<< Введение Методы обнаружения фрактальных структур >>
Фракталы в математике и физике
Формальное определение фрактального множества, предложенное Бенуа
Мандельбротом, выглядит следующим образом:
Фрактал - множество, размерность Хаусдорфа-Безиковича которого строго
больше топологической.
Для определения понятия размерности Хаусдорфа-Безиковича (она
же - "Хаусдорфова размерность") введем несколько обозначений.
Пусть есть множество 
в пространстве
.
Разобьем пространство
на n-мерные кубы с длиной
ребра 
и обозначим число кубов, необходимых для покрытия
ими множества , через 
. Тогда величина размерности
Хаусдорфа-Безиковича (называемой также фрактальной размерностью)
должна удовлетворять следующему условию:
Данное определение можно упростить, сделав его более удобным для
практического применения. Видно, что при
из (1) следует
Если число
не является целым, то множество - фрактально,
причем его фрактальная размерность равна . Иногда о фрактальной
размерности говорят и в том случае, когда множество фрактальным не
является, в таком случае - целое и совпадает с
топологической размерностью множества.
Одним из основных признаков фракталов является самоподобие.
Множество называется самоподобным, если оно совпадает с
объединением 
непересекающихся множеств
,
каждое из которых получается из сжатием (изменением всех
масштабов в 
раз, где 
); величина называется
коэффициентом подобия. Очевидно, что существование хотя бы одного
значения для множества влечет существование
последовательности 
с точкой сгущения
.
Для самоподобных множеств вводится понятие "размерности подобия"
, определяемое из
Сравнивая (3) и (2), можно видеть, что для самоподобного множества (при
фрактальная размерность и размерность
самоподобия совпадают. Такие фракталы (называемые самоподобными) обладают
также свойством скейлинга - масштабной инвариантностью и инвариантностью
относительно параллельного переноса (иногда в это определение включают также
требование инвариантности относительно поворота).
Кроме самоподобных фракталов выделяются также более сложные типы фрактальных множеств. К ним можно отнести самоафинные фракталы - с различными по различным направлениям коэффициентами подобия (или даже с отсутствием подобия в каком-либо направлении), а также мультифракталы - с коэффициентами подобия, различными на различных пространственных масштабах или в различных областях.
При описании физических объектов непосредственное использование понятия множества далеко не всегда удобно. Чаще распределение вещества лучше описывается функцией, задающей плотность вещества в зависимости от координат. Такие фрактальные функции, являющиеся в некотором смысле обобщениями понятия фрактального множества, впервые появились в XIX веке в работах немецкого математика Карла Вейерштрасса, построившего первый пример непрерывной функции, нигде не имеющей производной.
Однако все виды математических фракталов являются абстракциями, непосредственное применение которых для описания реальных физических объектов возможно только с некоторыми оговорками. Математическое фрактальное множество, как это следует из его определения, должно обладать некоторыми "неестественными" свойствами. У него должны отсутствовать наибольший и наименьший масштабы самоподобия. Это, в частности, означает, что размеры минимальных элементов множества стремятся к нулю, в то время как размеры всего множества в целом должны быть бесконечно большими.
С другой стороны, в любой физической структуре должен существовать конечный наименьший масштаб. Кроме того, такая структура всегда ограничена в занимаемом ею пространстве, что приводит к нарушению самоподобия вблизи границы. Достаточно малая область, содержащая границу множества, не подобна области того же размера, находящейся вдали от границы. Поэтому любая естественная фрактальная структура может быть лишь некоторым приближением к математическому фракталу, причем ее описание в рамках фрактальных множеств может быть достаточно корректным только при рассмотрении пространственных масштабов, в достаточной степени удаленных как от минимального, так и от максимального масштабов существования структуры.
Поэтому Мандельбротом было предложено другое определение фрактала: Фракталом называется структура, состоящая из частей, которые в каком-то смысле подобны целому. Это определение, даже при его неполноте, вполне соответствует основному свойству фракталов - наблюдаемой и получаемой при расчетах тождественности структуры фрактала как в целом, так и для любой его области.
Заметим, что никакая физическая структура не может, даже на далеких от границ фрактальности масштабах, абсолютно точно воспроизводить математический фрактал, поскольку всегда существуют различные факторы, искажающие структуру. В качестве таких факторов могут выступать, например, тепловые движения частиц, образующих структуру, или макроскопические движения элементов структуры. По этой причине физический фрактал обладает только "статистическими" фрактальными свойствами, в среднем сохраняя фрактальную структуру, но, возможно, отклоняясь от нее в различных областях в различные моменты времени. Такие фpакталы уместно называть "динамическими".
<< Введение Методы обнаружения фрактальных структур >>
