Астронет | Картинка дня | Обзоры astro-ph | Новости | Статьи | Книги | Карта неба | Созвездия | Переменные Звезды | Глоссарий

Физика космоса | Биографии | Словарь | Ключевые слова | Астрономия в России | Форумы | Семинары | Сверхновые

<< 3.9. Эпоха каталога, эпоха | Оглавление | 4. Системы координат на >>

Разделы

• 3.10.1. Законы Кеплера
• 3.10.2. Параметры и аномалии кеплеровской орбиты

---

3.10. Основы небесной механики

При определении динамических шкал времени, рассматриваемых в главе 5, нам потребуется знание основных законов небесной механики.

3.10.1. Законы Кеплера

Для определения системы координат необходимо сначала определить плоскость, затем в плоскости определить направление на выделенную точку. Тогда с единичным вектором , направленным в эту точку, можно связать ось , с перпендикуляром к плоскости - единичный вектор и ось ; единичный вектор (ось системы координат) определяется на основе векторного произведения так, чтобы система осей была правой ( ).

Рассмотрим вопрос, как в пространстве определить эту плоскость и оси, лежащие в плоскости.

В основе динамического метода определения системы координат лежат уравнения динамики - и в первую очередь закон притяжения Ньютона. Согласно этому закону два тела с массами и притягиваются с силой , где - расстояние между телами. Коэффициент называется постоянной тяготения. Если тела расположены в точках и с декартовыми координатами и , соответственно, то движение тела с массой описывается уравнениями:

точками обозначено дифференцирование по времени: и т.д. Под действием той же силы, но противоположного знака, тело с массой движется согласно уравнениям:

Введем обозначения: , , , . Вычитая из уравнений (3.28) уравнения (3.29), получим

В уравнения (3.30-3.32) входят лишь относительные координаты двух точек, т.е. уравнения движения не зависят от положения начала системы координат. Умножая уравнение (3.30) на , а уравнение (3.31) на , и затем вычитая из первого уравнения второе, получим

или

Из (3.33) следует, что величина в скобках не зависит от времени, т.е.

Аналогичным образом из уравнений (3.31),(3.32) получим выражение:

а из (3.30) и (3.32):

Уравнения (3.34-3.36) называются интегралами площадей, а постоянные - постоянными площадей.

Умножая уравнение (3.34) на , (3.35) - на , (3.36) - на и складывая, находим, что

Уравнение (3.37) - это уравнение плоскости. Значит, два тела, движущиеся в пространстве под действием силы притяжения, всегда находятся в одной и той же плоскости; траектория тела 2 относительно тела 1 является плоской кривой и называется орбитой. Другими словами орбита одного тела относительно другого лежит в плоскости.

Расположим оси системы координат, которую мы хотим определить в плоскости орбиты, а ось будет перпендикулярна ей. Точку (начало системы координат) совместим с телом с массой . Тогда уравнения движения (3.30-3.32) можно записать в виде:

где - вектор, направленный от тела 1 к телу 2. Умножая векторно (3.38) на слева, получим

так как . Интегрируя, мы получим, что

где -не зависящий от времени вектор. Вектор называется вектором углового момента, и согласно определению векторного произведения он перпендикулярен плоскости орбиты, в которой лежат и радиус-вектор , и вектор скорости . Уравнение (3.39) эквивалентно уравнению (3.37): постоянные представляют собой проекции на оси инерциальной системы координат.

Умножим теперь уравнения (3.30-3.32) соответственно на , , и сложим. Координаты являются координатами тела 2 относительно тела 1. В результате получим следующее уравнение:

Так как , то имеем

вследствие чего предыдущее уравнение примет вид

Интегрирование уравнения дает:

где - квадрат скорости тела 2, движущегося относительно тела 1. Произвольная постоянная в уравнении (3.40) называется постоянной энергии. Она может быть величиной равной нулю, положительной или отрицательной. В небесной механике доказывается, что от величины постоянной энергии зависит тип орбиты тела: при орбита есть эллипс, при - парабола и при - гипербола.

Так как орбита лежит в плоскости, и положение тела 2 относительно тела 1 определяется лишь координатами , то удобно для дальнейших вычислений ввести полярные координаты (рис. 3.12), так что

В полярной системе координат введем два единичных вектора , причем первый из них направлен вдоль , а второй-перпендикулярен ему и направлен в сторону увеличения угла . Тогда

или в векторном виде

Следовательно, в полярных координатах уравнение углового момента (3.39) имеет вид:

или

где -единичный вектор, направленный вдоль вектора и, согласно нашему определению совпадающий с направлением оси . Значит,

Допустим, что в момент тело 2 находилось на расстоянии от тела 1, а через промежуток времени переместилось на угол , причем расстояние стало равняться . Считая, что промежуток времени мал, можно считать дугу, по которой движется тело 2, прямой линией. Тогда площадь сектора, который образуют два радиус-вектора и , будет близок к площади треугольника, равной . Устремляя к нулю и деля на промежуток времени , находим, что площадь сектора, описываемая телом равна . Следовательно, на основе уравнения (3.42) можно утверждать, что за одинаковые промежутки времени радиус-вектор описывает равные площади, причем величина углового момента равна удвоенной площади сектора. Это - второй закон Кеплера.

Запишем теперь уравнение (3.38) в полярных координатах. Так как производная уже найдена (3.41), то

Единичные векторы , меняют направление со временем, поэтому меняются их проекции на оси . Следовательно, производные , не равны нулю. Чтобы их вычислить, найдем производную единичного вектора по углу (рис. 3.12). Так как

то,

Из последнего выражения находим

Аналогичным образом найдем выражение для производной :

Подставляя значения производных , в уравнение (3.43) и приводя подобные члены, получим, что ускорение тела разлагается на две компоненты - радиальную и нормальную составляющие:

Так как второй член в скобках можно записать в виде:

то из второго закона Кеплера (3.42) следует его равенство (нормальной составляющей ускорения) нулю.

Полагая, что , запишем уравнение (3.38) в полярных координатах в следующем виде:

Дифференциальные уравнения (3.42) и (3.44) описывают зависимость расстояния одного тела относительно другого и угла от времени. Для решения этих уравнений обычно исключают время из (3.44) с помощью (3.42). Для удобства введем параметр , так что

Тогда закон Кеплера (3.42) записывается в виде: . Теперь выразим производную через параметр . Для этого найдем сначала производную :

и, учитывая, что является неявной функцией , , получим

После подстановки в уравнение (3.44) найдем:

или

Решение дифференциального уравнения второго порядка (3.45) записывается в виде:

где и - две константы интегрирования. Непосредственной подстановкой можно убедиться, что является решением уравнения (3.45). Заменяя на и вводя новые параметры: , , находим уравнение траектории тела в полярных координатах:

Уравнение (3.46) является уравнением конических сечений. Вид орбиты зависит от параметра - эксцентриситета орбиты. Если , то траектория является эллипсом, если , то - параболой, если , то - гиперболой. Вид орбиты можно определить также по величине постоянной энергии в уравнении (3.40), которая зависит от скорости и радиуса-вектора тела. Поэтому удобно связать вид орбиты с начальными параметрами и :

Ограничимся сейчас случаем, когда . В этом случае уравнение (3.46) является математической формой первого закона Кеплера.

Если тело с массой назвать Солнцем, другое тело - планетой, то первый закон Кеплера формулируется следующим образом: планета движется по эллипсу, в одном из фокусов которого находится Солнце. Параметр называется параметром эллипса и связан с большой полуосью эллипса формулой: . Малая полуось может быть выражена через и : (рис. 3.13). На рис. 3.13 Солнце находится в точке , планета - в точке , ось направлена в точку восходящего узла орбиты, а ось - в точку орбиты, ближайшей к Солнцу, которая называется перигелием. Угол называется долготой перигелия.

Если обозначить период обращения планеты как , то согласно второму закону Кеплера за время планета опишет полный эллипс, площадь которого равна . Отношение площади эллипса к периоду обращения равно половине углового момента планеты, т.е.

Следовательно

Так как , то . Исключая из (3.48), находим:

Период обращения зависит только от суммы масс тел, так как , и величины большой полуоси орбиты.

В случае, когда на тела 1 и 2 не действуют силы притяжения других тел (в небесной механике эта задача так и называется задачей двух тел), период обращения есть величина постоянная и может служить единицей времени. В начале XX века на основе наблюдений Солнца и Луны формировалась шкала эфемеридного времени (Ephemeris Time, ET). Так как из-за возмущений орбиты другими телами период обращения меняется, для построения шкалы ET необходимы были длительные наблюдения. Из-за сложности построения этой шкалы, а также из-за появления в середине 50-х годов XX века атомных стандартов частоты от шкалы времени, основанной на обращении Земли вокруг Солнца, пришлось отказаться. В настоящее время в основе счета времени лежит атомная шкала времени TAI, однако самой стабильной на больших интервалах времени может оказаться пульсарная шкала времени, причем пульсар является одной из звезд в двойной системе.

Обозначим через среднюю скорость движения планеты:

В небесной механике параметр называется средним движением. Если массу Солнца обозначить как , массу планеты - как , причем период обращения и большая полуось равны и , то

Аналогичное уравнение можно написать для другой планеты с массой , периодом обращения и большой полуосью :

Деля одно уравнение на другое, получим:

Уравнение (3.51) является математической записью третьего закона Кеплера. Так как для самой массивной планеты в солнечной системе - Юпитера отношение , то величина в левой части (3.51) отличается от единицы в третьем знаке. Следовательно, с точностью до имеем

Квадраты периодов обращения планет относятся как кубы их больших полуосей. Определяя большую полуось для Земли как 1 астрономическую единицу (1 а.е.) (это - неправильное определение астрономической единицы; см. главу 9) и как 1 год, то, измеряя период обращения какой либо планеты (в годах), можно записать третий закон Кеплера в форме:

где - большая полуось и период обращения любой планеты. Таким образом третий закон Кеплера устанавливает лишь относительные размеры орбит планет. Чтобы установить истинные размеры в солнечной системе необходимо знать величину 1 а.е. в метрах. В начале XX века для этого использовались наблюдения Солнца и вычислялась величина солнечного параллакса (см. стр. ). Затем на смену оптическим наблюдениям пришли более точные методы радиолокации планет, что позволило определить значение 1 а.е. с ошибкой в несколько метров.

3.10.2. Параметры и аномалии кеплеровской орбиты

При рассмотрении движения планет можно ограничиться только случаем эллиптического движения. Орбита планеты в этом случае характеризуется шестью параметрами.

Определим систему координат , связанную с орбитой планеты. Точка орбиты, ближайшая к Солнцу, называется перигелием, а наиболее удаленная от Солнца - афелием. Ось направим в перигелий, ось - перпендикулярно плоскости орбиты. Точки пересечения плоскости орбиты планеты и эклиптики называются узлами орбиты, причем восходящим узлом называется тот, который планета проходит, переходя из области отрицательных широт в область положительных широт. Графическое представление и параметры кеплеровской орбиты показаны на рис. 3.14.

Ориентация орбиты в пространстве (ориентация системы координат относительно гелиоцентрической системы ) описывается тремя углами. Угол между направлением на точку весеннего равноденствия и точку восходящего узла называется долготой восходящего узла и обозначается . Двугранный угол между плоскостями орбиты и эклиптики называется наклонением орбиты и обозначается как . Третьим углом, который обозначается и называется аргументом перигелия, является угол между направлениями на восходящий узел и перигелий. Так как угол постоянен, то это означает неизменность положения оси и в плоскости орбиты, и в пространстве.

Следующие два параметра: большая полуось и эксцентриситет определяют размеры и форму орбиты. И, наконец, положение тела на орбите в начальный момент определяется эпохой прохождения через перигелий - .

Мгновенное положение планеты на момент определяется углом , который называется истинной аномалией (рис. 3.15).

Помимо истинной аномалии в небесной механике используются эксцентрическая и средняя аномалии. Построим окружность радиуса , равным большой полуоси эллипса, с центром, который совпадает с центром эллипса . Опустим перпендикуляр на ось ; тогда его продолжение пересечет окружность в точке . Угол называется эксцентрической аномалией. Угол, равный средней аномалии, определяется средним движением и равен

Часто в небесной механике и астрометрии используется величина, определяемая формулой

и называемая средней долготой, где - долгота перигелия.

Так как движение планеты при кеплеровском движении происходит в плоскости, то положение планеты определяется проекциями радиус-вектора , которые равны . Проекция на ось равна нулю: . Из рис. 3.15 очевидно, что

Также, используя рис. 3.15, находим, что

Далее, с одной стороны,

с другой стороны, используя свойства эллипса, имеем

Следовательно, соотношение (3.55) можно переписать в виде:

Так как , из (3.56) и (3.46) находим:

Из выражений (3.56), (3.57) и формулы тангенса половинного угла получим выражение, связывающее истинную и эксцентрическую аномалии:

Углы и зависят от времени. Дифференцируя уравнение (3.58) по времени, найдем, что

После несложных преобразований выразим через :

Теперь вернемся к уравнению (3.42). Так как , то уравнение (3.42) можно переписать в виде:

Заменяя выражением (3.57), - на (3.59) и на , получим:

Интегрируя

получим трансцендентное уравнение, связывающее эксцентрическую и среднюю аномалии, которое называется уравнением Кеплера:

где есть постоянная интегрирования - момент прохождения через перигелий.

Найдем теперь вектор скорости . Заметим, что . Вектор скорости лежит в плоскости орбиты, следовательно, его проекция на ось равна нулю. Из (3.56) находим проекции :

и квадрат скорости

Дифференцируя по времени вектор скорости (3.62) и учитывая, что , найдем вектор ускорения тела при движении по кеплеровской орбите, который также лежит в плоскости орбиты:

Для вычисления прямоугольных координат и проекций скорости тела в гелиоцентрической системе координат достаточно найти матрицу поворота системы . Если матрица известна, то преобразование записывается в виде матричных уравнений:

Матрица вычисляется следующим образом (см. рис. 3.14): сначала выполняем поворот относительно оси на угол до совмещения оси с линией узлов, затем - поворот относительно линии узлов на угол и, наконец, поворот относительно оси на угол :

Если элементы орбиты тела известны, то его положение и скорость в эклиптической системе координат в любой момент времени определяются следующей последовательностью вычислений: 1) сначала находится средняя аномалия по формуле (3.53); 2) решая уравнение Кеплера (3.61), находим эксцентрическую аномалию ; 3) зная , получим радиус-вектор тела  (3.57) и его проекции в орбитальной системе координат (3.56); 4) и, используя уравнения (3.65) и матрицу (3.66), получим прямоугольные эклиптические координаты и проекции скорости тела.

Если эксцентриситет орбиты мал, то удобным методом решения уравнения Кеплера является метод итераций. На первом шаге предполагается, что . Тогда процесс итераций

можно остановить, когда разность станет меньше некоторого заранее заданного числа. Ограничимся сейчас тремя итерациями и выразим в явном виде как функцию . Имеем

Считая, что , получим с точностью до ряд

Выразим теперь в виде ряда по степеням экцентриситета истинную аномалию как функцию средней аномалии . Для этого умножим сначала первое уравнение (3.56) на , второе - на и сложим результат. После приведения подобных членов получим:

Разлагая в ряд и деля обе части уравнения на , находим, что

При можно разложить знаменатель в ряд по степеням , затем (так как равны арксинусу малого угла, пропорционального ,) разложить арксинус. Сохраняя члены до , получим:

Выразим теперь через , используя ряд (3.67). Имеем

После простых тригонометрических преобразований находим, что

Аналогично находим, что

Подставив в ряд (3.68) разложения (3.67), , как функции , после приведения подобных членов получим уравнение, называемое уравнением центра:

В заключение этого раздела рассмотрим движение Земли по орбите.
1) Центр тяжести Земли движется относительно центра масс системы Земля+Луна. Последний находится на линии, соединяющей центры масс Земли и Луны, на расстоянии, равном км от центра тяжести Земли, где - расстояние между Землей и Луной, массы которых равны .
2) Центр тяжести системы Земля+Луна движется вокруг Солнца по орбите, элементы которой не являются постоянными, а являются функциями времени. Орбита близка к круговой; эксцентриситет орбиты равен . Орбита центра тяжести системы Земля+Луна является возмущенной вследствие притяжения Земли, Луны и Солнца планетами. Из-за возмущений движение центра тяжести системы Земля+Луна отличается от кеплеровского движения, однако это отличие не превышает в долготе , в широте .
3) Центр Солнца движется относительно центра тяжести солнечной системы - барицентра. Движение центра Солнца относительно барицентра солнечной системы определяется, главным образом, двумя наиболее массивными планетами - Юпитером и Сатурном и представляется двумя почти круговыми движениями с периодами обращения этих планет ( и лет). Радиус круговых движений центра Солнца относительно барицентра равен примерно для Юпитера и для Сатурна ( и - отношения массы Солнца к массам Юпитера и Сатурна) (рис. 3.16).

Солнце удаляется от центра масс солнечной системы на величину, не превышающую двух радиусов Солнца.

Орбитальные скорости движения Юпитера и Сатурна равны примерно 13 км/с и 9,5 км/с, соответственно компоненты скорости движения центра Солнца, вызываемые этими планетами, составляют , .

---

<< 3.9. Эпоха каталога, эпоха | Оглавление | 4. Системы координат на >>

Публикации с ключевыми словами: астрометрия - сферическая астрономия - системы координат - шкалы времени Публикации со словами: астрометрия - сферическая астрономия - системы координат - шкалы времени
См. также: 80 лет со дня рождения Альберта Петровича Гуляева Руководство по практической работе с каталогом Hipparcos К 70-летию Вилена Валентиновича Нестерова Полная версия "Сферической астрономии" В.Е.Жарова Обзор геостационарной орбиты на двойном астрографе УАФО Отдел пульсарной астрометрии ПРАО АКЦ ФИАН Прямое определение расстояния до центра Галактики Все публикации на ту же тему >>