Задания по квантовой теории поля<< Вводные задания | Оглавление | Однопетлевые двухточечные процессы >>
Древесные процессы
(Задание 4, Задание 5)
Задание 4. Вычислить вероятность распада фотона на электрон-позитронную пару в сильном внешнем магнитном поле.
Решение. Распад фотона на электрон-позитронную пару, запрещенный в вакууме законом сохранения энергии-импульса, становится возможным в присутствии внешнего магнитного поля. Это связано с тем, что магнитное поле выступает в роли активной внешней среды, взаимодействие с которой приводит к изменению законов сохранения, а значит, и кинематики процесса.
Поскольку распад фотона анализируется в пределе сильного магнитного
поля
, где 
- масса электрона и
- энергия фотона, то естественно волновые функции
электрона и позитрона выбрать в асимптотическом виде (3.2).
Перейдем теперь к вычислению 
-матричного элемента процесса
,
изображенного диаграммой на рис. 1.
-матричный элемент
вычисляется следующим образом:
 |
(4.1) |
 |
| Рис. 1. Диаграмма, описывающая распад фотона на электрон-позитронную пару во внешнем электромагнитном поле |
где
- лагранжиан взаимодействия,
и 
- векторы начального и конечного состояний.
Лагранжиан взаимодействия электрона с фотоном в присутствии внешнего
поля точно такой же, как и в вакууме
, поэтому -матричный элемент
принимает вид:
где
и
- волновой вектор
и вектор поляризации фотона, а волновая функция
определена в (3.2).
Непосредственная подстановка волновых функций электрона и позитрона
в -матричный элемент приводит к результату:
Интеграл по
- гауссова типа и берется с помощью
формулы (3.14), что приводит -матричный элемент к виду:
где под трехмерной
-функцией понимается произведение трех
-функций, приведенных явно в (4.3), и
.
Вероятность распада фотона в единицу времени равна квадрату модуля
-матричного элемента, отнесенного к интервалу времени 
,
за который этот процесс произошел, и просуммированного по всевозможным
конечным состояниям:
Как и в случае пропагатора электрона, при вычислении вероятности распада
удобно перейти от суммирования к интегрированию в соответствии
с правилом (3.10). Подставляя выражение (4.4),
получим следующий результат для вероятности распада:
где
- матрица плотности, определенная
в (3.6). В подынтегральном выражении зависимость от
переменных 
и 
имеется только в -функции:
. Указанная -функция
позволяет легко взять интеграл по одной из переменных, например по ,
а оставшийся интеграл по называют "холостым", поскольку
получившееся подынтегральное выражение не зависит от .
Если считать, что принимает всевозможные значения, то этот интеграл
становится равным бесконечности, что дает для вероятности распада
нефизический результат. Для аккуратного вычисления этого интеграла
следует заметить, что параметр не имеет смысла проекции импульса
электрона на ось 
, а определяет положение максимума его волновой
функции на оси 
в соответствии с уравнением:
const.
Поэтому аккуратное вычисление "холостого" интеграла следующее:
Подставляя этот интеграл в (4.6) и вводя вместо квадрата заряда постоянную тонкой структуры
, получим следующее выражение для вероятности:
Две оставшиеся
-функции позволяют легко взять двойной интеграл.
Это удобно сделать в системе отсчета, в которой 
. Заметим,
что при такого типа лоренц-преобразованиях конфигурация чисто магнитного
поля сохраняется. Результат интегрирования равен:
Перейдем к вычислению шпура. Подставляя явный вид матриц
из (3.6), для рассматриваемого шпура
получим следующий результат:
где использованы свойства (1.15) шпуров
-матриц.
Выясним, фотоны какой поляризации имеют ненулевую вероятность распада
на электрон-позитронную пару. Для этого вспомним, что тензор напряженностей
внешнего электромагнитного поля позволяет построить удобный
базис (1.17) для такого рода анализа. При этом два
поляризационных состояния фотона, ортогональных к его волновому вектору
k, могут быть выбраны пропорциональными первым двум базисным
векторам
и
:
В выбранной нами системе отсчета (
) явный вид этих векторов
следующий:
Только 4-вектор "второй" фотонной поляризации имеет ненулевые составляющие в
подпространстве, а значит, только фотон "второй"
поляризации может распадаться на электрон-позитронную пару в сильном
магнитном поле. При этом фотон "первой" поляризации остается стабильным
по отношению к рассматриваемому распаду.
Подстановка
из (4.12) в выражение для
шпура (4.10) приводит к простому результату - 
.
Учитывая, что произведение энергии распадающегося фотона на вероятность
его распада есть лоренц-инвариантная величина, перейдем в произвольную
систему отсчета (
) и для вероятности распада
получим окончательный результат:
Задание 5. Вычислить вероятность распада аксиона на электрон-позитронную пару в сильном внешнем магнитном поле.
Решение. Аксион - это псевдоскалярная частица, введенная для решения проблемы CP-инвариантности сильных взаимодействий. В модели так называемого "невидимого" аксиона с прямой связью аксиона с обычными фермионами лагранжиан взаимодействия имеет вид:
где
- юкавская константа связи, 
- масса фермиона,
и 
- фермионная и аксионная волновые функции.
Распад аксиона на электрон-позитронную пару, запрещенный в
вакууме законом сохранения энергии-импульса, становится возможным в
присутствии внешнего магнитного поля в полной аналогии с распадом фотона.
Легко увидеть, что -матричный элемент процесса, изображенного на
рис. 2,
-матричного элемента распада фотона (4.4)
заменой:
,
что приводит к результату:
 |
(5.2) |
 |
| Рис. 2. Диаграмма, описывающая распад аксиона на электрон-позитронную пару во внешнем электромагнитном поле в модели с прямой связью аксиона с электроном |
где
- 4-импульс аксиона. Для вычисления вероятности распада
аксиона воспользуемся вероятностью распада фотона (4.9),
в которой сделаем соответствующие замены, что позволяет получить
следующий результат:
Вычислим шпур
-матриц в вероятности распада:
Если учесть, что электрон и позитрон находятся на массовой поверхности (
), а также закон сохранения импульса в
подпространстве
,
то первый шпур
обращается в нуль, а второй -
. Далее, возвращаясь в произвольную систему отсчета из системы,
где , получаем окончательный результат для вероятности распада
аксиона на электрон-позитронную пару:
<< Вводные задания | Оглавление | Однопетлевые двухточечные процессы >>
|
Публикации с ключевыми словами:
квантовая теория поля - элементарные частицы - сверхсильные магнитные поля - рождение частиц
Публикации со словами: квантовая теория поля - элементарные частицы - сверхсильные магнитные поля - рождение частиц | |
См. также:
Все публикации на ту же тему >> | |
