Топология и метрика пар кеплеровских орбит

---

<< 3. Топология пар орбит | Оглавление | 5. Почти пересекающиеся орбиты >>

4. Естественные метрики в пространстве кеплеровских орбит

Будем теперь считать точкой в пятимерном пространстве кеплеровских эллипсов. Построим несколько естественных метрик в . Малость означает, что орбиты почти совпадают.

Для построения расстояния представляется естественным сравнивать точки с одинаковой эксцентрической аномалией. Таким путем получаем равномерную и среднеквадратическую метрики

Наибольшее значение и интеграл берутся по отрезку .

Легко доказать, что все аксиомы метрического пространства выполнены для обеих метрик (10), (11), если исключить круговые орбиты. Иными словами, расстояния (10), (11) определены и топологически эквивалентны в пространстве некруговых эллиптических орбит. Они разрывны в окрестности хотя бы одной круговой орбиты из пары. Причина очевидна. Например, две компланарные орбиты с одинаковой большой полуосью и почти нулевыми эксцентриситетами почти совпадают независимо от направления апсид. Но оба расстояния существенно зависят от их направления.

Чтобы избежать неприятностей, мы должны сравнивать точки, имеющие различные взаимные положения. Хороший способ - ввести следующие метрики:

Наибольшее значение и интеграл берутся по отрезку , наименьшее значение - по отрезку .

Все аксиомы метрического пространства выполнены для обеих метрик (12), (13) во всем пространстве , хотя доказательство много сложнее, чем в предыдущем случае. Расстояния (12), (13) топологически эквивалентны и превращают в открытое, неограниченное, локально-компактное метрическое пространство.

Приведем алгоритмы определения расстояний .

1. Обозначим . Очевидно,

где

Первый шаг состоит в нахождении всех вещественных, лежащих на окружности корней уравнения

где

Обозначим через один из корней (15), дающий наибольшее значение . Тогда

2. Интеграл (11) элементарен. Для второго расстояния получаем простую формулу

3. Алгоритм вычисления третьего расстояния столь сложен, что мы не рекомендуем использовать на практике.

4. Интеграл в (13) элементарен

Здесь

где

Поскольку , получаем окончательно

---

<< 3. Топология пар орбит | Оглавление | 5. Почти пересекающиеся орбиты >>

Публикации с ключевыми словами: Небесная механика - кеплеровы орбиты Публикации со словами: Небесная механика - кеплеровы орбиты
См. также: Саймон Ньюком (1835 -1909) к 175-летию со дня рождения. Наум Ильич Идельсон - 125 лет со дня рождения Методы теории специальных возмущений в небесной механике Задача N тел и проблема интегрируемости К 90-летию Александра Александровича Орлова Динамика звездных скоплений Простейшая форма представления градиента гравитационного потенциала небесных тел Все публикации на ту же тему >>