Астронет > 2.2 Приложение процедуры Белинфанте к модели Каца, Бичака и Линден-Белла

Астронет: А. Н. Петров/ГАИШ Законы сохранения в ОТО и их приложения
http://variable-stars.ru/db/msg/1170672/node9.html

<< 2.1 Классический метод Белинфанте | Оглавление | 2.3 Обобщенная процедура Белинфанте ... >>

Разделы

2.2 Приложение процедуры Белинфанте к модели Каца, Бичака и Линден-Белла

2.2.1 Обоснование использования метода Белинфанте в модели КБЛ

Необходимость использования фона заложена в самом определении метода Белинфанте [1]. В теориях с лагранжианом (2.9) взаимодействия расссматриваются на заданном фоне, который является необходимой составляющей модели, и это приводит к успеху применения метода. Симметризуя псевдотензор Эйнштейна, Папапетроу [3] вынужден был использовать вспомогательную метрику Минковского. И, действительно, применение этого метода в ОТО без использования фона [4] дает ,,неразумные'' нулевые результаты для сохраняющихся величин. Можно ли в ОТО, в более сложных случаях, чем рассмотрел Папапетроу [3], применять этот метод?

Cнова вспомним о модели Каца-Бичака-Линден-Белла [5] (КБЛ), которая была подробно изложена в лекции 1. С одной стороны, в модель КБЛ включена фоновая метрика, напомним, КБЛ лагранжиан есть

$\begin{displaymath} {\hat{\cal L}}_G = {\hat{\cal L}} - \bar {{\hat{\cal L}}} ... ... \over 2\kappa} \left(\hat R + \partial_\mu \hat k^\mu\right), \end{displaymath}$

(2.20)

где

$\hat R = \hat g^{\theta\sigma}\left( \overline D_\rho \Delta^\rho_{\theta\sigm... ...a^\eta_{\theta\rho}\right) + \hat g^{\theta\sigma}\overline R_{\theta\sigma},$

$\hat k^\mu = \hat g^{\mu\rho} \Delta^\sigma_{\rho\sigma} - \hat g^{\rho\sigma} \Delta^\mu_{\rho\sigma}$ ,

$\Delta^\alpha_{\mu\nu} \equiv {\textstyle{\frac{1}{2}}} g^{\alpha\beta} \left(\... ...} g_{\mu\nu}\right) = \Gamma^\alpha_{\mu\nu} - \overline \Gamma^\alpha_{\mu\nu}$ .

С другой стороны, в законе сохранения КБЛ

$\begin{displaymath} J^\mu(\xi) = \partial_\nu \hat J^{\mu\nu} (\xi) \end{displaymath}$

(2.21)

форма тока стандартна:

$\begin{displaymath} \hat J^\mu = \hat \theta^\mu_\nu \xi^\nu + \hat \sigma^{\mu\rho\sigma}\overline D_{[\rho}\xi_{\sigma]}+ \hat Z^\mu(\xi), \end{displaymath}$

(2.22)

с обобщенным тензором энергии-импульса $\hat \theta^\mu_\nu$ и представленным явно спиновым членом $\hat \sigma^{\mu\rho\sigma}$ . Процедура Белинфанте как раз должна преобразовать $\hat \theta^\mu_\nu$ так, чтобы спиновый член исчез из явного рассмотрения как это происходит в (2.19). Таким образом мы имеем хорошие предпосылки для применения метода Белинфанте к модели КБЛ. Возникает вопрос: А зачем как-то изменять КБЛ модель, которая обладает рядом достоинств, удовлетворяя требованиям (i) - (vii) отмеченным в лекции 1? Оказывается, кроме достоинств, существуют и проблемные вопросы, которые можно предъявить к КБЛ модели, и которые можно разрешить Белинфанте методом.

1. Один из них состоит в том, что невозможно построить угловой момент изолированной системы только с помощью $\hat \theta^\mu_\nu$ , необходимо привлечь тензор спина $\hat \sigma^{\mu\rho\sigma}$ . Представляется более предпочтительным, если одни и те же свойства модели описываются минимальным количеством объектов, а лучше единым. Именно для этого предназначен Белинфанте метод. Именно поэтому многие авторы 50-х годов, включая Ландау и Лифшица [6], Голдберга [7], стремились построить симметричные псевдотензоры. Стараясь избежать использования спинового члена, Папапетроу [3] применил метод Белинфанте к псевдотензору Эйнштейна.
2. Другой вопрос состоит в том, что форма канонических величин, определяемых методом Нетер, зависит от дивергенций, которые могут быть добавлены к лагранжиану. А это означает, что для разных граничных условий мы должны использовать каждый раз совсем различные величины. С одной стороны, в этом нет трагедии. В термодинамике так и происходит, и авторы работ [8] $^{\!, }$ [9], аппелируя к такой аналогии находят в этом преимущество. С другой стороны, например, выражение для плотности энергии вибрирующей струны не зависит от того, как закреплены ее концы, оно всегда одно и то же. Исходя из этого мы хотели бы изменить так КБЛ модель, чтобы общая форма сохраняющегося тока и суперпотенциала не зависели от дивергенций в лагранжиане.

2.2.2 Приложение метода Белинфанте к КБЛ модели

В остатке этой части лекции 2 излагаются результаты, опубликованные в работах [10] $^{\!- }$ [12]. Итак, для спиновых коэффициентов КБЛ построим поправку Белинфанте по стандартным правилам (2.17):

$\begin{displaymath} \hat{S}^{\mu\nu\rho}= - \hat{S}^{\nu\mu\rho}=\hat\sigma^{\rho[\mu\nu]}+ \hat\sigma^{\mu[\rho\nu]}-\hat\sigma^{\nu[\rho\mu]}. \end{displaymath}$

(2.23)

Перепишем закон сохранения КБЛ (2.21) в эквивалентной форме:


		$\displaystyle \hat J^\mu + \partial_\nu\left(\hat{S}^{\mu\nu\rho}\xi_\rho\right) = \partial_\nu\left(\hat J^{\mu\nu}+\hat{S}^{\mu\nu\rho}\xi_\rho\right),$

где введем обозначения для новых тока и суперпотенциала, и представим структуру тока:

$\begin{displaymath} \hat {\cal I}^{\mu} = \hat {\cal T}^\mu_\nu\xi^\nu + \hat {\cal Z}^\mu = \partial_\nu\hat {\cal I}^{\mu\nu}. \end{displaymath}$

(2.24)

Заметим, что спиновый член, как и положено, отсутствует. ,,Симметризованный'' обобщенный тензор энергии-импульса имеет вид:

$\begin{displaymath} \hat {\cal T}^\mu_\nu= \hat \theta^\mu_\nu + \bar D_\rho \hat S^{\mu\rho}_{ \nu}, \end{displaymath}$

(2.25)

а Z-член, как и везде, обращается в нуль на киллинговых векторах фона.

Новый суперпотенциал имеет форму:

$\begin{displaymath} \hat {\cal I}^{\mu\nu}= {1 \over \kappa} \hat l^{\rho[\mu}\o... ...\rho\xi^{\nu]} + \hat {\cal P}^{\mu\nu}{_\lambda} \xi^\lambda, \end{displaymath}$

(2.26)

где $\hat l^{\mu\nu} \equiv \hat g^{\mu\nu} - \overline {\hat g}^{\mu\nu}$ -- возмущение метрической плотности относительно фоновой. Суперпотенгциал (2.26) антисимметричен, поскольку тензорная плотность $\hat {\cal P}^{\nu\mu\rho}$ антисимметрична по первым двум индексам. Величина

$\begin{displaymath} \hat {\cal P}^{\mu\nu\rho} = {1 \over 2\kappa} \overline D_\... ...u} \hat l^{\nu\rho}+\bar g^{\sigma\nu} \hat l^{\mu\rho}\right) \end{displaymath}$

(2.27)

интересна и сама по себе: для ${\bar g}^{\mu\nu} = {\eta}^{\mu\nu}$ она переходит в известный суперпотенциал Папапетроу [3]. Таким образом суперпотенциал (2.26) является обобщением суперпотенциала Папапетроу на произвольно искривленный фон и для произвольных векторов $\xi^\alpha$ .

2.2.3 Свойства новых законов сохранения

В результате сохранены все полезные свойства КБЛ модели, коротко повторим их:

(i) Построен сохраняющийся ток: $\hat {\cal I}^\mu = \hat {\cal T}^\mu_\nu\xi^\nu + \hat {\cal Z}^\mu := \partial_\mu {\cal I}^\mu =0$ .
(ii) ${\cal I}^\mu(\xi)$ определяется Нетер-Белинфанте процедурой и данным лагранжианом. См. обсуждение вопроса единственности в следующей части лекции 2.
(iii) Сохранена общая ковариантность.
(iv) Законы сохранения работают на произвольно искривленных фонах.
(v) Используются произвольные $\xi^\mu$ .
(vi) Построен соответствующий антисимметричный суперпотенциал.
(vii) Удовлетворяются необходимые естественные тесты.

Кроме сохраненных свойств появились новые:

$\clubsuit$ (viii) Спиновый член исчез из определения тока. Для любого фонового вектора Киллинга (в том числе для пространственных вращений, если они присутствуют) будет использоваться сохраняющийся ток, определяемый ТОЛЬКО обобщенным тензором энергии-импульса: $\partial_\mu \left(\hat {\cal T}^\mu_\nu{\bar\xi}^\nu\right) = 0$ . См. также обсуждение далее.
$\clubsuit$ (ix) Величины $\hat {\cal T}^\mu_\nu$ , $\hat {\cal Z}^\mu$ и $\hat {\cal I}^{\mu\nu}$ не зависят от дивергенций в лагранжиане. См. обсуждение в следующей части лекции 2.
$\clubsuit$ (x) Свойства нового обобщенного тензора энергии-импульса.
Tензор энергии-импульса в (2.24) имеет вид:

$\begin{displaymath} \hat {\cal T}^{\mu\nu} = (\hat T^{(\mu}_\rho\overline g^{\nu... ... {1\over \kappa} {\hat l}^{\lambda[\mu} \bar R^{\nu]}_\lambda. \end{displaymath}$ (2.28)

(a) Как и в каноническом аналоге, первое слагаемое -- это возмущение материального тензора энергии-импульса, правда теперь симметризованное.
(b) Второй член -- это симметричный тензор энергии-импульса свободного гравитационного поля:

$\displaystyle \kappa \hat \tau^{\mu\nu}$ = $\displaystyle {\textstyle{\frac{1}{2}}} \left(\hat l^{\mu\nu}\overline g^{\rho\... ...u\nu}\hat l^{\rho\sigma}\right) \overline D_\sigma \Delta^\lambda_{\rho\lambda}$

+ $\displaystyle \left(\hat l^{\rho\sigma} \overline g^{\lambda(\mu} - \overline g... ...igma}\hat l^{\lambda(\mu}\right) \overline D_\sigma \Delta^{\nu)}_{\lambda\rho}$

+ $\displaystyle \overline g^{\rho\sigma}\left({\textstyle{\frac{1}{2}}}\hat g^{\m... ...hat g^{\lambda\eta}\Delta^{(\mu}_{\lambda\rho}\Delta^{\nu)}_{\eta\sigma}\right)$

+ $\displaystyle \overline g^{\rho\sigma}\left(\Delta^{\lambda}_{\sigma\eta}\Delta... ...Delta^{\lambda}_{\sigma\lambda}\Delta^{(\mu}_{\eta\rho}\hat g^{\nu)\eta}\right)$

+ $\displaystyle {\textstyle{\frac{1}{2}}} \hat g^{\lambda\eta} \overline g^{\mu\nu}\Delta^\sigma_{\rho\lambda}\Delta^\rho_{\sigma\eta}$

+ $\displaystyle \hat g^{\lambda\eta} \left(\Delta^{\sigma}_{\rho\sigma}\Delta^{(\... ...^{\sigma}_{\lambda\rho}\Delta^{(\mu}_{\eta\sigma}\right)\overline g^{\nu)\rho}.$ (2.29)

(c) Последние два члена в (2.28) отвечают за ,,потенциальное'' взаимодействие с фоновой геометрией. Первый из них симметричен, второй -- антисимметричен. Это приводит к тому, что $\hat {\cal T}^{\mu\nu}=\hat {\cal T}^{\nu\mu}$ если и только если $\overline R_{\mu\nu} = \overline \Lambda \bar g_{\mu\nu}$ с постоянной $\overline \Lambda$ , то есть если фоновое пространство-время -- это пространство Эйнштейна по Петрову [13]. Таким образом, симметризация Белинфанте при обобщении на искривленные фоны оказалась ограниченной -- в смысле ,,симметризации'' -- пространствами Эйнштейна.
(d) В лекции 1 мы определились, что для построения глобальных законов сохранения важным является ,,дифференциальное'' сохранение тока. Тем не менее, интересно: выполняется ли дифференциальный закон сохранения для обобщенного тензора энергии-импульса? Оказывается, что $\overline D_\nu \hat {\cal T}^{\mu\nu}= 0$ если и только если $\overline R_{\mu\nu} = \overline \Lambda \bar g_{\mu\nu}$ , для более сложных $\overline R_{\mu\nu}$ получим $\overline D_\nu \hat {\cal T}^{\mu\nu}\neq 0$ .
(e) Несмотря на то, что в случае самого общего фона нет симметризации тензора энергии-импульса и нет дифференциального закона сохранения для тензора энергии-импульса, метод Белинфанте выпонил свою задачу. Ток сохраняется на всех произвольно искривленных фонах без явного участия спинового члена. В случае если $\xi^\mu$ равен ${\bar\xi}^\mu$ -- вектору Киллинга фона, то этот закон сохранения упрощается до: $\partial_\mu \left(\hat {\cal T}^\mu_\nu{\bar\xi}^\nu\right) = 0$ , где участвует только $\hat {\cal T}^{\mu\nu}$ , хотя бы и не симметричный(!), хотя бы и $\overline D_\nu \hat {\cal T}^{\mu\nu}\neq 0$ (!). Это представляется важным для приложений в космологических задачах. Действительно, решения Фридмана не являются пространствами Эйнштейна, но они обладают, например, киллинговыми векторами вращений ${\bar\xi}^\mu{(\vec r)}$ . Это значит, что с помощью $\partial_\mu \left(\hat {\cal T}^\mu_\nu{\bar\xi}^\nu{(\vec r)}\right) = 0$ , могут быть расчитаны угловые моменты астрофизических объектов на фоне фридмановской геометрии.
(f) Остался вопрос о вторых производных в тензоре энергии-импульса (2.29). Вообще говоря, в теории с уравнениями второго порядка их присутствие в тензоре энергии-импульса нежелательно в смысле постановки начальной задачи. Многие авторы (см., например, недавнюю работу [14]), предпочитают иметь только первые производные в тензоре энергии-им- пульса. Но давайте обсудим, так ли плохи наши дела. Пусть начальная гиперповерхность задается как x⁰=0. Глобальные величины, как мы их определили в лекции 1, задаются нулевой компонентой тока:

$\displaystyle {\cal P}(\xi) = \int_{\Sigma} \hat J^0(\xi)d^3 x = \oint_{\partial\Sigma} \hat J^{0k}(\xi)ds_k.$

Нулевая компонента нового тока $\hat {\cal I}^\alpha$ выражается через ток КБЛ и поправку Белинфанте как $\hat {\cal I}^0= \hat J^0 + \partial_k (\hat S^{0k\sigma}\xi_\sigma)$ ; (k=1, 2, 3). Осталась только пространственная дивергенция по причине, что поправка $\hat S^{\alpha\beta\sigma}$ атисимметрична по первым двум индексам. Но поскольку КБЛ ток $\hat J^\alpha$ и поправка $\hat S^{\alpha\beta\sigma}$ зависят только от первых производных, то $\hat {\cal I}^{0}$ содержит только первые временные производные. Таким образом, начальная задача может быть определена корректно.
$\clubsuit$ (xi) Наконец, обсудим свойства нового суперпотенциала (2.26).
(a) Как мы уже отметили, (2.26) антисимметричен в силу антисимметрии величины $\hat {\cal P}^{\mu\nu}{_\lambda} = -\hat {\cal P}^{\nu\mu}{_\lambda}$ , определенной в (2.27). Мы также отметили, что суперпотенциал (2.26) обобщает суперпотенциал Папапетроу [3].
(b) На наш взгляд кажется важным, что новый суперпотенцил линейно зависит от возмущений метрической плотности: $\hat l^{\mu\nu} \equiv \hat g^{\mu\nu} - \overline {\hat g}^{\mu\nu}$ . Действительно, модель построена без приближений, и в задачах, где рассмативаются возмущения относительно заданного фона мы могли бы не заботиться о проблеме сходимости аппроксимаций в каждом следующем порядке в зависимости от малости $\hat l^{\mu\nu}$ , так как наше выражение для суперпотенциала точное.
(c) Существует другая полезная форма нового суперпотенциала:

$\displaystyle \hat {\cal I}^{\mu\nu}= {1 \over \kappa} \left(\hat l^{\rho[\mu}\... ...igma \hat l^{\nu]\sigma}-\bar D^{[\mu}\hat l^{\nu ]}_\sigma \xi^\sigma \right).$

По форме этот суперпотенциал совпадает с суперпотенциалом Абботта-Дезера [15], однако они расходятся начиная со второго порядка возмущений, и это важно. Как было отмечено, наш новый суперпотенциал (2.26) удовлетворяет всем признанным естественным тестам, в то время как суперпотенциал Абботта-Дезера не дает правильного 4-импульса Бонди-Сакса для излучающей системы [12].

<< 2.1 Классический метод Белинфанте | Оглавление | 2.3 Обобщенная процедура Белинфанте ... >>

$\displaystyle \kappa \hat \tau^{\mu\nu}$	=	$\displaystyle {\textstyle{\frac{1}{2}}} \left(\hat l^{\mu\nu}\overline g^{\rho\... ...u\nu}\hat l^{\rho\sigma}\right) \overline D_\sigma \Delta^\lambda_{\rho\lambda}$
	+	$\displaystyle \left(\hat l^{\rho\sigma} \overline g^{\lambda(\mu} - \overline g... ...igma}\hat l^{\lambda(\mu}\right) \overline D_\sigma \Delta^{\nu)}_{\lambda\rho}$
	+	$\displaystyle \overline g^{\rho\sigma}\left({\textstyle{\frac{1}{2}}}\hat g^{\m... ...hat g^{\lambda\eta}\Delta^{(\mu}_{\lambda\rho}\Delta^{\nu)}_{\eta\sigma}\right)$
	+	$\displaystyle \overline g^{\rho\sigma}\left(\Delta^{\lambda}_{\sigma\eta}\Delta... ...Delta^{\lambda}_{\sigma\lambda}\Delta^{(\mu}_{\eta\rho}\hat g^{\nu)\eta}\right)$
	+	$\displaystyle {\textstyle{\frac{1}{2}}} \hat g^{\lambda\eta} \overline g^{\mu\nu}\Delta^\sigma_{\rho\lambda}\Delta^\rho_{\sigma\eta}$
	+	$\displaystyle \hat g^{\lambda\eta} \left(\Delta^{\sigma}_{\rho\sigma}\Delta^{(\... ...^{\sigma}_{\lambda\rho}\Delta^{(\mu}_{\eta\sigma}\right)\overline g^{\nu)\rho}.$	(2.29)


		$\displaystyle {\cal P}(\xi) = \int_{\Sigma} \hat J^0(\xi)d^3 x = \oint_{\partial\Sigma} \hat J^{0k}(\xi)ds_k.$


		$\displaystyle \hat {\cal I}^{\mu\nu}= {1 \over \kappa} \left(\hat l^{\rho[\mu}\... ...igma \hat l^{\nu]\sigma}-\bar D^{[\mu}\hat l^{\nu ]}_\sigma \xi^\sigma \right).$