Астронет > Колебания и волны

по текстам по ключевым словам в глоссарии по сайтам перевод по каталогу

Колебания и волны. Лекции.

В.А.Алешкевич, Л.Г.Деденко, В.А.Караваев (Физический факультет МГУ)
Издательство Физического факультета МГУ, 2001 г. Содержание

Волны на поверхности жидкости. Гравитационные волны. Капиллярные волны. Цунами. Внутренние волны. Акустические волны большой амплитуды. Линейный и нелинейный режимы распространения. Уединенные волны (солитоны).

Волны на поверхности жидкости. Гравитационные волны.

Многие из нас могут долго любоваться поверхностью моря или реки, по которой перекатываются волны. Рожденные ветром, они распространяются затем за счет силы тяжести. Такие волны называются гравитационными. Частицы воды совершают в них движение по круговым и эллиптическим траекториям ("вверх - вниз" и "вперед - назад" одновременно), поэтому такие волны (как и волны Лява) нельзя отнести ни к продольным, ни к поперечным. Гравитационные волны обладают рядом удивительных свойств, к анализу которых мы и приступим.

Пусть по поверхности водоема глубиной $H$ распространяется вдоль оси Ox поверхностная гармоническая волна

$s(x,t) = s_{0} \sin (\omega t - kx),$

(6.1)

где $s$ - смещение поверхности воды вверх от равновесного горизонтального положения, отмеченного на рис. 6.1 пунктиром. Будем считать, что $| s| \ll H.$

Рис. 6.1.

Предположим, что давление жидкости на глубине $z$ равно:

$p(z,x,t) = \rho gz + \delta p(z,x,t),$

(6.2)

где $\delta p$ - добавка к гидростатическому давлению $\rho gz,$ обусловленная волновым движением поверхности. Сделаем также предположение, что

$\delta p(z,x,t) = f(z)\rho gs(x,t).$

(6.3)

Выражение (6.3) записано в приближении, что возмущение давления вблизи поверхности $(z \to 0)$ определяется дополнительным гидростатическим давлением $\rho gs,$ связанным с изменением уровня жидкости при распространении волны:

$\delta p(0,x,t) = \rho gs(x,t),$

(6.4)

причем с глубиной это возмущение должно убывать. Следовательно, функция $f(z)$ с ростом $z$ также должна убывать, при этом $f(0) = 1.$ Позже мы докажем, что представление возмущения давления в виде (6.3) оправданно.

Для описания волнового движения жидкости нам необходимо, во-первых, для заданной частоты $\omega$ найти $k,$ то есть установить дисперсионную зависимость $\omega = \omega (k)$ и, во-вторых, определить вид функции $f(z).$ Это можно сделать, если с учетом (6.2) записать уравнения Эйлера для движения несжимаемой и невязкой жидкости в плоскости XOZ (см. уравнение (3.30) в лекции по гидродинамике):

$\begin{array}{l} \rho \left( {\displaystyle {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle \partial v_{x} }}{\displaystyle {\displaystyle \partial t}}} + v_{x} {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle \partial v_{x} }}{\displaystyle {\displaystyle \partial x}}} + v_{z} {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle \partial v_{x} }}{\displaystyle {\displaystyle \partial z}}}} \right) = - {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle \partial \delta p}}{\displaystyle {\displaystyle \partial x}}}; \\ \rho \left( {\displaystyle {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle \partial v_{z} }}{\displaystyle {\displaystyle \partial t}}} + v_{x} {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle \partial v_{z} }}{\displaystyle {\displaystyle \partial x}}} + v_{z} {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle \partial v_{z} }}{\displaystyle {\displaystyle \partial z}}}} \right) = - {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle \partial \delta p}}{\displaystyle {\displaystyle \partial z}}}. \\ \end{array}$

(6.5)

При записи (6.5) мы предполагаем, что движение частиц по оси Oy отсутствует. Учтем далее, что членами $v_{x} {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle \partial v_{x} }}{\displaystyle {\displaystyle \partial x}}}, v_{z} {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle \partial v_{z} }}{\displaystyle {\displaystyle \partial z}}}, v_{x} {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle \partial v_{z} }}{\displaystyle {\displaystyle \partial x}}}$ и $v_{z} {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle \partial v_{z} }}{\displaystyle {\displaystyle \partial z}}}$ в силу их малости можно пренебречь. Тогда получаем

$\begin{array}{l} \rho {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle \partial v_{x} }}{\displaystyle {\displaystyle \partial t}}} = - {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle \partial \delta p}}{\displaystyle {\displaystyle \partial x}}}; \\ \rho {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle \partial v_{z} }}{\displaystyle {\displaystyle \partial t}}} = - {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle \partial \delta p}}{\displaystyle {\displaystyle \partial z}}}. \\ \end{array}$

(6.6)

Эти уравнения дополним условием несжимаемости:

${\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle \partial v_{x} }}{\displaystyle {\displaystyle \partial x}}} + {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle \partial v_{z} }}{\displaystyle {\displaystyle \partial z}}} = 0.$

(6.7)

Уравнения (6.6) и (6.7) при заданных граничных условиях дают возможность рассчитать $v_{z}, v_{x}$ и $\delta p$ и, тем самым, получить решение задачи о движении жидкости, включая движение ее поверхности.

Продифференцируем первое из уравнений (6.6) по $х,$ а второе - по $z$ :

$\begin{array}{l} \rho {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle \partial }}{\displaystyle {\displaystyle \partial t}}}{\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle \partial v_{x} }}{\displaystyle {\displaystyle \partial x}}} = - {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle \partial ^{2}\delta p}}{\displaystyle {\displaystyle \partial x^{2}}}}; \\ \rho {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle \partial }}{\displaystyle {\displaystyle \partial t}}}{\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle \partial v_{z} }}{\displaystyle {\displaystyle \partial z}}} = - {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle \partial ^{2}\delta p}}{\displaystyle {\displaystyle \partial z^{2}}}}. \\ \end{array}$

(6.8)

В левых частях этой системы уравнений изменен порядок дифференцирования.

Сложим теперь уравнения (6.8). Тогда с учетом (6.7) можем записать:

$\rho {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle \partial }}{\displaystyle {\displaystyle \partial t}}}\left( {\displaystyle {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle \partial v_{x} }}{\displaystyle {\displaystyle \partial x}}} + {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle \partial v_{z} }}{\displaystyle {\displaystyle \partial z}}}} \right) = - \left( {\displaystyle {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle \partial ^{2}\delta p}}{\displaystyle {\displaystyle \partial x^{2}}}} + {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle \partial ^{2}\delta p}}{\displaystyle {\displaystyle \partial z^{2}}}}} \right) = 0.$

(6.9)

Уравнение

${\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle \partial ^{2}\delta p}}{\displaystyle {\displaystyle \partial x^{2}}}} + {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle \partial ^{2}\delta p}}{\displaystyle {\displaystyle \partial z^{2}}}} = 0$

(6.10)

является знаменитым уравнением Лапласа, используемым во многих разделах физики. Поэтому его решение хорошо известно.

На поверхности водоема при $z = 0$ граничным условием является равенство (6.4), а на дне при $z = H$ должно выполняться условие $v_{z} = 0,$ из которого с учетом второго уравнения (6.6) получаем:

${\displaystyle \left. {\displaystyle {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle \partial \delta p}}{\displaystyle {\displaystyle \partial z}}}} \right|}_{z = H} = 0.$

(6.11)

Подставим далее (6.3) в (6.10) и учтем, что ${\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle \partial ^{2}\delta p}}{\displaystyle {\displaystyle \partial x^{2}}}} = - k^{2}\delta p.$

Тогда (6.10) примет вид:

${\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle d^{2}f}}{\displaystyle {\displaystyle dz^{2}}}} - k^{2}f = 0.$

(6.12)

С методом решения таких уравнений мы познакомились в лекциях по колебаниям. Используя подстановку $f(z) = Ae^{\lambda z},$ получаем характеристическое уравнение $\lambda ^{2} - k^{2} = 0,$ откуда $\lambda _{1,2} = \pm k,$ и общее решение (6.12) может быть записано в виде функции:

$f(z) = Ae^{kz} + Be^{ - kz},$

(6.13)

при этом граничные условия для $f(z)$ следующие:

$f(0) = 1; {\displaystyle \left. {\displaystyle {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle df}}{\displaystyle {\displaystyle dz}}}} \right|}_{z = H} = 0.$

(6.14)

Подставляя (6.13) в (6.14), получаем:

$\begin{array}{l} A + B = 1; \\ Ae^{kH} - Be^{ - kH} = 0. \\ \end{array}$

(6.15)

Отсюда

$f(z) = {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle {\displaystyle \rm ch}\;{\displaystyle \left[ {\displaystyle k(z - H)} \right]}}}{\displaystyle {\displaystyle ch(kH)}}},$

(6.16)

где функция ${\displaystyle \rm ch}\;\alpha = {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle 1}}{\displaystyle {\displaystyle 2}}}(e^{\alpha } + e^{ - \alpha })$ -гиперболический косинус.

График функции $f(z)$ изображен на рис. 6.2. Теперь осталось только определить волновое число $k,$ входящее в (6.1) и (6.3). Это можно сделать, если сначала из (6.1) найти вертикальное ускорение частицы на поверхности жидкости. При этом надо учесть, что положительные значения $v_{z}$ соответствуют уменьшению $s$ :

${\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle \partial v_{z} }}{\displaystyle {\displaystyle \partial t}}} = - {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle \partial ^{2}s}}{\displaystyle {\displaystyle \partial t^{2}}}} = s_{0} \omega ^{2}\sin (\omega t - kx) = \omega ^{2}s(x,t).$

(6.17)

Рис. 6.2.

Подставим (6.17) в левую часть второго уравнения (6.6), а правую часть этого уравнения запишем, используя представление (6.3). Тогда получим

$\rho \omega ^{2}s = - \rho gs{\displaystyle \left. {\displaystyle {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle df}}{\displaystyle {\displaystyle dz}}}} \right|}_{z = 0} = \rho gs{\displaystyle \kern 1pt} k{\displaystyle \kern 1pt} {\displaystyle \rm th}\;(kH).$

(6.18)

В (6.18) учтено, что $({\displaystyle \rm ch}\;\alpha )' = {\displaystyle \rm sh}\;\alpha,\; {\displaystyle \rm th}\;\alpha = {\displaystyle \rm sh}\;\alpha / {\displaystyle \rm ch}\;\alpha.$ Поэтому дисперсионное соотношение получается в виде:

$\omega = \sqrt {\displaystyle gH} \cdot k \cdot \left( {\displaystyle {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle {\displaystyle \rm th}\;(kH)}}{\displaystyle {\displaystyle kH}}}} \right)^{1 / 2}.$

(6.19)

Обозначим $c_{0} = \sqrt {\displaystyle gH}.$ Тогда

$\omega = c_{0} \cdot k\left( {\displaystyle {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle {\displaystyle \rm th}\;(kH)}}{\displaystyle {\displaystyle kH}}}} \right)^{1 / 2}.$

(6.20)

На рис. 6.3 эта зависимость изображена сплошной линией, а пунктиром показана прямая $\omega = c_{0} k.$ Фазовая скорость волны $c = \omega / k$ как функция волнового числа показана на рис. 6.4.


Рис. 6.3.	Рис. 6.4.

Таким образом, поверхностные гравитационные волны подвержены сильной дисперсии. Эффект дисперсии ярко выражен у океанских волн, зарождающихся в удаленных штормовых районах. Поскольку длинные волны (с меньшим $k$ ) движутся быстрее, чем короткие, то они приходят к берегам раньше коротких на 1-2 дня.

Эффект дисперсии может использоваться при определении места возникновения волн, прошедших до точки наблюдения чрезвычайно большие расстояния. Расстояние от штормового района до места, где волны фиксируют, подсчитывается по разности времен прибытия волн разной длины волны и, следовательно, разной частоты. Преобладающая частота прибывающих волн растет во времени, а длина пройденного пути находится по скорости изменения частоты. Так, по оценке, один из пакетов волн, наблюдавшихся в северной части Тихого океана, прошел половину окружности земного шара от Индийского океана по дуге большого круга, проходящей южнее Австралии.

Реальные волны, как уже говорилось раньше, представляют собой суперпозицию волн, или волновые пакеты, которые движутся с групповой скоростью $u = d\omega / dk.$ Скорость $u$ группы меньше, чем скорости $c = \omega / k$ каждой из волн в группе. Если рассматривать отдельную волну, то можно видеть, что она перемещается быстрее, чем группа. При достижении фронта группы она затухает, а ее место занимают волны, догоняющие группу с тыла.

Фазовая скорость волны c, как следует из (6.20), зависит от параметра $kH = 2\pi H / \lambda.$ Поэтому различают волны глубокой и мелкой воды.

Назад| Вперед

Публикации с ключевыми словами: колебания - волны Публикации со словами: колебания - волны
См. также: Эхо из глубин красного гиганта

Обсудить эту публикацию

Версия для печати

Астрометрия - Астрономические инструменты - Астрономическое образование - Астрофизика - История астрономии - Космонавтика, исследование космоса - Любительская астрономия - Планеты и Солнечная система - Солнце

Колебания и волны. Лекции.

Лекция 6

Волны на поверхности жидкости. Гравитационные волны.