Больцмана распределение

БОЛЬЦМАНА РАСПРЕДЕЛЕНИЕ - распределение по энергиям частиц (атомов, молекул) идеального газа в условиях термодинамического равновесия. Б. р. было открыто в 1868 - 1871 гг. австр. физиком Л. Больцманом. Согласно Б. р., число частиц n_i с полной энергией e_i равно:

n_i = A w_ie^-ei/kT            (1)

где w_i - статистич. вес (число возможных состояний частицы с энергией e_i). Постоянная А находится из условия, что сумма n_i по всем возможным значениям i равна заданному полному числу частиц N в системе (условие нормировки): . В случае, когда движение частиц подчиняется классич. механике, энергию e_i можно считать состоящей из кинетич. энергии e_{i, кин}  частицы (молекулы или атома), её внутр. энергии e_{i, вн} (напр., энергии возбуждения электронов) и потенциальной энергии e_{i, пот} во внеш. поле, зависящей от положения частицы в пространстве:

e_i = e_{i, кин} + e_{i, вн} + e_{i, пот}            (2)

Распределение частиц по скоростям (Максвелла распределение) явл. частным случаем Б. р. Оно имеет место, когда можно пренебречь внутр. энергией возбуждения e_{i, вн} и влиянием внеш. полей e_{i, пот}. В соответствии с (2) ф-лу (1) можно представить в виде произведения трёх экспонент, каждая из к-рых даёт распределение частиц по одному виду энергии.

В пост. поле тяжести, создающем ускорение g, для частиц атмосферных газов вблизи поверхности Земли (или др. планет) потенц. энергия пропорциональна их массе m и высоте H над поверхностью, т.е. e_{i, пот} = mgH. После подстановки этого значения в Б. р. и суммирования по всевозможным значениям кинетич. и внутр. энергий частиц получается барометрическая формула, выражающая закон уменьшения плотности атмосферы с высотой.

В астрофизике, особенно в теории звёздных спектров, Б. р. часто используется для определения относительной заселённости электронами различных уровней энергии атомов. Если обозначить индексами 1 и 2 два энергетич. состояния атома, то из Б. р. следует:

n₂/n₁ = (w₂/w₁)e^-(e2-e1)/kT            (3)

(ф-ла Больцмана). Разность энергий e₂-e₁ для двух нижних уровней энергии атома водорода >10 эВ, а значение kT, характеризующее энергию теплового движения частиц для атмосфер звёзд типа Солнца, составляет всего лишь 0,3-1 эВ. Поэтому водород в таких звёздных атмосферах находится в невозбуждённом состоянии. Так, в атмосферах звёзд, имеющих эффективную температуру Т_э > 5700 К (Солнце и др. звёзды спектральных классов G2 п G3), отношение чисел атомов водорода во втором и осн. состояниях равно 4,2^.10^-9.

Б. р. было получено в рамках классич. статистики. В 1924-26 гг. была создана квантовая статистика. Она привела к открытию распределений Бозе - Эйнштейна (для частиц с целым спином) и Ферми - Дирака (для частиц с полуцелым спином). Оба эти распределения переходят в Б. р., когда ср. число доступных для системы квантовых состояний значительно превышает число частиц в системе, т. о. когда на одну частицу приходится много квантовых состояний или, др. словами, когда степень заполнения квантовых состояний мала. Условие применимости Б. р. можно записать в виде неравенства:

<1 (4)

где N - число частиц, V - объём системы. Неравенство (4) выполняется при высокой темп-ре и малом числе частиц в ед. объёма (N/V). Из (4) следует, что чем больше масса частиц, тем для более широкого интервала изменений Т п N/V справедливо Б. р. Напр., внутри белых карликов неравенство (4) нарушается для электронного газа, и поэтому его св-ва следует описывать с помощью распределения Ферми - Дирака. Однако ф-ла (4), а с ней и Б. р. остаются справедливыми для ионной составляющей вещества. В случае газа, состоящего из частиц с нулевой массой покоя (напр., газа фотонов), неравенство (4) не выполняется ни при каких значениях Т и N/V. Поэтому равновесное излучение описывается Планка законом излучения, к-рый явл. частным случаем распределения Бозе - Эйнштейна.

(Д.К. Надёжин)