Astronet Астронет: Я. Б. Зельдович, С. И. Блинников, Н. И. Шакура Физические основы строения и эволюции звезд
http://variable-stars.ru/db/msg/1169513/node14.html
Физические основы строения и эволюции звезд
<< 2.1 Уравнение Эмдена | Оглавление | 2.3 Частные случаи политропных >>

2.2 Основные параметры политропы

При данном $ \xi_1$ радиус звезды $ R=\alpha \xi_1$,

$\displaystyle \alpha={\left[(n+1)K\rho_c^{{1\over n}-1}/4\pi \,G\right]}^{1/2}. $

Введем безразмерную величину $ \mu_1=\int\limits_0^{\xi_1} \Theta^n \xi^2 d\xi$. Тогда масса звезды

$\displaystyle M=4\pi \int\limits_0^R \rho \,r^2dr=4\pi \alpha^3 \,\rho_c \mu_1, $

отсюда легко получить точную связь между центральной плотностью и массой звезды

$\displaystyle \rho_c=\lambda=(4\pi)^{n\over {3-n}}{\left({M\over \mu_1}\right)}^{2n\over {3-n}} {\left({G\over {(n+1)K}}\right)}^{3n\over {3-n}}. $

Для давления звезды в центре имеем

$\displaystyle P_c=p_1GM^{2/3} \,\rho_c^{4/3},$   где$\displaystyle \;p_1=(4\pi)^{1/3}/{(n+1)\mu_1^{2/3}}. $

Заметим, что $ P_c$ (при данных $ M, \;\rho_c$) не зависит от $ K$. Этот результат естествен, если вспомнить, что

$\displaystyle P\sim {GM^2\over R^4}\sim GM^{2/3} \,\rho_c^{4/3}. $

Но распределение давления по звезде зависит от $ n$, поэтому выражение для $ P_c$ содержит структурный множитель $ p_1(n)$. Введем еще множитель $ R_1(n)$ таким образом, чтобы

$\displaystyle R=R_1(n){[K^n \,G^{-n} \,M^{1-n}]}^{1/(3-n)}. $

В ряде случаев (например, в задачах вращения) важен момент инерции звезды, выражение для которого запишем в виде

$\displaystyle I=I_1MR^2. $

В таблице 1 мы приводим значения введенных нами структурных величин для наиболее важных значений $ n$. Выше (разделы 1.7; 1.8) были введены выражения для полной, гравитационной и тепловой энергий звезды. Интегрируя эти выражения для политропных шаров, можно получить следующие соотношения:

$\displaystyle {\cal{E}}=-{{3-n}\over {5-n}} \,{GM^2\over R}, \quad U=-{3\over {5-n}} \,{GM^2 \over R}, $

$\displaystyle Q={n\over {5-n}} \,{GM^2\over R}. $


Таблица 1.
$ n$ $ \xi_1$ $ \mu_1$ $ \rho_c/\rho_{cp}$ $ p_1$ $ I_1$ $ R_1(n)$
0 2.45 4.90 1.00 0.806 0.400 0.602
0.5 2.75 3.79 1.84 0.638 -- 0.832
1 3.14 3.14 3.29 0.542 0.261 1.253
1.5 3.65 2.71 5.99 0.478 0.205 2.35
2 4.35 2.41 11.4 0.431 0.155 7.53
2.5 5.36 2.19 23.4 0.394 0.112 186
3 6.90 2.02 54.2 0.364 0.075 --
4 14.97 1.80 622 0.315 -- 0.0517
5 $ \infty$ 1.73 $ \infty$ 0.269 0  

Однако есть более изящный способ вывода этих выражений с использованием соображений размерности и вариационного принципа.

Запишем выражение для полной энергии $ {\cal{E}}$ в виде $ {\cal{E}}=-aGM^2/R$, где $ a$ заранее не известно, и подставим зависимость $ R(M)$, тогда $ {\cal{E}}\sim GM^{2-{ {1-n}\over {3-n}}} \sim GM^{{5-n}\over {3-n}}$, или в дифференциальной форме $ d{\cal{E}}={{5-n}\over {3-n}}GM^{{{5-n}\over {3-n}}-1}\,dM$ $ ={{5-n}\over {3-n}}{{\cal{E}}\over M} \,dM$. Здесь $ d{\cal{E}}$ есть разность энергий двух равновесных звезд, массы которых различаются на $ dM$.

Но мы можем изменить $ {\cal{E}}$, добавляя массу $ dM$ на поверхность звезды (т.е. при $ P=0$). Тогда $ d{\cal{E}}=-{GM\over R} \,dM$, так как внутренняя энергия куска равна нулю, и изменилась только гравитационная энергия. Полученная конфигурация $ M+dM$ не является равновесной. Тем не менее согласно вариационному принципу с точностью до $ (dM)^2$ изменение энергии звезды безразлично к тому, каким образом меняется масса звезды. Поэтому $ d{\cal{E}}_1=d{\cal{E}}_2$, откуда

$\displaystyle {{5-n}\over {3-n}} \,{{\cal{E}}\over M}=-\; {GM\over R}$   и$\displaystyle \quad {\cal{E}}= -{{3-n}\over {5-n}} \,{GM^2\over R}. $

С другой стороны, по теореме вириала $ {Q\over U}=-\;{n\over 3}$,

$\displaystyle {\cal{E}}=Q+U={{3-n}\over 3}U={{n-3}\over n}Q. $

Таким образом,

$\displaystyle Q={n\over {5-n}} \,{GM^2\over R}, \quad U=-{3\over {5-n}} \,{GM^2\over R}. $


<< 2.1 Уравнение Эмдена | Оглавление | 2.3 Частные случаи политропных >>

Rambler's Top100 Яндекс цитирования