<< Лекция 1. Теория фигуры земли | Оглавление | Лекция 3. Теория потенциала >>
- 2.1 Декартовы системы координат
- 2.2 Сферическая система координат
- 2.3 Геодезическая система координат
- 2.4 Эллипсоидальная система координат
Лекция 2. Геодезические системы координат
Сферическая система. Широта долгота и радиус-вектор. Система координат, построенная на эллипсоиде. Геодезические координаты: широта, долгота и высота. Связь между сферической, геодезической и декартовой системами координат.
Геодезические задачи решают на плоскости, если размеры площади невелики. Если исследуемая часть поверхности занимает несколько градусов широты или долготы, то необходимо учитывать и кривизну поверхности. В этом случае часто подходит и шар. Для решения глобальных задач, в том числе и задач по космической геодезии в качестве тела отсчета берут эллипсоид вращения. В частности на эллипсоиде решают следующие задачи:
- -- Уточнение формы и размеров общего земного эллипсоида (ОЗЭ).
- -- Перенос направлений и расстояний с физической поверхности на эллипсоид.
- -- Определение координат точек на поверхности референц-эллипсоида.
- -- Определение расстояний между точками с заданными координатами.
- -- Уточнение координат по мере уточнения элементов эллипсоида.
2.1 Декартовы системы координат
Введем две прямоугольные системы координат: локальную и глобальную.
Начало системы отсчета (точка Р) для локальной прямоугольной системы
координат выберем в точке наблюдения, лежащей на поверхности эллипсоида. Ось
РХ направим на Север, ось РУ? на Восток, а ось
по нормали к поверхности
эллипсоида вниз (по внутренней нормали). В этой системе координат
"горизонтальная" плоскость ХРУ не совпадает с плоскостью астрономического
горизонта.
Глобальную декартову геодезическую систему координат Oxyz строят так:
начало
отсчета совмещают с центром ОЗЭ (не путать с центром масс Земли!), плоскость
xOy -- c плоскостью экватора. Ось Ox совмещают с линией пересечения плоскости
нулевого меридиана и плоскости экватора. Ось Oy пересекает экватор в точке с
долготой 90°. Ось Oz совпадает с осью вращения ОЗЭ.
Эта ось не обязательно совпадает с осью вращения Земли. Для трехосного
ОЗЭ начало координат берут в центре масс Земли, а оси -- совпадающими с
главными осями инерции. В этом случае плоскость xOy, вообще говоря, не
будет лежать в плоскости экватора.
2.2 Сферическая система координат
Телом отсчета для сферической системы координат является сфера с радиусом
. Начало этой системы координат совмещают с центром сферы. Координатами
являются геоцентрическая широта 
, долгота 
и радиус-вектор 
. Широтой
называется угол между радиусом-вектором и плоскостью экватора. Долгота есть
угол между плоскостью, проходящей через заданную точку и осью вращения
(плоскость меридиана) и плоскостью меридиана, принятого в качестве нулевого.
Связь между сферической системой и глобальной декартовой определяется
формулами
В том случае, когда широта определяется как угол между плоскостью экватора и
отвесной линией, сферическая система координат называется астрономической. Широта и долгота, определенные
в этой системе мы будем обозначать через 
и 
.
2.3 Геодезическая система координат
С геодезической системой координат 
связывают понятия геодезической
широты, долготы и высоты. Геодезическая широта В есть угол, под которым
пересекается нормаль к поверхности эллипсоида с плоскостью экватора. Долгота
-- двугранный угол между плоскостью нулевого меридиана и плоскостью
меридиана, проходящего через заданную точку.
Геодезические широта и долгота отличаются от соответствующих астрономических координат, связанных с отвесной линией, так как отвесная линия не совпадает с нормалью к эллипсоиду. Отклонение отвесной линии можно спроецировать на две плоскости: плоскость меридиана и плоскость первого вертикала. Нетрудно понять, что обе эти составляющие можно определить через разности между астрономическими и геодезическими координатами
Отклонения отвесной линии составляют, как правило, первые несколько секунд дуги.
Заметим, что геодезическая и геоцентрическая долготы совпадают. Обе они определены как двугранный угол между плоскостью нулевого меридиана и плоскостью, содержащей ось вращения и заданную точку. Геоцентрическая же широта отличается от геодезической.
Рассмотрим точку 
, лежащую вне ОЗЭ. Опустим из этой точки перпендикуляр на
поверхность эллипсоида и продолжим его до пересечения с экваториальной
плоскостью (рис. 2).
Проекцию точки на поверхность эллипсоида обозначим через
Тогда отрезок PQ есть геодезическая высота точки .
Угол, под которым упомянутый
перпендикуляр пересекает плоскость экватора, есть геодезическая широта 
. Она
относится как к точке 
, так и к точке . Геоцентрические широты этих двух
точек, как видно из рисунка, различаются. Геоцентрическая широта точки угол
между радиус-вектором этой точки и плоскостью экватора.
Установим связь между координатами точки , сжатием эллипсоида 
и
широтами и . Поскольку точка лежит на поверхности эллипсоида, то ее
прямоугольные координаты
подчиняются уравнению
эллипсоида вращения:
. Рассмотрим сечение 
.
Тогда, как легко
видеть,
. Чтобы
определить 
, нужно найти угловой коэффициент нормали в точке .
Уравнение
нормали к кривой 
в точке
имеет вид
У нас
,
поэтому
,
,
Следовательно,
Определим отличие геоцентрической широты от геодезической .
Имеем очевидные равенства
Второй эксцентриситет эллипса, как мы знаем, определяется следующим образом
, поэтому
Для Земли второй эксцентриситет мал, поэтому, пренебрегая малыми второго
порядка относительно сжатия, получим
. Можно
также считать, что
Учитывая сказанное, получим
Наибольшее отличие геодезической широты от геоцентрической достигается на
широте 45° и составляет
.
Связь глобальных декартовых координат с геоцентрическими определяется
формулами (2.1). Определим теперь формулы, связывающие декартовы
координаты с
геодезическими. Это означает, что бы должны определить координаты точки
через параметры эллипсоида и геодезические широту и долготу.
Поскольку
, для определения координат 
, 
, 
точки
достаточно, для начала,
определить только координаты и ,
то есть все рассуждения проводить только
для сечения . Обратимся к рис. 3.
Определим прямоугольные координаты точки , расположенной на высоте Н над
поверхностью эллипсоида. Сначала определим координаты проекции точки на
поверхность эллипсоида (точка ). Ее координаты в сечении Охz равны
Индексом "0" мы отметили принадлежность координат к точке, лежащей на поверхности эллипсоида. Как мы видели
поэтому
Остается определить радиус-вектор точки .
Воспользуемся уравнением эллипса
и выполним необходимые преобразования.
Выразим
и
через 
и
, для чего
воспользуемся приведенными выше формулами. Определим радиус-вектор точки
следовательно,
Обозначим
Теперь
Для произвольного сечения, проходящего через ось вращения 
,
будем иметь
Теперь поднимем точку на высоту Н и совместим ее с точкой .
Прямоугольные координаты изменятся на
Окончательно, теперь формулы для пересчета геодезических координат 
и Н в
прямоугольные 
примут вид
Здесь 
, определенный формулой (2.7) имеет простой геометрический смысл:
он равен отрезку нормали, проходящей через точку , от этой точки до точки
пересечения ее с осью вращения эллипсоида. Справедливость этого утверждения
предлагается доказать самостоятельно.
2.4 Эллипсоидальная система координат
Рассмотрим еще одну систему координат, имеющую приложение в теории гравитационного потенциала:
Эти формулы содержат не три, а четыре переменные величины. Четвертая переменная устанавливает семейство координатных поверхностей -- эллипсоидов. Убедимся в этом. Проделаем простые преобразования:
Разделив первое уравнение на
а второе -- на
, получим
Очевидно, что при
получим уравнение эллипсоида вращения
Поскольку
,
имеем
, отсюда
параметр 
имеет простой физический смысл: он равен половине межфокусного
расстояния. Понятно, что изменяя 
при условии
,
получим семейство софокусных
эллипсоидов, играющих важную роль в теории потенциала фигур равновесия
Построим теперь семейство координатных поверхностей
.
Проделаем очевидные
преобразования
меняя 
, получим семейство однополостных гиперболоидов вращения. Обозначив
, 
, получим уравнение гиперболоида в общепринятой форме.
Разделив у на х, получим
. Изменяя 
, получим семейство плоскостей,
проходящее через ось Оz. Все
три семейства поверхностей образуют взаимно ортогональную систему.
<< Лекция 1. Теория фигуры земли | Оглавление | Лекция 3. Теория потенциала >>
|
Публикации с ключевыми словами:
гравиметрия - потенциал - гравитационное поле - фигура Земли - геодезия
Публикации со словами: гравиметрия - потенциал - гравитационное поле - фигура Земли - геодезия | |
См. также:
Все публикации на ту же тему >> | |
