Rambler's Top100Astronet    
  по текстам   по ключевым словам   в глоссарии   по сайтам   перевод   по каталогу
 

Геометрия звездного неба

Геометрия звёздного неба

В.Ю. Протасов
Московский Государственный Университет, Механико-математический факультет, Воробьевы Горы, Москва, 119992, e-mail: v-protassov@yandex.ru

Небо над головой - самый древний учебник геометрии. Первые понятия, такие как точка и круг - оттуда. Скорее даже не учебник, а задачник. В котором отсутствует страничка с ответами. Два круга одинакового размера - Солнце и Луна, движутся по небу, каждый со своей скоростью. Остальные объекты - светящиеся точки, движутся все вместе, словно они прикреплены к сфере, вращающейся со скоростью 1 оборот в 24 часа. Правда, среди них есть исключения - 5 точек движутся как им вздумается. Для них подобрали особое слово - "планета", по-гречески - "бродяга". Сколько человечество существует, оно пытается разгадать законы этого вечного движения. Первый прорыв произошел в 3 веке до н.э., когда греческие ученые, взяв на вооружение молодую науку - геометрию, смогли получить первые результаты об устройстве Вселенной. Об этом и пойдет речь. Чтобы иметь некоторое представление о сложности задачи, рассмотрим такой пример. Представим себе светящийся шар диаметром 10 см., неподвижно висящий в пространстве. Назовём его . Вокруг него на расстоянии чуть больше 10 метров обращатся маленький шарик  диаметром 1 миллиметр, а вокруг  на расстоянии  см. обращается совсем крохотный шарик , его диаметр - четверть миллиметра. На поверхности среднего шарика  живут микроскопичекие существа. Они обладают неким разумом, но покидать пределы своего шарика не могут. Все что они могут - смотреть на два других шара - и . Спрашивается, могут ли они узнать диаметры этих шаров, и измерить расстояния до них ? Сколько ни думай, дело, казалось бы, безнадёжное. Мы нарисовали сильно уменьшенную модель Солнечной системы ( - Солнце, - Земля, - Луна). Вот такая задача стояла перед древними астрономами. И они её решили ! Более 22 веков назад, не пользуясь ничем, кроме с самой элементарной геометрии, на уровне 8 класса (свойства прямой и окружности, подобные треугольники и теорема Пифагора). И, конечно, наблюдая за Луной и за Солнцем. Над решением трудились несколько учёных. Мы выделим двух. Это математик Эратосфен, измеривший радиус земного шара, и астроном Аристарх, вычисливший размеры Луны, Солнца и расстояния до них. Как они это сделали ?

I. Как измерили земной шар


Е.Н.Конева, М.В.Перепухов. Через терниии к звездам
То, что Земля не плоская, люди знали давно. Древние мореплаватели наблюдали, как постепенно меняется картина звёздного неба: становятся видны новые созвездия, а другие, напротив, заходят за горизонт. Уплывающие вдаль корабли "уходят под воду", последними скрываются из вида верхушки их мачт. Кто первый высказал идею о шарообразности Земли, неизвестно. Скорее всего - пифагорейцы, считавшие шар совершеннейшей из фигур. Полтора века спустя Аристотель приводит несколько доказательств того, что Земля - шар. Главное из них: во время лунного затмения на поверхности Луны отчётливо видна тень от Земли, и эта тень круглая ! С тех пор постоянно предпринимались попытки измерить радиус земного шара. Два простых способа изложены в упражнениях 1 и 2. Измерения, правда, получались неточными. Аристотель, например, ошибся более, чем в полтора раза. Считается, что первым, кому удалось сделать это с высокой точностью, был греческий математик Эратосфен Киренский (276-194 до н. э.). Его имя теперь всем известно, благодаря решету Эратосфена - способу находить простые числа (рис.1). Если вычеркнуть из натурального ряда единицу, затем вычёркивать все чётные числа, кроме первого (самого числа ), затем все числа, кратные трём, кроме первого из них (числа ), и т.д., то в результате останутся одни простые числа.


Рис. 1.

Для современников Эратосфен был знаменит как крупнейший учёный-энциклопедист, занимавшийся не только математикой, но и географией, картографией и астрономией. Он долгое время возглавлял Александрийскую библиотеку - центр мировой науки того времени. Работая над составлением первого атласа Земли (речь, конечно, шла об известной к тому времени её части), он задумал провести точное измерение земного шара. Идея была такова. В Александрии все знали, что на юге, в городе Сиена (современный Асуан) один день в году, в полдень, Солнце достигает зенита. Исчезает тень от вертикального шеста, на несколько минут освещается дно колодца. Происходит это в день летнего солнцестояния, 22 июня - день наивысшего положения Солнца на небе. Эратосфен направляет своих помощников2 в Сиену, и те устанавливают, что ровно в полдень (по солнечным часам) Солнце находится точно в зените. Одновременно (как написано в первоисточнике: "в тот же час"), т.е., в полдень по солнечным часам, Эратосфен измеряет длину тени от вертикального шеста в Александрии. Получился треугольник ( - шест, - тень, рис.2).

    
Рис. 2.

Итак, солнечный луч в Сиене перпендикулярен поверхности Земли, а значит проходит через её центр - точку . Параллельный ему луч в Александрии составляет угол с вертикалью. Пользуясь равенством накрестлежащих углов при параллельных, заключаем, что . Если обозначить через через длину окружности, а через  длину её дуги , то получаем пропорцию  . Угол  в треугольнике Эратосфен измерил, получилось . Величина  - не что иное, как длина пути от Александрии до Сиены, примерно  км. Её Эратосфен аккуратно вычисляет, исходя из среднего времени движения верблюжьих караванов, регулярно ходивших между двумя городами, а также, используя данные бематистов - людей специальной профессии, измерявших расстояния шагами. Теперь осталось решить пропорцию  , получив длину окружности (т.е., длину земного мередиана)  км. Тогда радиус Земли  равен , это примерно  км. То, что длина земного мередиана выражается столь круглым числом в  км., не удивительно, если вспомнить, что единица длины в 1 метр и была введена (во Франции в конце 18 века), как одна сорокамиллионная часть окружности Земли (по определению !). Эратосфен, конечно, использовал другую единицу измерения - стадий (около 200 м). Стадиев было несколько: египетский, греческий, вавилонский, и каким из них пользовался Эратосфен - неизвестно. Поэтому трудно судить наверняка о точности его измерения. Кроме того, неизбежная ошибка возникала в силу географического положения двух городов. Эратосфен рассуждал так: если города находятся на одном мередиане (т.е., Александрия расположена в точности к северу от Сиены), то полдень в них наступает одновременно. Поэтому, сделав измерения во время наивысшего положения Солнца в каждом городе, мы должны получить правильный результат. Но на самом деле Александрия и Сиена - далеко не на одном мередиане. Сейчас в этом легко убедиться, взглянув на карту, но у Эратосфена такой возможности не было, он как раз и работал над составлением первых карт. Поэтому его метод (абсолютно верный !) привёл к ошибке в определении радиуса Земли. Тем не менее, многие исследователи уверены, что точность измерения Эратосфена была высока, и что он ошибся менее, чем на . Если это так, то улучшить этот результат человечество смогло только через 2 тысячи лет, в середине 19 века. Над этим трудилась группа учёных во Франции и экспедиция В.Я.Струве в России. Даже в эпоху великих географических открытий, в 16 веке, люди не смогли достичь результата Эратосфена, и пользовались неверным значением длины земной окружности в 37.000 км. Ни Колумб, ни Магеллан не знали, каковы истинные размеры Земли, и какие расстояния им придётся преодолевать. Они-то считали, что длина экватора на 3 тысячи км. меньше, чем на самом деле. Знали бы - может и не поплыли бы.

В чем причина столь высокой точности метода Эратосфена (конечно, если он пользовался нужным стадием) ? До него измерения были локальными, на расстояниях, обозримых человеческим глазом, т.е., не более 100 км. Таковы, например, способы в упражнениях 1 и 2. При этом неизбежны ошибки из-за рельефа местности, атмосферных явлений, и т.д. Чтобы добиться большей точности, нужно проводить измерения глобально, на расстояниях, сравнимых с радиусом Земли. Расстояние в км. между Александрией и Сиеной оказалось вполне достаточным.

Упражнение 1. Как вычислить радиус Земли по следующим данным: с горы высотой 500 м. просматриваются окрестности на расстоянии 80 км.?

Упражнение 2. Как вычислить радиус Земли по следующим данным: корабль высотой 20 м., отплыв от берега на 16 км., полностью исчезает из вида ?.

Упражнение 3. Два друга - один в Москве, другой - в Туле, берут по метровому шесту и ставят их вертикально. В момент, в течение дня, когда тень от шеста достигает наименьшей длины, каждый из них измеряет длину тени. В Москве получилось  см., а в Туле -  см. Выразите радиус Земли через и . Города расположены на одном меридиане на расстоянии 185 км.

Как видно из упражнения 3, опыт Эратосфена можно проделать и в наших широтах, где Солнце никогда не бывает в зените. Правда, для этого нужны две точки обязательно на одном мередиане. Если же повторить опыт Эратосфена для Александрии и Сиены, и при этом сделать измерения в этих городах одновременно (сейчас для этого есть технические возможности), то мы получим верный ответ, при этом будет не важно, на каком мередиане находится Сиена (почему ?).

II. Как измерили Луну и Солнце. Три шага Аристарха.


Памятник Аристарху-Самосскому в Салониках
Греческий остров Самос в Эгейском море - теперь глухая провинция. Сорок километров в длину, восемь - в ширину. На этом крохотном острове в разное время родились три величайших гения - математик Пифагор, философ Эпикур и астроном Аристарх. Про жизнь Аристарха Самосского известно мало. Даты жизни приблизительны: родился около 310 до н. э., умер около 230 до н. э. Как он выглядел, мы не знаем, ни одного изображения не сохранилось (современный памятник Аристарху в греческом городе Салоники - лишь фантазия скульптора). Много лет провёл в Александрии, где работал в библиотеке и в обсерватории. Главное его достижение - книга "О величинах и расстояниях Солнца и Луны", по единодушному мнению историков является настоящим научным подвигом. В ней он вычисляет радиус Солнца, радиус Луны и расстояния от Земли до Луны и до Солнца. Сделал он это в одиночку, пользуясь очень простой геометрией и всем известными результатами наблюдений за Солнцем и Луной, тоже вполне элементарными. На этом Аристарх не останавливается, он делает несколько важнейших выводов о строении Вселенной, которые намного опередили своё время. Не случайно его назвали впоследствии "Коперником античности".

Вычисление Аристарха можно условно разбить на три шага. Каждый шаг сводится к простой геометрической задаче. Первые два шага совсем элементарны, третий - чуть посложнее. В геометрических построениях мы будем обозначать через и центы Земли, Солнца и Луны соответственно, а через и - их радиусы. Все небесные тела будем считать шарами, а их орбиты - окружностями, как и считал сам Аристарх (хотя, как мы теперь знаем, это не совсем так). Мы начинаем с первого шага, и для этого немного понаблюдаем за Луной.

Шаг 1. Во сколько раз Солнце дальше, чем Луна ?

Как известно, Луна светит отражённым солнечным светом. Если взять шар, и посветить на него со стороны большим прожектором, то в любом положении освещенной окажется ровно половина поверхности шара. Граница освещённой полусферы - окружность, лежащая в плоскости, перпендикулярной лучам света. Таким образом, Солнце всегда освещает ровно половину поверхности Луны. Видимая нам форма Луны зависит от того, как расположена эта освещённая половина. При новолунии, когда Луна вовсе не видна на небе, Солнце освещает её обратную сторону. Затем освещенная полусфера постепенно поворачивается в сторону Земли. Мы начинаем видеть тонкий серп, затем - месяц ("растущая Луна"), далее - полукруг (эта фаза Луны называется "квадратурой"). Затем день ото дня (вернее, ночь от ночи) полукруг дорастает до полной Луны. Потом начинается обратный процесс: освещённая полусфера от нас отворачивается. Луна "стареет", постепенно превращаясь в месяц, повёрнутый к нам левой стороной, подобно букве "C", и, наконец, в ночь новолуния исчезает. Период от одного новолуния до другого длится примерно четыре недели. За это время Луна совершает полный оборот вокруг Земли. От новолуния до половины Луны проходит четверть периода, отсюда и название "квадратура".


Рис. 3.
Замечательная догадка Аристарха состояла в том, что при квадратуре солнечные лучи, освещающие половину Луны, перпендикулярны прямой, соединяющей Луну с Землёй. Таким образом, в треугольнике угол при вершине - прямой (рис. 3). Если теперь измерить угол  (обозначим его через ), то получим, что . Для простоты мы считаем, что наблюдатель находится в центре Земли. Это несильно повлияет на результат, поскольку расстояние от Земли до Луны и до Солнца значительно превосходит радиус Земли.

Итак, измерив угол между лучами и во время квадратуры, Аристарх вычисляет отношение расстояний до Луны и до Солнца. Как одновременно застать Солнце и Луну на небосводе ? Это можно сделать ранним утром, когда в ясную погоду видны оба небесных тела. Сложность возникает по другому, неожиданному, поводу. Во времена Аристарха не было косинусов. Первые понятия тригонометрии появятся позже, в работах Аполлония и Архимеда. Но Аристарх знал, что такое подобные треугольники, и этого было достаточно. Начертив маленький прямоугольный треугольник с тем же острым углов , и измерив его стороны, получаем, что , и это отношение примерно равно . Получается, что Солнце в 400 раз дальше от Земли, чем Луна. Эту константу - отношение расстояний от Земли до Солнца и от Земли до Луны, мы мы будем обозначать буквой . Итак, мы нашли, что .

Шаг 2. Во сколько раз Солнце больше Луны ?

Для того, чтобы найти отношение радиусов Солнца и Луны, Аристарх привлекает Солнечные затмения (рис.4). Они происходят, когда Луна загораживает Солнце. При частичном, или как говорят астрономы, частном затмении Луна лишь проходит по диску Солнца, не закрывая его полностью. Порой такое затмение даже нельзя разглядеть невооружённым глазом, Солнце светит как в обычный день. Лишь сквозь сильное затемнение, например, закопчёное стекло, видно, как часть солнечного диска закрыта чёрным кругом.


Рис. 4.

Гораздо реже происходит полное затмение, когда Луна на несколько минут полностью закрывает солнечный диск. В это время станов