Топология и метрика пар кеплеровских орбит
<< 1. Введение | Оглавление | 3. Топология пар орбит >>
2. Евклидово расстояние между двумя кеплеровскими орбитами
Обозначим через кеплеровский эллипс, рассматриваемый как
множество точек в
. Пусть
- евклидово
расстояние между двумя орбитами, т.е. наименьшее значение расстояния
между парами точек, лежащих на соответствующих эллипсах.
С XIX столетия опубликованы сотни работ, посвященных определению
различными приближенными способами. Альтернативный подход состоит
в сведении задачи к решению уравнения
![](http://images.astronet.ru/pubd/2002/05/12/0001176736/img6.gif)
![](http://images.astronet.ru/pubd/2002/05/12/0001176736/img7.gif)
![](http://images.astronet.ru/pubd/2002/05/12/0001176736/img8.gif)
![](http://images.astronet.ru/pubd/2002/05/12/0001176736/img9.gif)
![](http://images.astronet.ru/pubd/2002/05/12/0001176736/img9.gif)
![](http://images.astronet.ru/pubd/2002/05/12/0001176736/img8.gif)
Мы построили алгоритм наименьшей сложности для определения .
Именно, построили играющий роль
тригонометрический многочлен
восьмой степени
от эксцентрической аномалии
. В общем случае
тригонометрического многочлена меньшей степени не существует.
В вырожденных случаях мы построили тригонометрические многочлены
меньшей степени, а в случае двойного и тройного вырождения получили
явное решение для
. Подробное решение задачи (с пропуском одного из
вырожденных случаев) содержится в
[1]. Здесь мы приведем основные результаты.
Пусть
- кеплеровские элементы
;
. Описывающие
величины помечаются штрихом. Вектор
положения
на
выразим через эксцентрическую аномалию
Здесь
![](http://images.astronet.ru/pubd/2002/05/12/0001176736/img16.gif)
![](http://images.astronet.ru/pubd/2002/05/12/0001176736/img17.gif)
![](http://images.astronet.ru/pubd/2002/05/12/0001176736/img18.gif)
![]() |
![]() |
![]() |
|
![]() |
![]() |
![]() |
|
![]() |
![]() |
![]() |
Здесь
![](http://images.astronet.ru/pubd/2002/05/12/0001176736/img26.gif)
![](http://images.astronet.ru/pubd/2002/05/12/0001176736/img27.gif)
![](http://images.astronet.ru/pubd/2002/05/12/0001176736/img28.gif)
![](http://images.astronet.ru/pubd/2002/05/12/0001176736/img29.gif)
![](http://images.astronet.ru/pubd/2002/05/12/0001176736/img30.gif)
Для приведенного к безразмерному виду квадрата функции расстояния
легко вывести представление
![](http://images.astronet.ru/pubd/2002/05/12/0001176736/img32.gif)
![](http://images.astronet.ru/pubd/2002/05/12/0001176736/img33.gif)
![](http://images.astronet.ru/pubd/2002/05/12/0001176736/img34.gif)
Здесь
![](http://images.astronet.ru/pubd/2002/05/12/0001176736/img36.gif)
![](http://images.astronet.ru/pubd/2002/05/12/0001176736/img37.gif)
![](http://images.astronet.ru/pubd/2002/05/12/0001176736/img38.gif)
Функция (2) является тригонометрическим многочленом двух
переменных и принимает наименьшее на двумерном торе значение
в одной из критических точек, удовлетворяющих уравнениям
![](http://images.astronet.ru/pubd/2002/05/12/0001176736/img40.gif)
![](http://images.astronet.ru/pubd/2002/05/12/0001176736/img41.gif)
Функции
![](http://images.astronet.ru/pubd/2002/05/12/0001176736/img43.gif)
![](http://images.astronet.ru/pubd/2002/05/12/0001176736/img44.gif)
![](http://images.astronet.ru/pubd/2002/05/12/0001176736/img45.gif)
![](http://images.astronet.ru/pubd/2002/05/12/0001176736/img46.gif)
![](http://images.astronet.ru/pubd/2002/05/12/0001176736/img47.gif)
![](http://images.astronet.ru/pubd/2002/05/12/0001176736/img48.gif)
![](http://images.astronet.ru/pubd/2002/05/12/0001176736/img49.gif)
![](http://images.astronet.ru/pubd/2002/05/12/0001176736/img50.gif)
Используя алгебраическую технику базисов Гребнера [3], можно
исключить из уравнений (3) переменную . В результате
получаем тригонометрический многочлен
восьмой степени
![](http://images.astronet.ru/pubd/2002/05/12/0001176736/img52.gif)
![](http://images.astronet.ru/pubd/2002/05/12/0001176736/img53.gif)
![](http://images.astronet.ru/pubd/2002/05/12/0001176736/img54.gif)
![](http://images.astronet.ru/pubd/2002/05/12/0001176736/img5.gif)
Соотношение необходимо и достаточно для совместности
системы (3). В невырожденном случае не существует многочлена
меньшей степени, обладающего этим свойством.
Доказательство см в [1].
Опишем алгоритм определения .
На первом шаге решается уравнение
, т.е. находятся все его
вещественные корни на окружности
. На втором шаге ищутся
соответствующие значения
по формуле
где
![](http://images.astronet.ru/pubd/2002/05/12/0001176736/img58.gif)
![](http://images.astronet.ru/pubd/2002/05/12/0001176736/img59.gif)
![](http://images.astronet.ru/pubd/2002/05/12/0001176736/img59.gif)
На третьем шаге сравнивается конечное множество значений
и выбирается наименьшее
. В результате
Рассмотрим вырожденные случаи, когда критические точки отвечают вещественным корням тригонометрического уравнения меньшей степени. Интуиция подсказывает, что простейшие вырождения связаны с двумя различными случаями: обращением в нуль взаимного наклона и хотя бы одного из эксцентриситетов. Как часто бывает, интуиция оправдывается лишь частично. Компланарность, в отличие от кругового случая, не ведет к вырождению.
1. Пусть орбита - круговая. Более того, допустимо считать
, не пренебрегая первой степенью эксцентриситета. Полагая
и используя процедуру факторизации, представим
в форме
![](http://images.astronet.ru/pubd/2002/05/12/0001176736/img65.gif)
![](http://images.astronet.ru/pubd/2002/05/12/0001176736/img66.gif)
![](http://images.astronet.ru/pubd/2002/05/12/0001176736/img67.gif)
![](http://images.astronet.ru/pubd/2002/05/12/0001176736/img68.gif)
![](http://images.astronet.ru/pubd/2002/05/12/0001176736/img69.gif)
![](http://images.astronet.ru/pubd/2002/05/12/0001176736/img70.gif)
![](http://images.astronet.ru/pubd/2002/05/12/0001176736/img64.gif)
![](http://images.astronet.ru/pubd/2002/05/12/0001176736/img10.gif)
![](http://images.astronet.ru/pubd/2002/05/12/0001176736/img71.gif)
2. Если исчезают оба эксцентриситета , то
и
![](http://images.astronet.ru/pubd/2002/05/12/0001176736/img74.gif)
![](http://images.astronet.ru/pubd/2002/05/12/0001176736/img72.gif)
![](http://images.astronet.ru/pubd/2002/05/12/0001176736/img10.gif)
![](http://images.astronet.ru/pubd/2002/05/12/0001176736/img75.gif)
Более того, содержит только вторые гармоники
![](http://images.astronet.ru/pubd/2002/05/12/0001176736/img77.gif)
![](http://images.astronet.ru/pubd/2002/05/12/0001176736/img78.gif)
![](http://images.astronet.ru/pubd/2002/05/12/0001176736/img79.gif)
![](http://images.astronet.ru/pubd/2002/05/12/0001176736/img76.gif)
![](http://images.astronet.ru/pubd/2002/05/12/0001176736/img80.gif)
3. Если в компланарном случае орбита - круговая, то
![](http://images.astronet.ru/pubd/2002/05/12/0001176736/img81.gif)
![](http://images.astronet.ru/pubd/2002/05/12/0001176736/img82.gif)
![](http://images.astronet.ru/pubd/2002/05/12/0001176736/img83.gif)
![](http://images.astronet.ru/pubd/2002/05/12/0001176736/img84.gif)
4. Наконец, обращение в нуль обоих эксцентриситетов и взаимного наклона влечет максимально вырожденный случай
![](http://images.astronet.ru/pubd/2002/05/12/0001176736/img85.gif)
![](http://images.astronet.ru/pubd/2002/05/12/0001176736/img7.gif)
![](http://images.astronet.ru/pubd/2002/05/12/0001176736/img86.gif)
![](http://images.astronet.ru/pubd/2002/05/12/0001176736/img87.gif)
![](http://images.astronet.ru/pubd/2002/05/12/0001176736/img88.gif)
![](http://images.astronet.ru/pubd/2002/05/12/0001176736/img88.gif)
![](http://images.astronet.ru/pubd/2002/05/12/0001176736/img89.gif)
![](http://images.astronet.ru/pubd/2002/05/12/0001176736/img88.gif)