Астронет > Колебания и волны

по текстам по ключевым словам в глоссарии по сайтам перевод по каталогу

Колебания и волны. Лекции.

В.А.Алешкевич, Л.Г.Деденко, В.А.Караваев (Физический факультет МГУ)
Издательство Физического факультета МГУ, 2001 г. Содержание

При анализе зависимости скорости от волнового числа, изображенной на рис. 6.4, возникает вопрос: до какой величины падает скорость c при увеличении волнового числа $k$ (или уменьшении длины волны). Опыт показывает, что с уменьшением длины волны скорость достигает минимума, а затем начинает возрастать. Это связано с тем, что при малом радиусе $R$ кривизны поверхности $(R\sim \lambda )$ начинают играть заметную роль силы поверхностного натяжения. Под их действием поверхность воды стремится уменьшить свою площадь. Ситуация напоминает рассмотренную ранее, в случае с натянутым резиновым шнуром. Такие волны называются капиллярными.

Если при увеличении натяжения шнура скорость распространения по нему волн возрастала, то при усилении роли поверхностного натяжения (уменьшении $\lambda \sim R$ ) скорость капиллярных волн должна также увеличиваться. Известно, что давление под искривленной цилиндрической поверхностью $p\sim {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle \sigma }}{\displaystyle {\displaystyle R}}},$ где $\sigma$ - коэффициент поверхностного натяжения. Если приближенно считать, что $\lambda = 2\pi R,$ то по аналогии с формулой для скорости звука в газе (при $\gamma = 1$ ) можно оценить фазовую скорость таких волн:

$c_{к} = {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle \omega }}{\displaystyle {\displaystyle k}}} = \sqrt {\displaystyle {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle p}}{\displaystyle {\displaystyle \rho }}}} = \sqrt {\displaystyle {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle \sigma }}{\displaystyle {\displaystyle \rho }}}k}.$

(6.29)

Расчет показывает, что формула (6.29) для капиллярных волн глубокой воды оказывается точной. Учет конечности глубины водоема дает для этих волн результат, аналогичный полученному выше для гравитационных волн: в формуле (6.29) под корнем дополнительно появляется множитель ${\displaystyle \rm th}\;(kH).$

Капиллярные волны также испытывают дисперсию, однако, в отличие от гравитационных, их фазовая скорость возрастает с увеличением волнового числа $k,$ т.е. с уменьшением $\lambda.$ Полезно записать дисперсионное соотношение (6.29) в виде:

$\omega ^{2} = {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle \sigma }}{\displaystyle {\displaystyle \rho }}}k^{3}.$

(6.30)

Как следует из этого соотношения, групповая скорость $u_{к}$ капиллярных волн глубокой воды больше их фазовой скорости $c_{к}$ в полтора раза: $u_{кап} = {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle d\omega }}{\displaystyle {\displaystyle dk}}} = {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle 3}}{\displaystyle {\displaystyle 2}}}\sqrt {\displaystyle {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle \sigma }}{\displaystyle {\displaystyle \rho }}}k} = {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle 3}}{\displaystyle {\displaystyle 2}}}c_{кап},$ тогда как для гравитационных волн (см. (6.21)) $u_{гр} = {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle 1}}{\displaystyle {\displaystyle 2}}}\sqrt {\displaystyle {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle g}}{\displaystyle {\displaystyle k}}}} = {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle 1}}{\displaystyle {\displaystyle 2}}}c_{гр},$ т.е. групповая скорость вдвое меньше фазовой. Различие групповой и фазовой скоростей капиллярных волн хорошо заметно на поверхности воды при порывах ветра: видно, что мелкая рябь внутри группы волн движется медленнее, чем весь волновой пакет.

Если бы мы с самого начала при рассмотрении поверхностных волн учли как действие силы тяжести, так и поверхностное натяжение, мы бы получили для волн глубокой воды одно дисперсионное соотношение, из которого формулы (6.21) и (6.30) получились бы предельными переходами в области малых и больших $k$ .

Для волновых чисел $k \gg H^{ - 1}$ мы можем объединить (6.21) и (6.30) следующим образом:

$\omega = \sqrt {\displaystyle gk + {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle \sigma }}{\displaystyle {\displaystyle \rho }}}k^{3}}.$

(6.31)

Отсюда скорость гравитационно-капиллярных волн глубокой воды получается равной

$c = {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle \omega }}{\displaystyle {\displaystyle k}}} = \sqrt {\displaystyle {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle g}}{\displaystyle {\displaystyle k}}} + {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle \sigma }}{\displaystyle {\displaystyle \rho }}}k}.$

(6.32)

Для волновых чисел $k \ll H^{ - 1}$ (волны мелкой воды) в соответствии с (6.22) скорость стремится к значению $c_{0} = \sqrt {\displaystyle gH},$ а для произвольных значений $k$ в соответствии с (6.20) можно записать выражение для скорости волн следующим образом:

$c = \sqrt {\displaystyle \left( {\displaystyle {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle g}}{\displaystyle {\displaystyle k}}} + {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle \sigma }}{\displaystyle {\displaystyle \rho }}}k} \right)\,th(kH)}.$

(6.33)

Зависимость (6.33) скорости c от волнового числа $k$ показана на рис. 6.7. Видно, что скорость достигает минимальной величины. В соответствии с (6.32) это происходит при $g/k_{мин} = \sigma k_{мин}/\rho,$ откуда $k_{мин} = \sqrt {\displaystyle {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle g\rho }}{\displaystyle {\displaystyle \sigma }}}}.$ Следовательно,

$c_{мин} = \sqrt[{\displaystyle 4}]{\displaystyle {\displaystyle {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle \sigma g}}{\displaystyle {\displaystyle \rho }}}}} \cdot \sqrt {\displaystyle 2}.$

(6.34)

Для воды $\sigma = 0,073 Н/м,\; c_{мин} \approx 23,2 см/с,\; \lambda _{мин} = 2\pi /k_{мин} \approx 1,73 см.$

Рис. 6.7.

Таким образом, на поверхности воды не могут существовать волны, распространяющиеся со скоростью меньше 23 см/с!

Капиллярные волны часто используются для определения коэффициента поверхностного натяжения жидкостей.

Волны цунами.

Кроме волн, генерируемых ветром, существуют очень длинные волны, возникающие во время подводных землетрясений, или моретрясений. Наиболее часто такие землетрясения происходят на дне Тихого океана, вдоль длинных цепей Курильских и Японских островов. Громадные волны, возникающие при мощном толчке, имеют высоту $s_{0} \sim 10 - 15 м$ и $\lambda \sim 10^{3} км.$ Достигая берега, они смывают не только города и деревни, но и растительность вместе с почвой. Большие бедствия они причиняют населению Японии, которое дало им название "цунами" (по-японски - "большая волна в гавани").

Интересны сведения о величинах деформаций дна океана во время землетрясений. В 1922 году японские гидрографы сделали промеры глубин в заливе Сагами, недалеко от Токио, а через год - 1 сентября 1923 года - там произошло катастрофическое землетрясение. Повторный промер глубин после землетрясения показал, что изменения рельефа дна произошли на площади около 150 км², при этом одни части дна поднялись местами на 230 м, а другие опустились до 400 м. Поднявшаяся часть дна вытолкнула громадный объем воды, который по оценкам составил величину $V\sim 23 км^{3}.$ В результате такого толчка образовался огромный водяной холм (уединенная волна), который при распространении вызвал подъем уровня воды у берегов Японии в разных местах от 3,3 до 10 м.

Внутренние гравитационные и иные волны.

Наряду с поверхностными гравитационными и капиллярными волнами в океане существует множество других видов волн, которые играют важную роль в динамике океана. Океан, в отличие от идеальной жидкости, стратифицирован - то есть его воды не являются однородными, а изменяются по плотности с глубиной. Это распределение обусловлено потоками энергии (тепла) и вещества. В упрощенном виде океан можно представить состоящим из двух слоев воды: сверху лежит более легкая (теплая или менее соленая), снизу - более плотная (более соленая или холодная). Подобно тому как поверхностные волны существуют на границе вода-воздух, на границе раздела вод разной плотности будут существовать внутренние гравитационные волны. Амплитуда волн этого типа в океане может достигать сотни метров, длина волны - многих километров, но колебания водной поверхности при этом ничтожны. Внутренние волны проявляются на поверхности океана, воздействуя на характеристики поверхностных волн, перераспределяя поверхностно-активные вещества. По этим проявлениям они и могут быть обнаружены на поверхности океана. Так как поверхностные гравитационно-капиллярные волны и поверхностно-активные вещества сильно влияют на коэффициент отражения электромагнитных, в том числе световых волн, внутренние волны хорошо обнаруживаются дистанционными методами, например, они видны из космоса. Внутренние волны по сравнению с обычными поверхностными гравитационными волнами обладают рядом удивительных свойств. Например, групповая скорость внутренних волн перпендикулярна фазовой, угол отражения внутренних волн от откоса не равен углу падения.

При рассмотрении крупномасштабных явлений в Мировом океане необходимо учитывать эффекты вращения Земли, изменение глубины и наличие боковых границ. Сила Кориолиса является причиной возникновения инерционных, или гироскопических волн. Изменения потенциальной завихренности вследствие изменения географической широты и глубины океана обуславливают возникновение планетарных волн Россби. Боковые границы и изменение глубины на шельфе приводят к существованию нескольких типов береговых захваченных волн - шельфовых, краевых, Кельвина, топографических волн Россби.

Крупномасштабные волны типа волн Россби, Кельвина и др. оказывают существенное влияние на термогидродинамику океана, взаимодействие атмосферы и океана, климат и погоду. Свойства многих из этих волн существенно отличаются от свойств поверхностных гравитационных волн. Например, волны Кельвина локализованы в узкой шельфовой зоне, распространяются в северном полушарии вдоль берега против часовой стрелки. Экваториальные волны Россби, имея пространственные масштабы в сотни километров, локализуются вдоль экватора и проявляются не в изменении уровня, а прежде всего в форме вихревых течений.

Назад| Вперед

Публикации с ключевыми словами: колебания - волны Публикации со словами: колебания - волны
См. также: Эхо из глубин красного гиганта

Обсудить эту публикацию

Версия для печати

Астрометрия - Астрономические инструменты - Астрономическое образование - Астрофизика - История астрономии - Космонавтика, исследование космоса - Любительская астрономия - Планеты и Солнечная система - Солнце

Колебания и волны. Лекции.

Капиллярные волны.

Волны цунами.

Внутренние гравитационные и иные волны.