Автоколебания

Автоколебания - незатухающие колебания в диссипативной нелинейной системе, поддерживаемые за счет энергии внешнего источника, параметры которых (амплитуда, частота, спектр колебаний) определяются свойствами самой системы и не зависят от конечного изменения начальных условий. Термин автоколебания введён А. А. Андроновым в 1928.

Автоколебания принципиально отличаются от других колебательных процессов в диссипативных системах тем, что для их поддержания не требуется колебательных воздействий извне. Примеры автоколебаний: колебания скрипичной струны при движении смычка, тока в радиотехническом генераторе, воздуха в органной трубе, маятника в часах. Возникают автоколебания в результате развития колебательных неустойчивостей с их последующей стабилизацией из-за прекращения поступления энергии от источника или прогрессирующего возрастания потерь (диссипации). Режим стационарных автоколебаний определяется из условия энергетического баланса - в среднем за период диссипативные траты энергии Q(I) (I - интенсивность автоколебаний) должны точно компенсироваться поступлением энергии W(I) от источника:

Q(I₀)=W(I₀). Если в окрестности стационарного режима I₀ энергия потерь Q (I) при изменении I растет быстрее, чем приток энергии W(I), то этот режим автоколебаний, с энергетической точки зрения, устойчив (рис. 1, а); если же быстрее увеличивается W(I), то стационарный режим неустойчив (рис. 1, б). Даже в тех случаях, когда можно ввести функции Q и W, они обычно зависят не только от интенсивностей автоколебаний, но и от их фаз, поэтому энергетический метод определения устойчивости автоколебаний в общем случае неприменим. Системы, в которых автоколебания возникают "самопроизвольно" - без начального толчка, называются системами с мягким режимом возбуждения; если для возникновения автоколебаний необходим конечный начальный толчок, то говорят о жёстком режиме возбуждения.

В простейших автоколебательных системах можно выделить колебательную систему с затуханием, усилитель колебаний, нелинейный ограничитель и звено обратной связи. Например, в ламповом генераторе (генераторе Ван дер Поля, рис. 2, а, б) колебательный контур с потерями, состоящий из емкости С, индуктивности L и сопротивления R, представляет собой диссипативную колебательную систему, цепь "катод - сетка" и индуктивность L образуют цепь обратной связи. Случайно возникшие в колебательном контуре малые собственные колебания через катушку L управляют анодным током лампы, которая является усилителем. При положительной обратной связи (т. е. при определённом взаимном расположении катушек L и L₁) в контур вносится определенная энергия. Если эта энергия больше энергии потерь в контуре, то амплитуда малых вначале колебаний в контуре нарастает. Поскольку анодный ток лампы зависит от напряжения на сетке нелинейным образом (рис. 2, в), то при нарастании амплитуды колебаний энергия, поступающая в контур, уменьшается и при некоторой амплитуде колебаний становится равной энергии потерь. В результате устанавливается режим стационарных автоколебаний, при котором внешний источник (анодная батарея) компенсирует все потери энергии. Т. о., автоколебательные системы должны быть принципиально нелинейными - именно нелинейность не позволяет колебаниям безгранично нарастать, управляя поступлением и тратами энергии источника.

Чтобы определить характер автоколебаний и зависимость их амплитуды и формы от параметров системы, необходимо обратиться к анализу соответствующей математической модели. Для простейшего генератора (рис. 2, а) такой моделью может служить уравнение Ван дер Поля

(1)

которое получается при пренебрежении сеточными токами лампы и аппроксимации её характеристики кривой, представленной на рис. 2, в. Это уравнение записано в безразмерных переменных, где . Здесь - собственная частота колебательного контура, - параметр превышения над порогом генерации (при потеря в контуре больше, чем вносимая энергия), характеризует амплитуду автоколебаний, М - козффициент взаимной индукции, S₀ и S₂ - параметры вольт-амперной характеристики усилительной лампы. Тот факт, что автоколебания в рассматриваемой системе описываются дифференциальным уравнением 2-го порядка (его фазовое пространство - плоскость), сразу накладывает принципиальные ограничения на вид автоколебаний. В подобных системах возможны только периодические автоколебания.

Геометрическим образом установившихся автоколебаний в фазовом пространстве системы служит аттрактор - траектория (или множество траекторий), расположенная в ограниченной области фазового пространства и притягивающая к себе все близкие траектории. Поскольку на фазовой плоскости траектории пересекаться не могут, в системах 2-го порядка может существовать лишь простейший нетривиальный аттрактор - замкнутая траектория, к которой стремятся все ближайшие траектории. Такая траектория называется предельным циклом, который служит образом периодических автоколебаний. Размеры предельного цикла определяют амплитуду автоколебаний, время движения изображающей точки по циклу - период автоколебаний, а форма предельного цикла - форму колебаний. Величина характеризует нелинейность системы: чем больше нелинейность, тем больше форма колебаний отличается от синусоидальной (рис. 3). При малых потери в контуре и вносимая в него энергия очень малы - уравнение (1) близко к уравнению гармонического осциллятора, а автоколебания близки к синусоидальным с частотой .

В другом предельном случае () потери в контуре и вносимая в него энергия очень велики по сравнению с энергией в нем запасенной, поэтому колебания будут сильно отличаться от синусоидальных, превращаясь в релаксационные. Анализ таких автоколебаний удобно проводить, разделяя движения на участки быстрых и медленных движений (см. Релаксационные колебания}.

При изменении величины параметра не происходит никаких качественных изменений в структуре разбиения фазовой плоскости уравнения (1) на траектории - при любом в системе имеется единственное состояние равновесия (), которое неустойчиво, и единственный предельный цикл, который устойчив, Качественные перестройки - бифуркации происходят лишь при смене знака . Рассмотренная картина соответствует мягкому режиму возникновения автоколебаний, которому соответствует фазовый портрет, изображённый на рис. 4, а. В системах с жёстким режимом возбуждения колебания самопроизвольно нарастают лишь с некоторой начальной амплитудой, т. е. когда имеется толчок с амплитудой, большей некоторого критического значения; при этом на фазовом портрете (рис. 5) начальная точка должна лежать вне заштрихованной области, т. е. изображающая точка должна быть выведена за пределы области притяжения устойчивого состояния равновесия, границей которого служит неустойчивый предельный цикл.

В системах, даже незначительно более сложных, чем генератор на рис. 2, а, например в системах с полутора степенями свободы, возможны не только периодические и квазипериодические автоколебания (с несколькими несоизмеримыми частотами), но и автоколебания, ничем неотличимые от случайных - т. н. стохастические автоколебания. Примером такой автоколебательной системы - генератора шума, в котором хаотические колебания (колебания со сплошным спектром) совершаются в диссипативной системе за счёт энергии регулярных источников, может служить генератор на рис. 2, б, если в контур последовательно с индуктивностью добавлен нелинейный элемент с невзаимно однозначной вольт-амперной характеристикой (рис. 6). Таким элементом является, например, туннельный диод. Математическая модель или соответствующая такому генератору динамическая система может быть представлена в виде системы 3-го порядка:

(2)

Здесь x, y, z - соответственно безразмерные токи в контуре, напряжение на емкости и напряжение на туннельном диоде, h - инкремент нарастания колебаний в контуре в отсутствие диода, g характеризует степень влияния диода на процессы в контуре, - малый параметр, пропорциональный емкости туннельного диода, f(z) - его нормированная характеристика. Фазовое пространство системы (2) трёхмерно. При определенных параметрах в этом фазовом пространстве все траектории будут входить в ограниченную область, внутри которой нет ни устойчивых состояний равновесия, ни устойчивых предельных циклов. Внутри этой области содержится притягивающее множество траекторий, каждая из которых неустойчива, - это т. н. странный аттрактор (аттрактор Лоренца). Подобно тому, как предельный цикл является образом периодических автоколебаний, образом стохастических автоколебаний служит странный аттрактор.

Для автоколебательных систем с несколькими степенями свободы характерны такие явления, как синхронизация и конкуренция колебаний. Разделяют внешнюю синхронизацию автоколебаний, или захватывание частоты генератора, и взаимную синхронизацию. При захватывании частоты устанавливаются автоколебаний с частотой и фазой, соответствующими частоте и фазе внешнего периодического воздействия, а при взаимной синхронизации - периодические сфазированные колебания в ансамбле подсистем, которые в независимом режиме работы характеризуются различными частотами. Захватывание частоты широко используется для управления и стабилизации частоты мощных малостабильных генераторов с помощью высокостабильных маломощных (например, в лазерах). Полоса захватывания - область расстроек между частотами собственных колебаний и внешним сигналом, внутри которой устанавливается режим синхронизации, - расширяется при увеличении амплитуды внешнего воздействия. Вне границы захватывания устойчивый режим генерации периодических колебаний сменяется режимом биений - режимом квазипериодических колебаний, - либо стохастическим режимом. Взаимная синхронизация подсистем или различных элементарных колебаний (мод) используется при работе нескольких генераторов на общую нагрузку, для получения коротких импульсов в многомодовых генераторах (например, лазерах) и т. д.

Конкуренция мод - подавление одних мод другими в автоколебательных системах - связана с тем, что конкурирующие моды черпают энергию на покрытие диссипативных расходов из общего источника. В результате одни моды создают дополнительное нелинейное затухание для других. Благодаря эффектам конкуренции и взаимной синхронизации колебаний в автоколебательных системах с большим числом степеней свободы (или даже бесконечным числом - в случае распределённых систем) возможно установление из начального шума (нарастающих в результате развития линейных неустойчивостей флуктуаций на различных частотах) режима регулярных периодических автоколебаний. Эффекты конкуренции и синхронизации оказываются принципиальными и для появления высокоорганизованных структур в нелинейных неравновесных средах.

В распределённых системах характер автоколебаний существенно зависит, помимо вида нелинейности, ещё и от особенностей дисперсии среды и граничных условий, в частности наличия резонатора. В некоторых случаях спектр возбуждения мод и особенности их нелинейного взаимодействия таковы, что при анализе автоколебаний в распределённой системе с бесконечным числом степеней свободы возможно ограничиться т. н. одномодовым описанием. Для примера рассмотрим автоколебания в кольцевом резонаторе - расположенной в вертикальной плоскости замкнутой трубе, заполненной вязкой жидкостью (рис. 7). При подогреве кольца снизу в системе устанавливается режим конвекции: более лёгкая, нагретая в основании кольца часть жидкости всплывает, заставляя охлаждённую жидкость опускаться вниз. Т. о., начиная с некоторой разности температур устанавливается режим стационарного вращения жидкости по или против часовой стрелки. При этим вся жидкость вращается как целое - реализуется лишь одно наиболее крупномасштабное движение. Дальнейшее увеличение приводит к возникновению автоколебаний, проявляющихся в том, что жидкое кольцо внутри трубы время от времени будет менять направление своего движения. Физически это можно пояснить так: пусть в данный момент жидкость движется по часовой стрелке, при достаточно большом архимедова сила велика и водяное кольцо ускоряется настолько, что остывший вверху жидкий объем, пройдя горячее основание и не успев нагреться, уже не достигает верхней части кольца и приостанавливается (архимедова сила недостаточна, чтобы преодолеть силу вязкости и гравитации). При этом опускающаяся (правая) часть жидкости теплее и, следовательно, легче поднимающейся. В результате торможения жидкого кольца жидкость в его основании нагревается и всплывает, но уже в противоположном направлении - давление справа меньше, чем слева. Т. о., жидкое кольцо меняет направление своего вращения и начинает закручиваться против часовой стрелки. Затем всё повторяется в обратном порядке. Такие вызываемые тепловой конвекцией автоколебания могут быть как периодическими, так и стохастическими. Поскольку никакие другие масштабы движения, кроме основного, в автоколебаниях рассматриваемого вида не участвуют, математическая модель для описания этих автоколебаний может быть получена из исходных уравнений гидродинамики в предположении, что зависимость полей скорости и температуры от пространственных координат не меняется во времени и пропорциональна , где - угловая координата элементарного объёма жидкости. В результате для безразмерных скорости x(t) движения жидкого кольца, температуры у(t) жидкости в точке N и температуры z(t) в точке М можно получить систему уравнений в обыкновенных производных:

(3)

где . Это - известная система Лоренца (см. Лоренца система), которая является одной из основных моделей теории стохастических автоколебаний. В зависимости от параметров и r в фазовом пространстве системы (3) могут существовать как устойчивый предельный цикл, так и странный аттрактор.

В общем случае автоколебания в резонаторах, которые описываются уравненнями в частных производных с соответствующими граничными условиями, невозможно представить с помощью конечномерной динамической системы. Однако, как правило, благодаря разного рода физическим обстоятельствам, например наличию диссипации, прогрессирующей с ростом частоты или уменьшением пространственного масштаба пульсации, такое конечномерное описание оказывается справедливым.

В неравновесных диссипативных средах, помимо автоколебаний, о которых речь шла выше, возможны ещё т. н. автоволны и автоструктуры - не связанные с граничными условиями пространственно-временные образования, параметры которых определяются лишь свойствами нелинейной неравновесной среды, например уединенные фронты горения и волны популяций, импульсы в нервных волокнах, цилиндрические и спиральные волны в сердечной ткани и др. Стохастические автоколебания в нелинейных неравновесных средах - это турбулентность.