблюдения проводятся в радиодиапазоне (на радиоинтерферометрах со сверхдлинными базами или осуществляется прием сигналов со спутников), то применяются специальные методы учета радиорефракции. Так как РСДБ и глобальные навигационные системы GPS и ГЛОНАСС составляют основу современных астрометрических и геодезических сетей, методам учета радиорефракции мы уделим особое внимание.

6.1.1. Учет рефракции в оптическом диапазоне

Простые формулы для учета рефракции можно получить, если рассмотреть плоскопараллельную модель атмосферы Земли. В этой модели атмосфера разбивается на плоскопараллельные слои, причем показатель преломления считается постоянным в слое и меняется скачкообразно на границах слоев (рис. 6.2). Показатель преломления у поверхности Земли равен .

Запишем закон Снеллиуса для -ого и -ого слоев:

для -ого и -ого слоев:

т.е.

Если в самом верхнем слое с номером показатель преломления равен 1, и зенитное расстояние равно , то, продолжая цепочку уравнений (6.1), имеем:

Так как показатель преломления у поверхности земли , всегда . Это означает, что рефракция приводит к смещению звезды к зениту.

Если показатель преломления не зависит от азимута, то луч света не выходит из вертикальной плоскости, и, следовательно, азимут рефракцией не искажается. Так как , получим:

Учитывая, что величина рефракции не превышает нескольких минут дуги, и, следовательно, , , получим величину рефракции в радианах:

Величина рефракции зависит, таким образом, от зенитного расстояния звезды и от показателя преломления у поверхности Земли. Упрощение строения атмосферы Земли приводит к простому выводу: для вычисления рефракции требуется знать лишь показатель преломления в приземном слое.

Значение показателя преломления у поверхности земли зависит от местных метеорологических параметров. При нормальных условиях (давление равно 760 мм рт. ст. и температура ) . Если ввести обозначение , то при нормальных условиях ; иногда коэффициент называется постоянной рефракции. Если условия отличаются от нормальных, то показатель преломления может быть найден по закону Гладстоуна-Дэйла, согласно которому величина пропорциональна плотности воздуха : . Если выразить плотность воздуха через давление и температуру, то закон изменения показателя преломления от давления и температуры определяется формулой:

где - приземное атмосферное давление в мм рт. ст., - температура воздуха в градусах Цельсия.

В действительности показатель преломления у поверхности Земли зависит не только от приземного давления и температуры, но также и от состава воздуха (главным образом от количества водяного пара) и от длины волны света. Влияние водяного пара на рефракцию в оптическом диапазоне довольно мало (по сравнению с точностью формулы (6.2)) и, напротив, в радиодиапазоне довольно значительно. Забегая вперед, укажем, что невозможность точного определения содержания водяного пара в нижних слоях тропосферы вдоль луча по направлению к радиоисточнику является основной причиной, которая ограничивает точность радиоастрометрических наблюдений. Зависимость показателя преломления от длины волны существенна даже в оптике. Приведенное выше значение соответствует центру -полосы ( микрон), используемой для определения визуальной звездной величины звезды. В общем виде зависимость от длины волны может быть представлена в виде:

где , а длина волны выражена в микронах. Величина изменяется примерно на в диапазоне видимого спектра, что приводит к изменению постоянной рефракции. В результате рефракции, изображение звезды будет разлагаться в спектр вдоль вертикального круга, причем красный конец спектра будет ближе к горизонту. Это означает, что при наблюдении звезд разных классов (или звезд одного класса, но с разными фильтрами) возможны систематические ошибки при определении координат, вызванные зависимостью от .

Формула (6.2) является очень грубой, и верна лишь в предположении плоскопараллельного строения атмосферы. Более точная формула, учитывающая сферичность атмосферы, будет получена ниже. Формулой (6.2) можно пользоваться, если зенитное расстояние мало. При формула (6.2) уже неприменима. Значительно более точный учет рефракции можно выполнить, если рассмотреть радиально-симметричную атмосферу.

Допустим, что свет от звезды распространяется в плоскости страницы. Разделим атмосферу на тонкие сферические слои (рис. 6.3), центром которых является центр Земли (точка ).

Плотность воздуха и, следовательно, показатель преломления будет зависеть лишь от высоты (от расстояния до центра Земли). По закону преломления света имеем на границе -ого и -ого слоев:

Разность углов и обозначим через :

Если , то

Учитывая малость величины , получим:

Пренебрегая членом второго порядка малости , получим:

Суммируя по всем слоям от 0 до , получим значение полной рефракции:

Уменьшая толщину каждого слоя и увеличивая число слоев, получим, что , и сумма стремится к интегралу, то есть

Интегрирование проводится от поверхности земли, где до верхнего слоя атмосферы, где . Меняя пределы интегрирования, получим:

Так как значение вдоль пути луча неизвестно, вполне естественно заменить на функцию, зависящую от видимого зенитного расстояния . Это легко можно сделать, используя закон синусов:

Но . Значит

Продолжая цепочку уравнений от -го слоя до поверхности Земли, получим:

или

Уменьшая толщину слоев, получим формулу, связывающую с :

Значит рефракция в радиально-симметричной атмосфере равна:

Формула (6.6) - точная. Если бы функция была известна, то рефракцию можно было бы вычислить численным интегрированием.

6.1.2. Формула Лапласа для вычисления рефракции

На практике интеграл в (6.6) вычисляется, если разложить в ряд параметр с использованием соотношения: , . Это справедливо, если считать, что толщина атмосферы составляет 100-150 км. Выше этого уровня плотность воздуха очень мала, и оптическая рефракция практически отсутствует.

Перепишем формулу (6.6) в виде:

Знаменатель подинтегрального выражения может быть разложен в ряд:

Следовательно, интеграл (6.7) может быть представлен в виде суммы:

где

Разложение в ряд (6.8) справедливо, если только . Так как близки к единице, то это условие выполняется, когда не превосходит , т.е значительно отличается от единицы.

Вычислим интегралы в (6.8). Первый интеграл является табличным, и имеет вид:

Следовательно,

Так как отличие показателя преломления у земли от единицы мало, то считаем, что . Разлагая как функцию в ряд Тэйлора и пренебрегая членами, содержащими и т.д., получим:

Для вычисления интеграла воспользуемся законом Гладстоуна-Дэйла, на основании которого можем записать, что , . Тогда

- плотность воздуха у поверхности земли. Так как величина мала и , то

Интегрируя по частям, получим:

где - верхняя граница атмосферы, на которой . Так как при (у поверхности земли) , то . Интеграл

представляет собой массу столба воздуха от поверхности земли до верхней границы атмосферы . Если обозначить величину как , то рефракция равна:

или

где . Формула (6.10) называется формулой Лапласа.

Коэффициенты и зависят от давления, температуры у поверхности земли в месте наблюдения, длины волны, высоты обсерватории над уровнем моря . При    мбар, , м коэффициенты и в формуле Лапласа равны: .

Формула Лапласа лежит в основе "Пулковских таблиц рефракции". Эти таблицы впервые были изданы в 1870 г., затем переиздавались в 1905 г., 1930 г., 1956 г. В таблицах приводится величина рефракции для средних метеорологических условий (    мм.рт.ст., парциальное давление водяного пара    мм.рт.ст.) с поправками, учитывающими отклонение условий наблюдения от средних.

При наблюдениях на больших зенитных расстояниях ( ) и вблизи горизонта следует использовать более точную формулу. В частности при наблюдениях в горизонте ( ) рефракция (из "Пулковских таблиц") равна примерно (    мбар, ). В момент восхода и захода зенитное расстояние звезды равно, следовательно, . При наблюдениях Солнца или Луны момент восхода или захода относится к верхнему краю, т.е. зенитное расстояние центра Солнца или Луны равно (считаем, что радиус диска Солнца или Луны равен ).

Время восхода или захода небесного тела при учете рефракции вычисляется из уравнения:

при (для звезд, планет) или (для верхнего края Солнца или Луны). Рефракция изменяет время восхода-захода на несколько минут; продолжительность дня, когда Солнце находится над горизонтом, увеличивается на минут.

6.1.3. Влияние рефракции на прямое восхождение и склонение звезды

Вычислим влияние рефракции на экваториальные координаты звезды. Для этого рассмотрим параллактический треугольник (рис. 6.4), причем будем считать, что - истинное положение звезды. Зенитное расстояние звезды (дуга ) равно .

В результате рефракции изображение звезды смещается в точку вдоль вертикального круга по направлению к зениту наблюдателя. Проведем через точку параллель и опустим перпендикуляры из точки на параллель - и на круг склонений - . Учитывая, что дуга равна и равна рефракции , а треугольники и можно считать плоскими, получим:

Значения и получим из формул параллактического треугольника:

Тогда

Используя уравнение (6.2): , получим окончательные выражения:

При наблюдениях в меридиане , и изменение координат из-за рефракции равно:

Значит, при меридианных наблюдениях рефракция учитывается только при определении склонений звезд.

6.1.4. Рефракция при наблюдениях в радиодиапазоне

Изложенная в предыдущем параграфе теория рефракции применяется при астрометрических наблюдениях в оптическом диапазоне. В связи с широким применением в астрометрии радионаблюдений рассмотрим особенности радиорефракции. В отличие от оптической рефракции преломление радиоволн различно при их распространении в ионизованной среде (в космической плазме, ионосфере Земли) или нейтральной среде (в тропосфере Земли). Поэтому, для учета влияния атмосферы на точные позиционные наблюдения в радиодиапазоне (радиорефракции) необходимо учесть вклад ионосферы и тропосферы на распространение лучей.

Одним из основных методов наблюдений в современной астрометрии является радиоинтерферометрия со сверхдлинными базами (РСДБ). Два радиотелескопа, находящиеся на большом расстоянии друг от друга, одновременно наблюдают радиоисточник на циклической частоте . База (расстояние между телескопами) может равняться нескольким тысячам километров. Поэтому состояние ионосферы и тропосферы в местах размещения телескопов может существенно различаться, и радиорефракция в результате может быть значительной.

Если обозначить один из телескопов первым, а другой - вторым, то вектор (рис. 6.5), равный , называется вектором базы, где - радиус-векторы телескопов.

Если вектор известен точно, а - единичный вектор в направлении наблюдаемого источника с известными координатами, то

где - скорость света, - геометрическая задержка сигнала.

Сигналы, принятые телескопами, записываются на магнитные ленты, которые впоследствии перевозятся в центр обработки, где выполняется корреляционный анализ. В результате обработки лент вычисляется производная фазы кросскорреляционного сигнала по отношению к циклической частоте :

которая называется групповой задержкой сигнала. Если бы координаты телескопов и источника были известны точно, отсутствовала бы атмосфера, то групповая задержка точно равнялась бы геометрической задержке  (6.14): . В действительности уравнение (6.14) имеет вид:

где поправка включает ошибки координат телескопов и источника, ошибки теории прецессии и нутации и т.д., в том числе задержку сигнала в атмосфере . Основы теории редукции наблюдений на РСДБ мы рассмотрим более подробно в § 8.

В данном параграфе изучим влияние рефракции.

Рефракция в радионаблюдениях сводится не только к изменению направления на источник (т.е. направления вектора s), но и к изменению длины пути луча в атмосфере (или, по-другому, к набегу фазы). Дополнительный набег фазы зависит от состояния ионосферы и тропосферы в пунктах 1 и 2, которое определяется временем года и суток, локальными условиями. Незнание количества свободных электронов на пути волны в ионосфере и содержания водяного пара в нижних слоях атмосферы определяет ошибки вычисления задержки . Именно эти ошибки ограничивают точность позиционных наблюдений на РСДБ.

Рассмотрим монохроматическую радиоволну, распространяющуюся в пространстве в направлении с длиной волны и частотой . Тогда скорость перемещения плоскости постоянной фазы волны равна

Фазовая скорость синусоидальной бегущей волны является очень важной величиной. Уравнение бегущей в направлении волны можно записать в виде:

где , - волновое число. Волновое число - величина, обратная длине волны, характеризует колебания в пространстве, тогда как циклическая частота - колебания во времени. Фаза волны равна . Беря полный дифференциал от и полагая его равным нулю, легко найти соотношение между координатой и временем для точек постоянной фазы:

Приравнивая нулю, имеем:

Так как , , получим (6.16): .

Если направление составляет с угол ( ) (рис. 6.6), скорость перемещения фазы превышает , поскольку . Фазовая скорость не является векторной величиной и может превышать скорость распространения света .

Зависимость фазовой скорости от частоты определяет дисперсию волн. При наличии дисперсии волны разных частот распространяются с разными фазовыми скоростями.

Рассмотрим теперь набор гармонических волн с частотами в интервале (или пакет волн). Если среда, через которую распространяются волны, не обладает дисперсией, то все гармонические волны распространяются с одной и той же фазовой скоростью, и пакет волн ведет себя как монохроматическая волна - его групповая скорость равна фазовой. Гармоническая волна постоянной амплитуды и частоты не может нести какую-либо информацию (кроме той, что мы знаем о существовании передатчика, излучающего эту волну). Каждый период волны является точной копией предыдущего периода. Чтобы передать определенную информацию, необходимо волну промодулировать, т.е. изменить какой-либо параметр волны - амплитуду, частоту или фазу - в соответствии с передаваемой информацией.

Для простоты рассмотрим волну как суперпозицию (сумму) двух волн одинаковой амплитуды с частотами, равными и :

Складывая косинусы, получим:

где амплитуда модулированного сигнала равна

Скорость распространения модулированного сигнала легко найти из условия постоянства амплитуды (например, сохранения ее максимального значения). Для этого необходимо, чтобы аргумент оставался постоянным, т.е.

Это условие означает, что мы отслеживаем постоянную фазу сигнала. Если условие удовлетворяется, то скорость перемещения модулированного колебания равна:

В пределе (при ) получим скорость распространения модуляции или групповую скорость сигнала:

Соотношение между фазовой и групповой скоростью получим, вычислив полный дифференциал от (6.16):

Деля на находим:

Подставляя (6.20) в (6.19) получим:

или в окончательном виде:

Это уравнение называется уравнением Рэлея.

Если фазовая скорость не зависит от длины волны (то есть среда не является диспергирующей), то

Для радиоволн, распространяющихся в вакууме, групповая и фазовая скорости равны скорости света :

При распространении света через среду с показателем преломления скорость волны равна:

Применяя эту формулу к фазовой и групповой скорости, получим:

- соответствующие показатели преломления. Дифференцируя по фазовую скорость, получим:

Подставляя (6.22) и (6.23) в (6.21), получим:

Преобразуем (6.24) следующим образом:

или, ограничиваясь только линейными членами:

Так как и , то

Используем полученные уравнения для учета распространения радиоволн через ионосферу Земли. Ионосферу образуют верхние слои земной атмосферы, в которой газы частично ионизованы под влиянием ультрафиолетового и рентгеновского солнечного излучения. Ионосфера электрически нейтральна, она содержит равное количество положительных и отрицательных частиц, т.е. является плазмой. При высоких частотах основную роль на распространение радиоволн играют свободные электроны. Число электронов в кубическом метре (т.е. плотность электронов) меняется по высоте сложным образом, достигая максимума на высоте от 250 до 400 км от поверхности земли, где равно примерно    м. Распределение плотности электронов зависит от времени суток, времени года, уровня солнечной активности. Величина в одно и то же время от точки к точке ионосферы может меняться на порядок. Максимальная величина плотности электронов определяет так называемую граничную частоту ионосферы. Плазменная частота обычно находится в пределах от до 10 МГц и равна

Частота колебаний плазмы определяет показатель преломления ионосферы. Для синусоидальной волны в ионосфере дисперсионное соотношение имеет вид:

где . Фазовая скорость в ионосфере согласно уравнению (6.18) равна:

Дифференцирование (6.26) по дает:

так как или

Следовательно, групповая скорость равна

Показатель преломления в ионосфере по (6.22) равен:

Если , то, разлагая (6.27) в ряд по малому параметру , получим:

Коэффициенты не зависят от частоты, но зависят от плотности электронов . Обычно в (6.28) оставляют лишь два члена:

причем . Дифференцируя (6.29), получим:

и, подставляя (6.29) и (6.30) в (6.25), находим:

Таким образом фазовый и групповой показатели преломления отличаются от 1 лишь знаком:

Назовем интеграл

взятый вдоль траектории между точками ионосферы, радиус-векторы которых и , оптической траекторией (рис. 6.7); -элемент дуги, соединяющей точки и .

Напомним, что если кривая является графиком функции , имеющей на сегменте непрерывную производную , то длина дуги может быть найдена по формуле

Геометрическое расстояние между векторами и равно:

где -элемент прямой линии, соединяющей точки и (рис. 6.7).

Для фазовой скорости ионосферная рефракция равна:

Аналогичное выражение можно написать для групповой скорости:

Чтобы упростить выражения (6.32) и (6.33), предполагают, что , то есть интегрирование по кривой заменяют интегрированием по прямой линии, соединяющей точки и . В этом случае имеем , где - приращение высоты, - зенитное расстояние источника в точке (рис. 6.7). Используя эту аппроксимацию получим, что рефракция в ионосфере равна

При наблюдении источника в зените () находим

где

есть полное содержание электронов (total electron content) в зените. Обычно TEC измеряется в единицах . В качестве примера на рис. 6.8 показано изменение TEC в течение полутора недель. Измерения сделаны в Калязине и Кашиме (Япония) с 10 по 21 июня 1998 г. Хорошо видна суточная периодичность содержания электронов, а также случайные изменения TEC. Средней величине на частоте 1,4 ГГц соответствует задержка сигнала в ионосфере, равная нс, а на частоте 2,2 ГГц-1 нс. Добавление к временной задержке поправки в виде синусоиды с периодом в сутки и амплитудой, равной 1 нс, приведет к суточным вариациям координат радиоисточника на величину при наблюдении на интерферометре с базой 7000 км. Очевидно, что без учета ионосферной рефракции значительного повышения точности при наблюдениях на РСДБ не могло быть получено.

Так как интегрирование в (6.32) и (6.33) проводится по прямой линии, секанс в (6.34) можно приближенно вычислить по формулам:

и

где -средний радиус Земли, -средняя высота ионосферы. Как говорилось выше, максимальное содержание электронов достигается на высотах от 250 до 400 км. Поэтому в разных работах по учету ионосферы в качестве берут значения 300, 350 или 400 км.

Из рис. 6.7 видно, что кроме регулярных изменений TEC имеются случайные вариации. Они приводят к случайным ошибкам при определении задержки , которые могут достигать нс. Это очень большая величина для РСДБ. Поэтому для исключения ионосферной рефракции применяется особый прием: наблюдения одновременно проводятся на двух частотах, например и диапазонов ( ГГц, ГГц). Тогда задержка сигнала в этих диапазонах равна:

где - общая задержка. Вычитая из одного уравнения другое, получим:

где . Задержки определяются при корреляционной обработке магнитных лент. Тогда ионосферная задержка в -диапазоне может быть найдена из уравнения:

Проводя наблюдения на двух далеко разнесенных частотах можно определить ионосферную задержку с ошибкой менее 10 пкс.

Помимо ионосферы радиоволна распространяется через межзвездное пространство, которое также является плазмой. Поэтому уравнение (6.36) в общем виде выражает дисперсию радиосигнала при его прохождении от источника до наблюдателя. При рассмотрении теории пульсарного тайминга мы уже встречались с этим явлением (рис. 5.14).

6.1.5. Рефракция и задержка радиосигнала в тропосфере

Влияние нейтральной атмосферы (т.е. неионизованной части атмосферы) на распространение радиоволн приводит к тропосферной рефракции и задержке сигнала. Нейтральная атмосфера является недисперсионной средой для радиоволн с частотой до 15 ГГц, и, следовательно, распространение волн не зависит от частоты, если частота наблюдений ниже 15 ГГц. Рефракция и задержка сигнала в тропосфере определяется составом газов в ней. Основную неопределенность в вычисление этих величин вносит, главным образом, наше незнание количества водяного пара в столбе тропосферы в направлении источника.

Рассмотрим этот вопрос подробно, так как именно ошибка вычисления задержки в тропосфере ограничивает точность современных систем, таких как РСДБ и GPS. Наблюдения на этих системах проводятся в сантиметровом и дециметровом диапазонах и часто на больших зенитных углах. Поэтому подынтегральное выражение в (6.4) путем замены переменной следует преобразовать таким образом, чтобы интеграл был хорошо определен при приближении к .

По определению оптическая длина пути между точками и равна интегралу

вычисляемому вдоль траектории распространения света, где - показатель преломления среды на участке . Будем считать, что в т. находится наблюдатель, а в т. - источник. Пусть и - геоцентрические радиус-векторы, проведенные в точки и , соответственно.

Разность оптической длины пути и расстояния между точками и по прямой линии равна:

которую обычно представляют в виде двух слагаемых:

Введем обозначения:

Значит . Величина определяется отличием скорости света в среде от скорости в вакууме , так как , а - кривизной траектории распространения света. В атмосфере Земли величина значительно меньше , и далее мы ее учитывать не будем.

Как говорилось выше, является фазовой скоростью волны, и, поэтому, величину часто называют фазовым набегом. В случае немонохроматического света, строго говоря, мы должны использовать групповую скорость и соответствующий ей групповой показатель преломления. Однако тропосфера не вносит дополнительной задержки в групповую скорость сигнала, и, поэтому, мы не будем в этом параграфе делать различия между фазовым и групповым показателями преломления воздуха. Задержка сигнала в тропосфере равняется .

В подинтегральное выражение (6.4) входит функция . Так как показатель преломления вещества согласно формуле Лоренц-Лорентца (если молекулы его являются неполярными)

или формуле Ланжевена-Дебая (для вещества с полярными молекулами)^6.1 зависит от отношения , то нашей задачей является вывод выражения, связывающего с плотностью составляющих воздух газов. В формуле Лоренц-Лорентца (6.38) - плотность, - молекулярная масса, - так называемая молекулярная рефракция.

В основе вычисления фазового набега лежит уравнение состояния влажной атмосферы, находящейся в гидростатическом равновесии. Для его вывода предположим, что воздух состоит из смеси сухих газов (табл. 6.1) и небольшого количества водяного пара.

Состояние каждого из атмосферных газов зависит от трех параметров: температуры , давления и плотности . Для идеального газа эти величины связаны уравнением состояния:

где - универсальная газовая постоянная, - молекулярная масса. Численное значение в единицах СИ равно: .

В атмосфере Земли основные газы, входящие в состав воздуха, ведут себя практически как идеальные газы. Поэтому уравнение состояния какого-либо газа имеет вид (6.39):

Для водяного пара уравнение (6.39), строго говоря, неприменимо, так как удельная газовая постоянная пара зависит от температуры и его парциального давления. Однако для интервала температур от 0 до свойства водяного пара близки к свойствам идеального газа. Принятое значение молекулярной массы водяного пара равно кг/кмоль. Тогда уравнение Клапейрона для пара имеет вид:

где - парциальное давление пара, - его удельный объем. Если в удельном объеме влажного воздуха содержится кг водяного пара и кг сухого воздуха, то . Удельный объем сухого воздуха равен .

По закону Дальтона общее давление смеси газов равно сумме парциальных давлений. Поэтому

где индексы обозначают сухую и влажную составляющие воздуха. Так как давление сухого воздуха равно , то имеем:

где , кг/кмоль. Складывая уравнения (6.41) и (6.43), получим уравнение состояния влажного воздуха:

которое, учитывая что , перепишем в виде:

где - виртуальная температура:

Из формулы (6.42) и уравнения состояния (6.40) выразим плотность влажного воздуха через плотность его составляющих:

Содержание водяного пара в атмосфере характеризуется очень большой изменчивостью (рис. 6.9). На рисунке показано количество осажденной влаги у поверхности Земли для января и июля; оно близко к нулю в высоких широтах и может достигать 60 (или по объему) в экваториальной зоне.

Количество водяного пара очень быстро уменьшается с высотой. В слое воздуха от 0 до 2 км содержится около всего его количества, в нижней тропосфере (в слое 0-5 км) - уже . В верхней тропосфере (от 5 до 11 км) водяного пара менее , а в стратосфере его количество составляет десятые или даже сотые доли процента. Это обстоятельство мы используем в дальнейшем: при расчете вклада водяного пара в задержку радиосигнала мы будем полагать, что воздух, начиная с высоты тропопаузы, равной 11 км, состоит из смеси только сухих газов.

Получим теперь дифференциальное уравнение для влажной атмосферы, находящейся в гидростатическом равновесии. Это предположение означает выполнение условия:

Изменение давления происходит не только из-за изменения высоты , но и из-за зависимости ускорения силы тяжести от высоты. Чтобы упростить уравнение (6.47) и исключить зависимость от , вводят так называемую шкалу динамических или геопотенциальных высот согласно уравнению:

где - ускорение силы тяжести при . Пусть поверхность имеет радиус . Тогда из закона притяжения Ньютона следует, что

где - ускорение силы тяжести на поверхности с радиусом . Следовательно, уравнение, связывающее динамические и геометрические высоты, имеет вид:

причем высоты отсчитываются вдоль радиусов и, следовательно . Это значит, что здесь мы предполагаем, что гравитационное поле Земли является сферически симметричным. Интегрируя, получим при условии, что, если соответствует геометрическая высота , а - , следующую формулу:

Перепишем последнее выражение следующим образом:

и подставим в (6.48):

В шкале динамических высот условие гидростатического равновесия (6.47) принимает вид:

Выражая теперь плотность влажного воздуха из уравнения (6.44) и подставляя в (6.51), получим:

Найдем логарифмическую производную от (6.44). Она равна:

и из последних двух выражений получим:

Исключим из (6.52) виртуальную температуру . Для этого вычислим логарифмическую производную от (6.45):

После несложных преобразований получим:

или

которое и подставим в (6.52). В результате получим уравнение состояния для влажной атмосферы, находящейся в гидростатическом равновесии:

Теперь нужно выразить показатель преломления влажного воздуха через плотность . Из формулы (6.38) и работ П.Дибая следует, что показатель преломления в общем виде может быть представлен в виде:

где - постоянные, - парциальное давление . Обычно последним членом пренебрегают, так как его вклад составляет , тогда как точность коэффициентов равна . Сами коэффициенты определяются из лабораторных измерений диэлектрической проницаемости воздуха в оптическом и радиодиапазоне.

Перепишем последнюю формулу в виде:

где

Для радиоволн значения коэффициентов следующие (по данным Тэйера):

Неопределенность коэффициентов , скорее всего, сильно завышена, так как по данным других авторов , . Тогда

Напомним, что фазовый набег в атмосфере равен:

В сферически симметричной атмосфере имеем: , где - зенитное расстояние. Тогда

Первый и третий интегралы есть не что иное, как фазовый набег сигнала в зените; обозначим эти интегралы как и , а второй и четвертый - как и . Тогда полный набег может быть записан в виде:

где и - так называемые картирующие функции. В нашем случае они равны:

Очевидно, что в зените (при ) и , а .

В настоящее время при обработке РСДБ и GPS наблюдений используются различные картирующие функции. Они зависят от множества параметров: давления, плотности, влажности воздуха, широты и высоты антенны и т.д. и обычно представляются в виде:

где - коэффициенты для учета сухой () и влажной () компонент воздуха. Как показывают наблюдения РСДБ и GPS, ни одна из используемых функций не дает необходимой точности для вычисления задержки ( пкс). Поэтому часто "влажная" задержка является одним из неизвестных параметров и оценивается из наблюдений.

Для достижения высокой точности наблюдений используются СВЧ-радиометры, измеряющие содержание водяного пара вдоль пути распространения радиоволны по яркостной температуре неба на частоте 22 ГГц. Несмотря на то, что СВЧ-радиометры достаточно дорогие приборы, сейчас они устанавливаются не только рядом с радиотелескопами, но и рядом с GPS антеннами^6.2. В качестве примера на рис. 6.10 показано изменение "сухого" и "влажного" набега в зените за 21 и 22 октября 2004 г. в Брюсселе.

Задержка радиосигнала в сухой атмосфере может достигать нс (в линейной мере м); наличие водяного пара в атмосфере приводит к задержке, равной нс (или фазовому набегу м).

Вычислим сначала фазовый набег в зените. Имеем

По определению молекулярная масса газа, состоящего из нескольких компонент, равна сумме произведений молекулярных масс на объемное содержание всех компонент. В частности для сухого воздуха (по данным из таблицы 6.1) находим, что

При добавлении к смеси сухих газов водяного пара с парциальным давлением объемное содержание компонент изменится таким образом, что

Очевидно, что

По определению объемное отношение смеси сухого воздуха и водяного пара - это отношение числа молей водяного пара к числу молей сухого воздуха, с которым водяной пар перемешан. Значит:

Таким образом молекулярная масса влажного воздуха равна

и из закона состояния (6.39) получим выражение:

которое является аналогом (6.46), но проще его.

Используя (6.59), получим:

Для вычисления интегралов предположим, что атмосфера состоит из двух слоев: тропосферы, в которой температура линейно уменьшается с высотой до тропопаузы, и изотермической стратосферы. Мы считаем также, что относительная влажность в тропосфере постоянна и равна , т.е. влажности в месте наблюдения, а в стратосфере водяного пара нет.

В соответствии со стандартной атмосферой^6.3 температурный градиент в тропосфере равен:

динамическая высота тропопаузы равна 11 км, причем шкала высот относится к силе тяжести на уровне моря. Температура на уровне моря и на границе тропопаузы (при км) равны, соответственно: и .

Используя простую двухслойную модель атмосферы, выражение (6.60) перепишем следующим образом:

где - расстояние до границы тропопаузы от центра Земли. Выше, как мы считаем, водяного пара нет, т.е. .

Переходя от геометрических высот к динамическим согласно выражению (6.48), а затем к давлению по формуле (6.51), получим, используя соотношение :

где - ускорение силы тяжести, которое может быть найдено по формуле (4.19), - полное давление воздуха в т. , - геоцентрическое расстояние т. , от которой отсчитываются динамические высоты . Так как мы считаем, что источник () находится вне атмосферы, то верхний предел в интеграле равен нулю ().

Интегрируя по частям (6.62), получим:

где

Для вычисления требуется знать закон изменения давления с высотой. При использовании модели двухслойной атмосферы в шкале высот, отсчитываемой от т., имеем :

где . Высота границы тропопаузы равна: , - динамическая высота т. над эллипсоидом. Решением уравнения

будут функции:

где - давление на границе тропопаузы,

В результате для модели двухслойной атмосферы получим:

Интегралы легко вычислить, используя систему аналитических вычислений MAPLE. Первый интеграл может быть представлен в виде ряда:

Здесь мы предположили, что , м. При вычислении использовалась формула (6.58), в которой мы положили мбар, мбар, и, значит, . Второй интеграл при этих предположениях равен .

В результате имеем:

где - ускорение силы тяжести (4.19) в т., - высота т. над эллипсоидом в метрах.

Если требуется большая точность, то первый интеграл в (6.61) может быть оценен численно. Для этого плотность влажного воздуха в точке наблюдения находится из решения уравнения (6.53).

Количество водяного пара может определяться с помощью различных характеристик влажности воздуха. В частности, часто используемая величина - относительная влажность (в ) - по определению равна отношению парциального давления водяного пара к давлению водяного пара , насыщенного при данной температуре:

Для расчета в справочнике "Атмосфера" рекомендуется использовать формулу:

Тогда парциальное давление водяного пара может быть вычислено по формуле:

где

Коэффициенты найдены по данным из таблицы 5.1.1 из справочника "Атмосфера".

Зная парциальное давление водяного пара, можно найти его плотность:

Для вычисления перепишем уравнение (6.53), используя (6.66) и соотношения:

Значит

где , , или

Это уравнение легко решается по методу Лагранжа; решение имеет вид:

Плотность влажного воздуха в точке наблюдения находится из закона состояния:

а по формуле (6.65) при .

Значение второй скобки в выражении (6.61), которую запишем в виде:

может быть оценено численно на основе (6.66).

На этом вычисление тропосферной задержки в направлении зенита заканчивается.

Для обхода особенности при используем следующий прием. Полная задержка в тропосфере равна:

где

Покажем, что

Для сферически симметричной атмосферы имеется инвариант (6.5), который запишем в виде:

и в дифференциальной форме:

Деля на , получим:

Поделив теперь на , найдем:

или

Отсюда

Так как и , сделаем следующую замену переменной:

и найдем, что

- зенитное расстояние источника в т. и на границе атмосферы.

Отношение можно преобразовать. Имеем

или

Так как

и , то

или

Отсюда находим, что

Так как , то исключая в (6.67), получим:

где , и плотность находится по формуле (6.68).

Над тропосферой, где :

Для изотермической стратосферы из (6.52) при и найдем:

и, следовательно,

Для атмосферы выполняется соотношение: , и, потому, подынтегральные выражения в (6.72-6.73) определены при всех зенитных расстояниях.

Как показывают вычисления по формулам (6.72) и (6.73) их ошибка равна см. Обычно эту ошибку относят к "влажной" задержке, так как мы не знаем распределение водяного пара вдоль пути распространения радиоволны. Поэтому часто "влажная" задержка включается в число неизвестных параметров и оценивается из наблюдений.

Используя полученные выше выражения, легко преобразовать интеграл рефракции, чтобы исключить особенность при . Полная рефракция равна:

- видимое зенитное расстояние, - зенитное расстояние при входе луча в атмосферу.

---

<< 6. Эффекты, искажающие положение | Оглавление | 6.2. Аберрация >>

Публикации с ключевыми словами: астрометрия - сферическая астрономия - системы координат - шкалы времени Публикации со словами: астрометрия - сферическая астрономия - системы координат - шкалы времени
См. также: 80 лет со дня рождения Альберта Петровича Гуляева Руководство по практической работе с каталогом Hipparcos К 70-летию Вилена Валентиновича Нестерова Полная версия "Сферической астрономии" В.Е.Жарова Обзор геостационарной орбиты на двойном астрографе УАФО Отдел пульсарной астрометрии ПРАО АКЦ ФИАН Прямое определение расстояния до центра Галактики Все публикации на ту же тему >>