Астронет > Колебания и волны

по текстам по ключевым словам в глоссарии по сайтам перевод по каталогу

Колебания и волны. Лекции.

В.А.Алешкевич, Л.Г.Деденко, В.А.Караваев (Физический факультет МГУ)
Издательство Физического факультета МГУ, 2001 г. Содержание

Акустические фононы. Объемные сейсмические волны. Современная модель Земли. Волны Рэлея и Лява. Волны в жидкостях и газах. Звук. Интенсивность звука. Поглощение звука. Излучатели звука. Применение акустических методов. Основные характеристики звука. Закон Вебера-Фехнера. Диаграмма слуха. Акустические резонаторы. Музыкальные инструменты. Эффект Доплера и бинауральный эффект. Интерференция и дифракция волн.

Тепловые колебания кристаллической решетки твердых тел. Акустические фононы.

В твердом теле ионы совершают тепловые колебания около положений равновесия в узлах кристаллической решетки. Поскольку они взаимодействуют друг с другом, то система ионов должна рассматриваться как совокупность связанных осцилляторов. Такие тепловые колебания ионов можно представить в виде суперпозиции стоячих звуковых волн, частоты которых $\omega$ лежат в диапазоне $0 \lt \omega \le \omega _{N},$ где $\omega _{N}$ - максимальная частота колебаний, обусловленная дискретностью среды (см. предыдущую лекцию).

При нагревании кристалла энергия тепловых колебаний увеличивается. Естественно, что информацию об этих колебаниях можно получить, измеряя теплоемкость кристаллов.

Если каждый ион рассматривать как классический осциллятор, колеблющийся в трех взаимно перпендикулярных направлениях, то, в соответствии с теоремой о равнораспределении энергии по степеням свободы, он обладал бы энергией $\varepsilon _{1} = 6kT / 2,$ где $k$ - постоянная Больцмана, а $T$ - абсолютная температура. Здесь учтено, что колеблющийся ион обладает средней кинетической и равной ей средней потенциальной энергией $kT/2$ по каждой из трех степеней свободы. Поскольку энергия кристалла, состоящего из $N$ атомов, $U = N\varepsilon _{1} = 3NkT,$ то его теплоемкость при постоянном объеме равна:

$c_{V} = \left( {\displaystyle {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle \partial U}}{\displaystyle {\displaystyle \partial T}}}} \right)_{V} = 3Nk$

(5.1)

и не зависит от температуры (закон Дюлонга и Пти).

Между тем, формула (5.1) согласуется с экспериментом лишь при высоких температурах, а при приближении температуры к абсолютному нулю, как показывает опыт, $c_{V} \sim T^{3}.$

Чтобы объяснить такое поведение теплоемкости, А. Эйнштейн предложил рассматривать ионы как независимые осцилляторы, обладающие дискретным набором значений энергии. Ранее подобная идея была высказана М. Планком при выводе формулы для теплового излучения твердого тела. Однако, А. Эйнштейну не удалось получить закон $T^{3}.$

На самом деле, как уже говорилось, тепловые колебания ионов могут быть представлены как суперпозиция нормальных колебаний, или мод системы связанных осцилляторов. Каждая мода частоты $\omega$ обладает энергией, кратной $\hbar \omega,$ где $\hbar = h / 2\pi$ ( $h = 6,67 \cdot 10^{ - 34} Дж/с$ - постоянная Планка).

Если принять во внимание, что в твердом теле возможно распространение продольной волны частоты $\omega$ и двух поперечных волн той же частоты, имеющих два различных взаимно перпендикулярных направления смещения атомов (две различные поляризации), то с учетом размеров кристалла и его дискретной структуры можно подсчитать число мод в кристалле. Такой подсчет был впервые выполнен П. Дебаем, и поэтому эти волны получили название дебаевских.

Следует подчеркнуть, что, в отличие от классического представления, при вычислении энергии кристалла мода представляется как квантовый объект, обладающий дискретным набором значений энергии (набором энергетических уровней)

$\varepsilon _{n} = n\hbar \omega,$

(5.2)

где $n$ - целое число.

При термодинамическом равновесии вероятность $\cal P}_{n$ возбуждения моды убывает по мере увеличения её энергии $\varepsilon _{n}$ (или числа $n$ ) в соответствии с распределением Больцмана: ${\displaystyle \cal P}_{n} \sim e^{ - n\hbar \omega / kT}.$ При нагревании кристалла вероятность $\cal P}_{n$ растет, а значит увеличивается и запасенная кристаллом энергия. При подсчете последней Дебаем была введена характерная температура (температура Дебая) $\theta _{Д}$ с помощью равенства

$k\theta _{Д} = \hbar \omega _{N}.$

(5.3)

Обычно $\theta _{Д}$ лежит в интервале $(10^{2}\div 10^{3}) К.$ При $T \gg \theta _{Д}$ справедлив закон Дюлонга и Пти, а при $T \ll \theta _{Д}$ теплоемкость $c_{V} \sim T^{3}.$

Соотношение (5.2) для энергии колебаний в моде частоты $\omega$ аналогично выражению для энергии фотонов (квантов света). Это позволяет рассматривать моду как квазичастицу, называемую тепловым фононом. Введение этого нового понятия является весьма плодотворным и, с математической точки зрения, значительно облегчает анализ тепловых колебаний кристаллической решетки. Представление о фононном газе в твердом теле широко используется при описании таких свойств, как теплоемкость, теплопроводность, тепловое расширение, электрическое сопротивление и др. В физике используются и другие квазичастицы: плазмон (волна электронной плотности), магнон (волна перемагничивания), полярон (электрон + упругая деформация), экситон (волна поляризации среды). Эти квазичастицы являются модами соответствующих колебаний.

Объемные сейсмические волны.

Чрезвычайно важным примером волн в упругом твердом теле являются сейсмические волны, возникающие в ограниченной области пространства (очаге) размером в несколько километров и распространяющиеся на огромные расстояния под поверхностью Земли. Эти волны бывают поперечными (волны сдвига) и продольными (сжатия и разрежения) и могут пронизывать всю нашу планету. Это позволяет (подобно рентгеновскому анализу) исследовать внутреннее строение Земли. Этим занимается отдельная наука, называемая сейсмологией. Долгое время сейсмология, одним из основателей которой является русский физик Б.Б. Голицын, была наукой о землетрясениях и сейсмических волнах. В настоящее время сейсмология занимается анализом разнообразных движений в земной толще.

Скорость продольных волн приблизительно в 1,7 раза больше скорости поперечных, поэтому эти волны регистрируются на сейсмограммах последовательно: вначале приходят более быстрые продольные (первичные), которые называются р-волнами, а потом поперечные (вторичные), называемые s-волнами. Кроме того, сейсмографы регистрируют и заметный фон, или шумы, связанные как с работой промышленных установок и транспорта, так и с сейсмическими волнами (микросейсмами), генерируемыми штормами и волнением в океанах.

Если бы скорости р- и s-волн в Земле не менялись бы с глубиной, то волны распространялись бы по прямым линиям (прямым сейсмическим лучам). В действительности скорости продольной $c_{p}$ и поперечной $c_{s}$ волн возрастают с погружением в недра Земли, за исключением небольшой зоны на глубинах 50-250 км. Поэтому сейсмические лучи искривляются. В сейсмологии экспериментально определяют годограф - время $\tau$ пробега сейсмических волн как функцию эпицентрального расстояния $\Delta$ (расстояния в градусах или километрах по дуге большого круга между эпицентром и приемником волн; $1^\circ = 111 км$ ). Ясно, что функция $\tau = \tau (\Delta )$ связана с распределением скорости волны $c(\ell )$ ( $\ell$ - глубина), и поиск этого распределения представляет интерес при исследовании внутреннего строения Земли.

На рис. 5.1 показаны пути p-волн и указано время их распространения в недрах Земли от эпицентра Э до установленного на поверхности приемника. Прерывистые линии (изохроны) указывают время прихода p-волн в различные точки земной поверхности. Из-за искривления лучей волны не попадают в обширную зону тени.

Рис. 5.1.

Исследование зависимости скоростей $c_{p} (\ell )$ и $c_{s} (\ell )$ от глубины позволило сделать вывод, что Земля разделяется на три основные части: кору, мантию и ядро. Кора отделена от мантии резкой сейсмической границей, на которой скачкообразно возрастают плотность $\rho$ и скорости $c_{p}$ и $c_{s}.$ Эта граница была открыта в 1909 г. югославским сейсмологом Мохоровичичем и носит название границы М. Толщина лежащей выше границы М земной коры меняется от величины $\approx 10 км$ ( под слоем воды в океанических областях) до нескольких десятков километров в горных районах континентальных областей. Ниже коры в интервале до глубин ~ 2900 км расположена силикатная оболочка, или мантия Земли. Существование ядра с плотностью, превосходящей среднюю плотность Земли ~ 5,5 г/см^³, следует из того факта, что плотность земной коры (от ~ 2,8 г/см³ у гранитов до ~ 3,0 г/см³ у базальтов) существенно меньше этой средней плотности.

На рис. 5.2 показаны глубинные зависимости скоростей р- и s-волн и на базе этих зависимостей проведено разбиение Земли на три области. Такая модель Земли называется классической моделью Джеффриса-Гутенберга. Она оставалась неизменной до конца 60-х годов ХХ века. Особенности изменения скоростей волн с глубиной связаны с изменением структуры земных пород. При переходе от коры (граниты, базальты) к мантии (ультраосновные горные породы) скорости возрастают. Увеличение скоростей при приближении к ядру связано с наличием фазовых переходов минералов в более плотные и жесткие в механическом отношении кристаллические модификации. Падение скорости р-волн при переходе из мантии в ядро есть следствие того, что внешняя часть ядра жидкая. Ядро состоит в основном из железа и небольшой примеси легких элементов. Во внешнем ядре плавное возрастание скорости $c_{p}$ связано с нарастанием давления к центру Земли. Во внутреннем ядре скорость p-волн не меняется, так как давление к центру Земли возрастает незначительно. Естественно, что поперечные s-волны во внешней (жидкой) части ядра распространяться не могут.

Рис. 5.2.

Назад| Вперед

Публикации с ключевыми словами: колебания - волны Публикации со словами: колебания - волны
См. также: Эхо из глубин красного гиганта

Обсудить эту публикацию

Версия для печати

Астрометрия - Астрономические инструменты - Астрономическое образование - Астрофизика - История астрономии - Космонавтика, исследование космоса - Любительская астрономия - Планеты и Солнечная система - Солнце

Колебания и волны. Лекции.

Лекция 5

Тепловые колебания кристаллической решетки твердых тел. Акустические фононы.

Объемные сейсмические волны.