![На первую страницу](http://images.astronet.ru/img/bookicon.gif)
4.2. Уравнение геоида
Для вычисления уравнения геоида используем формулу (4.1) и вычислим потенциал притяжения тела произвольной формы. Полученные выражения будут использоваться при вычислении прецессионного и нутационного движения осей Земли.
Потенциал точки с массой на расстоянии
равен:
Сила притяжения этой точки другой точки с массой
![](http://images.astronet.ru/pubd/2005/01/22/0001202457/img131.gif)
Подставляя в (4.5) выражение (4.4) и используя (4.3), получим хорошо известную формулу Ньютона:
![](http://images.astronet.ru/pubd/2005/01/22/0001202457/img1003.gif)
![](http://images.astronet.ru/pubd/2005/01/22/0001202457/img1004.gif)
![](http://images.astronet.ru/pubd/2005/01/22/0001202457/img222.gif)
![](http://images.astronet.ru/pubd/2005/01/22/0001202457/img131.gif)
Используем выражение для потенциала точки (4.4) и найдем
потенциал притяжения элемента массы
тела произвольной
формы в точке
(
- плотность, зависящая от координат
элемента объема
). Для этого определим систему координат
с началом в центре масс тела (рис. 4.1).
Будем считать, что точка расположена вне тела. Расстояние от
точки
до элемента массы
, находящегося в точке
с
координатами
, равно
, а до точки
равно
. Тогда
потенциал в точке
равен
где
![](http://images.astronet.ru/pubd/2005/01/22/0001202457/img1011.gif)
![](http://images.astronet.ru/pubd/2005/01/22/0001202457/img77.gif)
![](http://images.astronet.ru/pubd/2005/01/22/0001202457/img78.gif)
![](http://images.astronet.ru/pubd/2005/01/22/0001202457/img1012.gif)
![](http://images.astronet.ru/pubd/2005/01/22/0001202457/img1013.gif)
![](http://images.astronet.ru/pubd/2005/01/22/0001202457/img318.gif)
![](http://images.astronet.ru/pubd/2005/01/22/0001202457/img1014.gif)
![](http://images.astronet.ru/pubd/2005/01/22/0001202457/img1015.gif)
Традиционное представление потенциала имеет вид:
![](http://images.astronet.ru/pubd/2005/01/22/0001202457/img1022.gif)
![](http://images.astronet.ru/pubd/2005/01/22/0001202457/img1023.gif)
![](http://images.astronet.ru/pubd/2005/01/22/0001202457/img169.gif)
![](http://images.astronet.ru/pubd/2005/01/22/0001202457/img1024.gif)
Чтобы найти потенциал в точке от всех точек тела,
проинтегрируем (4.6) во всему объему тела, используя
разложение (4.7):
Первый член соответствует потенциалу точки с массой
,
расположенной в начале координат
. Второй член равен нулю, так
как начало координат совпадает с центром масс тела. Это легко
доказать. В самом деле, центр масс тела - это
точка
, радиус-вектор которой относительно некоторой системы
координат равен:
![](http://images.astronet.ru/pubd/2005/01/22/0001202457/img1027.gif)
![](http://images.astronet.ru/pubd/2005/01/22/0001202457/img600.gif)
![](http://images.astronet.ru/pubd/2005/01/22/0001202457/img1009.gif)
![](http://images.astronet.ru/pubd/2005/01/22/0001202457/img1028.gif)
![](http://images.astronet.ru/pubd/2005/01/22/0001202457/img1029.gif)
Определим осевые моменты инерции Земли
относительно осей
, соответственно, следующим
образом:
![]() |
![]() |
|
![]() |
![]() |
|
![]() |
![]() |
Тогда третий член в (4.8) можно представить в виде:
![]() |
||
![]() |
Так как произведение
![](http://images.astronet.ru/pubd/2005/01/22/0001202457/img1038.gif)
![](http://images.astronet.ru/pubd/2005/01/22/0001202457/img14.gif)
![](http://images.astronet.ru/pubd/2005/01/22/0001202457/img77.gif)
![](http://images.astronet.ru/pubd/2005/01/22/0001202457/img318.gif)
![](http://images.astronet.ru/pubd/2005/01/22/0001202457/img193.gif)
![](http://images.astronet.ru/pubd/2005/01/22/0001202457/img318.gif)
![](http://images.astronet.ru/pubd/2005/01/22/0001202457/img78.gif)
Выразим теперь момент инерции тела относительно оси
через направляющие косинусы
этой прямой
относительно осей
. Пусть
. Тогда
![](http://images.astronet.ru/pubd/2005/01/22/0001202457/img1042.gif)
Так как вектор
имеет компоненты
, то имеем
согласно (2.17):
![](http://images.astronet.ru/pubd/2005/01/22/0001202457/img1044.gif)
Отсюда
![](http://images.astronet.ru/pubd/2005/01/22/0001202457/img1045.gif)
![]() |
![]() |
|
![]() |
Интегралы
![](http://images.astronet.ru/pubd/2005/01/22/0001202457/img1049.gif)
![](http://images.astronet.ru/pubd/2005/01/22/0001202457/img1050.gif)
![](http://images.astronet.ru/pubd/2005/01/22/0001202457/img1051.gif)
![](http://images.astronet.ru/pubd/2005/01/22/0001202457/img292.gif)
![](http://images.astronet.ru/pubd/2005/01/22/0001202457/img102.gif)
![](http://images.astronet.ru/pubd/2005/01/22/0001202457/img1052.gif)
Таким образом, если координатные оси системы совпадают с
главными осями тензора инерции, то
![](http://images.astronet.ru/pubd/2005/01/22/0001202457/img1053.gif)
Обозначим угол между и осью
через
. Тогда
![](http://images.astronet.ru/pubd/2005/01/22/0001202457/img1054.gif)
![](http://images.astronet.ru/pubd/2005/01/22/0001202457/img1055.gif)
![](http://images.astronet.ru/pubd/2005/01/22/0001202457/img1056.gif)
![](http://images.astronet.ru/pubd/2005/01/22/0001202457/img193.gif)
![](http://images.astronet.ru/pubd/2005/01/22/0001202457/img78.gif)
Для Земли главные моменты инерции равны
кг$·$ м$^2$,
кг$·$ м$^2$,
кг$·$ м$^2$,
кг$·$ м$^2$.
Относительная разность экваториальных моментов
и
равна
. Поэтому часто считают, что
и
тем самым полагают, что Земля - двухосный эллипсоид или
эллипсоид вращения. Гравитационный потенциал Земли называется
геопотенциалом.
Перепишем (4.10) в следующем виде:
где
![](http://images.astronet.ru/pubd/2005/01/22/0001202457/img1064.gif)
![](http://images.astronet.ru/pubd/2005/01/22/0001202457/img873.gif)
![](http://images.astronet.ru/pubd/2005/01/22/0001202457/img1065.gif)
Уравнение (4.11) в пределе должно выполняться на поверхности
Земли. Если ограничиться разложением до , то полный
геопотенциал на поверхности Земли равен:
где
![](http://images.astronet.ru/pubd/2005/01/22/0001202457/img988.gif)
![](http://images.astronet.ru/pubd/2005/01/22/0001202457/img1068.gif)
![](http://images.astronet.ru/pubd/2005/01/22/0001202457/img1069.gif)
![](http://images.astronet.ru/pubd/2005/01/22/0001202457/img1070.gif)
![](http://images.astronet.ru/pubd/2005/01/22/0001202457/img1071.gif)
![](http://images.astronet.ru/pubd/2005/01/22/0001202457/img1072.gif)
![](http://images.astronet.ru/pubd/2005/01/22/0001202457/img1073.gif)
![](http://images.astronet.ru/pubd/2005/01/22/0001202457/img1074.gif)
![](http://images.astronet.ru/pubd/2005/01/22/0001202457/img40.gif)
Формула верна с точностью до
![](http://images.astronet.ru/pubd/2005/01/22/0001202457/img40.gif)
Чтобы найти уравнение поверхности геоида, перепишем формулу (4.12) в следующем виде:
![](http://images.astronet.ru/pubd/2005/01/22/0001202457/img1076.gif)
![](http://images.astronet.ru/pubd/2005/01/22/0001202457/img1077.gif)
![](http://images.astronet.ru/pubd/2005/01/22/0001202457/img1078.gif)
![](http://images.astronet.ru/pubd/2005/01/22/0001202457/img1079.gif)
![](http://images.astronet.ru/pubd/2005/01/22/0001202457/img509.gif)
![](http://images.astronet.ru/pubd/2005/01/22/0001202457/img1080.gif)
![](http://images.astronet.ru/pubd/2005/01/22/0001202457/img1081.gif)
![](http://images.astronet.ru/pubd/2005/01/22/0001202457/img1082.gif)
![](http://images.astronet.ru/pubd/2005/01/22/0001202457/img1083.gif)
![](http://images.astronet.ru/pubd/2005/01/22/0001202457/img1084.gif)
![](http://images.astronet.ru/pubd/2005/01/22/0001202457/img1085.gif)
Так как
с ошибкой
, то перемножая скобки
и пренебрегая членами, содержащими произведения малых величин,
запишем уравнение геоида в виде
В первом приближении уравнение геоида
представляет фигуру, близкую к эллипсоиду с геометрическим сжатием
.
В самом деле, рассмотрим меридиональное сечение двухосного
эллипсоида, которое является эллипсом с большой и малой
полуосями:
Так как малая полуось равна
и
,
, то из (4.15) получим:
![](http://images.astronet.ru/pubd/2005/01/22/0001202457/img1093.gif)
![](http://images.astronet.ru/pubd/2005/01/22/0001202457/img1094.gif)
![](http://images.astronet.ru/pubd/2005/01/22/0001202457/img1094.gif)
![](http://images.astronet.ru/pubd/2005/01/22/0001202457/img1095.gif)
С точностью до первого порядка сжатие
равно:
.
В настоящее время коэффициент определяется по наблюдениям
искусственных спутников Земли. Забегая вперед, скажем, что по
скорости прецессии определяется динамическое сжатие
Земли
![](http://images.astronet.ru/pubd/2005/01/22/0001202457/img1098.gif)
![](http://images.astronet.ru/pubd/2005/01/22/0001202457/img1097.gif)
![](http://images.astronet.ru/pubd/2005/01/22/0001202457/img1099.gif)
![](http://images.astronet.ru/pubd/2005/01/22/0001202457/img1100.gif)
![](http://images.astronet.ru/pubd/2005/01/22/0001202457/img164.gif)
![](http://images.astronet.ru/pubd/2005/01/22/0001202457/img164.gif)
Найдем теперь ускорение силы тяжести на геоиде. Для этого
достаточно продифференцировать полный геопотенциал (4.12). Так
как
, то с учетом (4.3) найдем, что модуль
равен:
![](http://images.astronet.ru/pubd/2005/01/22/0001202457/img1103.gif)
![](http://images.astronet.ru/pubd/2005/01/22/0001202457/img1104.gif)
![](http://images.astronet.ru/pubd/2005/01/22/0001202457/img550.gif)
![](http://images.astronet.ru/pubd/2005/01/22/0001202457/img1105.gif)
![](http://images.astronet.ru/pubd/2005/01/22/0001202457/img1106.gif)
Отсюда ускорение силы тяжести на экваторе
![](http://images.astronet.ru/pubd/2005/01/22/0001202457/img1108.gif)
Знак минус в формуле (4.17) подчеркивает тот факт, что радиальная компонента
![](http://images.astronet.ru/pubd/2005/01/22/0001202457/img1110.gif)
![](http://images.astronet.ru/pubd/2005/01/22/0001202457/img835.gif)
![](http://images.astronet.ru/pubd/2005/01/22/0001202457/img1108.gif)
![](http://images.astronet.ru/pubd/2005/01/22/0001202457/img1111.gif)
![](http://images.astronet.ru/pubd/2005/01/22/0001202457/img1108.gif)
![](http://images.astronet.ru/pubd/2005/01/22/0001202457/img1112.gif)
Более точное выражение для ускорения силы тяжести
![](http://images.astronet.ru/pubd/2005/01/22/0001202457/img403.gif)
![](http://images.astronet.ru/pubd/2005/01/22/0001202457/img82.gif)
![](http://images.astronet.ru/pubd/2005/01/22/0001202457/img512.gif)
![](http://images.astronet.ru/pubd/2005/01/22/0001202457/img1114.gif)
![](http://images.astronet.ru/pubd/2005/01/22/0001202457/img1115.gif)
где
![](http://images.astronet.ru/pubd/2005/01/22/0001202457/img1119.gif)
![](http://images.astronet.ru/pubd/2005/01/22/0001202457/img1078.gif)
![](http://images.astronet.ru/pubd/2005/01/22/0001202457/img1108.gif)
![](http://images.astronet.ru/pubd/2005/01/22/0001202457/img1120.gif)
где высота
![](http://images.astronet.ru/pubd/2005/01/22/0001202457/img512.gif)
<< 4.1. Основные параметры Земли | Оглавление | 4.3. Геоцентрическая и геодезическая >>
Публикации с ключевыми словами:
астрометрия - сферическая астрономия - системы координат - шкалы времени
Публикации со словами: астрометрия - сферическая астрономия - системы координат - шкалы времени | |
См. также:
Все публикации на ту же тему >> |