Космические рубежи теории относительности

---

<< 8. Черные дыры | Оглавление | 10. Черные дыры с электрическим зарядом >>

9. Геометрия решения Шварцшильда

В 1916 г., всего лишь через несколько месяцев после того, как Эйнштейн опубликовал свои уравнения гравитационного поля в общей теории относительности, немецкий астроном Карл Шварцшильд нашел решение этих уравнений, описывающее простейшую черную дыру. Шварцшильдовская черная дыра "простая" в том смысле, что она сферически симметрична (т. е. у нее нет "предпочтительного" направления, скажем оси вращения) и характеризуется лишь массой. Поэтому здесь не учитываются те усложнения, которые вносят вращение, электрический заряд и магнитное поле.

Начиная с 1924 г. физики и математики начали осознавать, что в шварцшильдовском решении уравнений гравитационного поля есть что-то необычное. В частности, у этого решения имеется математическая особенность на горизонте событий. Сэр Артур Эддингтон был первым, кто подобрал новую систему координат, в которой этот эффект отсутствует. В 1933 г. Жорж Лемэтр продвинул эти исследования дальше. Однако лишь Джон Лайтон Синг раскрыл (в 1950 г.) истинную сущность геометрии шварцшильдовской черной дыры, открыв тем самым пути для последующих важных работ М. Д. Крускала и Г. Секереша в 1960 г.

Чтобы разобраться в деталях, выберем прежде всего трех ребят - Борю, Васю и Машу - и представим себе, что они парят в космосе (рис. 9.1). Всегда можно взять в космосе произвольную точку и определить положения всех троих, измеряя расстояния от них до этой точки. Например, Боря находится на расстоянии 1 км от этой произвольной начальной точки отсчета, Вася - в 2 км, а Маша - в 4 км. Характеристику положения в таком случае обычно обозначают буквой r и называют радиальным расстоянием. Таким путем можно выразить расстояние до любого объекта во Вселенной.

Рис. 9.1. Расположение в пространстве. Расположение каких-либо объектов в пространстве может быть охарактеризовано расстоянием по радиусу от произвольной начальной точки отсчета до каждого из объектов.

Заметим теперь, что наши три приятеля неподвижны в пространстве, но "перемещаются" во времени, ибо становятся все старше и старше. Эту особенность можно изобразить на пространственно-временной диаграмме (рис. 9.2). Расстояние от произвольной начальной точки отсчета ("начала") до другой точки в пространстве откладывается здесь вдоль горизонтальной оси, а время - вдоль вертикали. Кроме того, как и в частной теории относительности, удобно взять на координатных осях этого графика такие масштабы, чтобы лучи света описывались прямой с наклоном 45њ. На такой диаграмме пространства-времени мировые линии всех троих ребят идут вертикально вверх. Они все время остаются на одних и тех же расстояниях от точки начала (r = 0), но постепенно становятся все старше и старше.

Рис. 9.2. Диаграмма пространства-времени. Можно построить такую диаграмму пространства-времени, на которой по пространственной оси откладывается радиальное расстояние от произвольной точки начала отсчета. Масштабы, отложенные по осям, таковы, что световые лучи распространяются по прямым с наклоном 45њ.

Важно осознать, что левее точки r = 0 на рис. 9.2 вообще ничего нет. Эта область соответствует чему-то, что можно назвать "отрицательным пространством". Так как невозможно находиться "на расстоянии минус 3 м" от какой-либо точки (начала отсчета), то расстояния от начала всегда выражаются положительными числами.

Перейдем теперь к шварцшильдовской черной дыре. Как уже говорилось в предыдущей главе, такая дыра состоит из сингулярности, окруженной горизонтом событий на расстоянии 1 шварцшильдовского радиуса. Изображение такой черной дыры в пространстве дано на рис. 9.3 слева. При изображении черной дыры на пространственно-временной диаграмме произвольную точку начала отсчета координат для удобства совместим с сингулярностью. Тогда расстояния измеряются непосредственно от сингулярности по радиусу. Получившаяся диаграмма пространства-времени изображена на рис. 9.3 справа. Подобно тому как наши приятели Боря, Вася и Маша изображаются на рис. 9.2 вертикальными мировыми линиями, мировая линия горизонта событий идет вертикально вверх в точности на 1 шварцшильдовский радиус правее мировой линии сингулярности, которая на рис. 9.3 изображена пилообразной линией.

Рис. 9.3. Черная дыра в пространстве и в пространстве-времени. Шварцшильдовская черная дыра изображена слева в пространстве. Она состоит из сингулярности, окруженной горизонтом событий. Справа дана диаграмма пространства-времени для той же дыры. Расстояние измеряется радиально от сингулярности.

Хотя в рис. 9.3, изображающем шварцшильдовскую черную дыру в пространстве-времени, как будто нет ничего загадочного, к началу 1950-х годов физики начали понимать, что этой диаграммой суть дела не исчерпывается. У черной дыры имеются разные области пространства-времени: первая между сингулярностью и горизонтом событий и вторая за пределами горизонта событий. Мы не смогли полностью выразить в правой части рис. 9.3, как именно связаны между собой эти области.

Рис. 9.4. Увлекательное путешествие. Астроном вылетает из сингулярности черной дыры с массой 10 солнечных масс, поднимается над горизонтом событий и достигает максимальной высоты 1 млн. км. На верхней точке траектории его часы (измеряющие собственное время) синхронизуются с часами удаленных ученых (измеряющих координатное время). Затем астроном снова радиально падает на черную дыру, опускается под горизонт событий и попадает в сингулярность.

Чтобы разобраться во взаимосвязи между областями пространства-времени внутри и вне горизонта событий, представим себе черную дыру с массой в 10 солнечных масс. Пусть из сингулярности вылетает астроном, пролетает через горизонт событий наружу, поднимается на максимальную высоту в 1 миллион километров над черной дырой, а затем падает обратно, сквозь горизонт событий, и снова падает в сингулярность. Полет астронома изображен на рис. 9.4.

Внимательному читателю это может показаться невозможным - ведь из сингулярности выскочить вообще нельзя! Ограничимся тем, что сошлемся на чисто математическую возможность такого путешествия. Как станет видно из дальнейшего, полное решение Шварцшильда содержит как черную, так и белую дыру. Поэтому на протяжении нескольких следующих разделов от читателя потребуется терпение и внимание. Здесь и в последующих главах мы будем иллюстрировать изложение с помощью путешествий астрономов или космонавтов к черным дырам. Для удобства будем говорить о космонавте просто "он".

Астроном-путешественник имеет с собой часы, чтобы измерять свое собственное время. У домоседов-ученых, следящих за его полетом с расстояния в 1 миллион километров от черной дыры, тоже имеются часы. Пространство там плоское, и часы измеряют координатное время. При достижении высшей точки траектории (на расстоянии миллиона километров от черной дыры) все часы ставятся на один и тот же момент (синхронизуются) и теперь показывают 12 ч дня. Тогда можно вычислить, в какой момент (как по собственному времени путешественника, так и по координатному времени) астроном попадет в каждый интересующий нас пункт своей траектории.

Напомним, что часы астронома измеряют его собственное время. Поэтому по ним нельзя заметить "замедления хода времени", обусловленного эффектом гравитационного красного смещения. При заданных значениях массы черной дыры и высоты над ней высшей точки пути расчеты приводят к следующему результату:

В собственном времени астронома

1. Астроном вылетает из сингулярности в 11 ч 40 мин утра (по своим часам).
2. Через 1/10 000 с после 11 ч 40 мин он перелетает через горизонт событий во внешний мир.
3. В 12 ч дня он достигает максимальной высоты в 1 миллион километров над черной дырой.
4. За одну 1/10 000 с до 12 ч 20 мин дня он пересекает горизонт событий, двигаясь внутрь.
5. Астроном возвращается в сингулярность в 12 ч 20 мин дня.

Иными словами, на движение от сингулярности до горизонта событий и обратно ему нужно одно и то же время - 1/10 000 с, тогда как на перемещение от горизонта событий до высшей точки своей траектории и наоборот он затрачивает всякий раз 20 мин (за 20 мин он проходит 1 миллион километров). Следует иметь в виду, что собственное время при полете течет стандартным образом.

Проводящиељљ издалекаљљ наблюденияљљ ученыељљ измеряютљљ по своим часам координатное время; их вычисления дают следующие результаты:

В координатном времени

1. 1. Астрономљ вылетаетљ изљсингулярностиљ вљљ 11 чљ40 минљ утра.
2. 2. Он выходит через горизонт событий во внешний мир миллиарды лет назад (точнее, в году под номеромљљ).
3. 3. В 12 ч дня он достигает максимальной высоты в 1 миллион километров над черной дырой.
4. 4. Он пересекает горизонт событий, двигаясь внутрь, через миллиарды лет в будущем (точнее, в году под номеромљљ ).
5. 5. Астроном возвращается в сингулярность в 12 ч 20 мин дня.

Конечно, все согласны в том, что астроном-путешественник достигает максимальной высоты полета в 12 ч дня, т.е. в тот момент, в который синхронизуются все часы. Все также будут согласны и в том, когда астроном вылетает из сингулярности и когда он возвращается в нее. Но в остальном шварцшильдовская геометрия явно ненормальна. Вылетев из сингулярности, астроном перемещается в координатном времени вспять во времени до года . Затем он снова мчится вперед во времени, достигает максимальной высоты полета в полдень, а опускается под горизонт событий в год . После этого он снова перемещается вспять во времени и попадает в сингулярность в 12 ч 20 мин дня. На диаграмме пространства-времени его мировая линия имеет вид, показанный на рис. 9.5.

Рис. 9.5. Путешествие в координатном времени. На этой диаграмме пространства-времени изображена траектория движения астронома из черной дыры и обратно. Он выходит через горизонт событий в отдаленном прошлом и снова пересекает горизонт событий (на этот раз внутрь) в далеком будущем.

 

Кое-что из этих странных выводов можно понять интуитивно. Вспомним, что с точки зрения удаленного наблюдателя (часы которого измеряют координатное время) на горизонте событий время останавливается. Вспомним также, что камень или любое другое тело, падающее на горизонт событий, никогда не дойдут до точки с высотой шварцшильдовского радиуса в представлении далекого наблюдателя. Поэтому падающий в черную дыру астроном не может пересечь горизонта событий вплоть до года , т. е. в бесконечно отдаленном будущем. Так как все путешествие симметрично относительно момента 12 ч дня (т.е. взлет и падение занимают одно и то же время), то далекие ученые должны наблюдать, что астроном поднимался, двигаясь к ним, в течение миллиардов лет. Он должен перейти наружу горизонт событий в год .

Еще непонятнее тот факт, что удаленные наблюдатели видят двух движущихся астрономов. Так, например, в 3 ч дня они видят одного астронома, падающего на горизонт событий (движущегося вперед во времени). Однако, согласно их же расчетам, должен существовать и другой астроном внутри горизонта событий, падающий на сингулярность (и движущийся вспять во времени).

Конечно, это бессмыслица. Точнее, такое странное поведение координатного времени означает, что изображенная на рис. 9.3 картина шварцшильдовской черной дыры попросту не может быть верна. Приходится поискать другие - причем их может быть множество - истинные диаграммы пространства-времени для черной дыры. В той простой диаграмме, которая показана на рис. 9.5, одни и те же области пространства-времени оказываются перекрытыми дважды, поэтому и наблюдаются сразу два астронома в то время, как на самом деле существует только один. Значит, нужно развернуть или преобразовать эту простую картинку таким образом, чтобы выявить истинную, или глобальную, структуру всего пространства-времени, связанного со шварцшильдовской черной дырой.

Чтобы лучше понять, как должна выглядеть эта глобальная картина, рассмотрим горизонт событий. На упрощенной двумерной диаграмме пространства-времени (см. правую сторону рис. 9.3) горизонт событийэто линия, идущая от момента (отдаленное прошлое) к моменту (далекое будущее) и находящаяся Точно на расстоянии 1 шварцшильдовского радиуса от сингулярности. Такая линия, конечно, правильно изображает расположение поверхности сферы в обычном трехмерном пространстве. Но когда физики попробовали вычислить объем этой сферы, они, к своему изумлению, обнаружили, что он равен нулю. Если объем некоторой сферы равен нулю, то это, конечно, просто точка. Иными словами, физики стали подозревать, что данная "линия" на упрощенной диаграмме должна быть в глобальной картине черной дыры на самом деле точкой!

Представьте себе к тому же произвольное число астрономов, выскакивающих из сингулярности, взлетающих на разные максимальные высоты над горизонтом событий и снова падающих обратно. Вне зависимости от того, когда именно они были выброшены из сингулярности, и от того, на какую именно высоту над горизонтом событий взлетали, все они будут пересекать горизонт событий в моменты координатного времени (на пути наружу) и (на обратном пути). В результате проницательные физики также заподозрят, что эти две "точки", и , должны быть обязательно представлены в глобальной картине черной дыры в виде двух отрезков мировых линий!

Чтобы перейти от упрощенного изображения черной дыры к ее глобальной картине, следует переделать наше упрощенное изображение в гораздо более сложную диаграмму пространства-времени. И все же нашим конечным результатом окажется новая пространственно-временная диаграмма! На этой диаграмме пространственноподобные величины будут направлены горизонтально (слева направо), а временноподобные величины - вертикально (снизу вверх). Иными словами, преобразование должно сработать так, чтобы старые пространственная и временная координаты были заменены на новые пространственную и временную координаты, которые отражали бы полностью истинную природу черной дыры.

Рис. 9.6. Ускоренно движущийся наблюдатель. Равноускоренный наблюдатель (или объект) движется все быстрее и быстрее, увеличивая скорость в постоянном темпе. Его траектория в пространстве-времени имеет вид гиперболы. По мере того как скорость наблюдателя приближается к скорости света, мировая линия приобретает наклон, все более близкий к 45њ.

Чтобы постараться понять, как могут быть связаны между собой старая и новая системы координат, рассмотрим некоего наблюдателя вблизи черной дыры. Чтобы избежать падения на черную дыру и оставаться на постоянном расстоянии от нее, он должен располагать мощными ракетными двигателями, выбрасывающими потоки газов вниз. В плоском пространстве-времени, вдали от тяготеющих масс, космический корабль при работающих двигателях приобрел бы ускорение и двигался бы все быстрее и быстрее, ибо тяга ракетных двигателей обеспечила бы ему постоянное возрастание скорости. Мировая линия такого корабля изображена на диаграмме пространства-времени на рис. 9.6. Эта линия постепенно сближается с прямой, имеющей наклон 45њ, по мере того, как вследствие непрерывной работы двигателей скорость корабля приближается к скорости света. Кривая, изображающая подобную мировую линию, называется гиперболой. Наблюдатель, который находится близ черной дыры и пытается остаться на постоянном расстоянии от нее, будет постоянно испытывать ускорение, вызванное работой ракетных двигателей корабля. Проницательные физики заподозрят поэтому, что линии "постоянной высоты" в пересмотренной и улучшенной диаграмме пространства-времени вблизи черной дыры будут ветвями гипербол.

Наконец, тот наблюдатель, который пытается удержаться на горизонте событий, должен располагать невероятно мощными ракетными двигателями. Чтобы он не свалился внутрь черной дыры, эти двигатели должны работать с такой мощностью, что наблюдатель, будь он в плоском мире, двигался бы со скоростью света. Значит, мировые линии горизонта событий должны быть наклонены в точности под углом 45њ в пересмотренной и улучшенной диаграмме пространства-времени.

В 1960 г. независимо друг от друга Крускал и Секереш нашли требуемые преобразования, переводящие старую диаграмму пространства-времени для шварцшильдовской черной дыры в новую диаграмму - пересмотренную и улучшенную. Эта новая диаграмма Крускала-Секереша корректно покрывает все пространство-время и полностью выявляет глобальную структуру черной дыры. При этом подтверждаются все отмеченные ранее подозрения и обнаруживаются некоторые новые удивительные и неожиданные детали. Однако, хотя преобразования Крускала и Секереша сразу переводят старую картину в новую, наглядно представить себе их лучше в виде последовательности преобразований, схематически изображенных на рис. 9.7. Конечный результат - это опять-таки диаграмма пространства-времени (пространственное направление горизонтальное, а временное - вертикальное), причем лучи света, идущие к черной дыре и от нее, изображаются, как обычно, прямыми с наклоном 45њ.

Рис. 9.7. Переход к диаграмме Крускала-Секереша. Здесь схематически изображен переход от прежней простенькой диаграммы пространства-времени для черной дыры к гораздо более совершенной диаграмме Крускала-Секереша. Окончательная диаграмма включает две сингулярности и две внешние Вселенные.

Конечный результат преобразования поражает и на первых порах вызывает недоверие: вы видите, что там изображены на самом деле две сингулярности, одна в прошлом, а другая в будущем; вдобавок к этому вдали от черной дыры существуют две внешние Вселенные.

Но на самом деле диаграмма Крускала-Секереша правильна, и, чтобы понять это, мы вновь рассмотрим полет астронома, выброшенного из сингулярности, пересекающего горизонт событий и снова падающего обратно. Мы уже знаем, его мировая линия на упрощенной диаграмме пространства-времени необычна. Эта линия снова изображена слева на рис. 9.8. На диаграмме же Крускала-Секереша (рис. 9.8, справа) такая линия выглядит намного осмысленнее. Наблюдатель на самом деле выскакивает из сингулярности в прошлом и в конце концов попадает в сингулярность в будущем. Следовательно, такое "аналитически полное" описание решения Шварцшильда включает как черную, так и белую дыру. Наш астроном на самом деле вылетает из белой дыры и в конце концов падает в черную дыру. Обратите внимание на то, что его мировая линия повсюду наклонена к вертикали менее чем на 45њ, т.е. эта линия везде временноподобна и поэтому допустима. Сравнивая же левую и правую части рис. 9.8, вы обнаружите, что "точки" моментов времени и на горизонте событий теперь растянулись в две прямые линии, имеющие наклон 45њ, что подтверждает наши прежние подозрения.

Рис. 9.8. Мировая линия путешествия из черной дыры и обратно. На упрощенной диаграмме пространства-времени (слева) мировая линия астронома, вылетающего из черной дыры и падающего обратно в не