|
Автоколебания
Автоколебания - незатухающие колебания в диссипативной нелинейной системе, поддерживаемые за счет энергии внешнего источника, параметры которых (амплитуда, частота, спектр колебаний) определяются свойствами самой системы и не зависят от конечного изменения начальных условий. Термин автоколебания введён А. А. Андроновым в 1928.
Автоколебания принципиально отличаются от других колебательных процессов в диссипативных системах тем, что для их поддержания не требуется колебательных воздействий извне. Примеры автоколебаний: колебания скрипичной струны при движении смычка, тока в радиотехническом генераторе, воздуха в органной трубе, маятника в часах. Возникают автоколебания в результате развития колебательных неустойчивостей с их последующей стабилизацией из-за прекращения поступления энергии от источника или прогрессирующего возрастания потерь (диссипации). Режим стационарных автоколебаний определяется из условия энергетического баланса - в среднем за период диссипативные траты энергии Q(I) (I - интенсивность автоколебаний) должны точно компенсироваться поступлением энергии W(I) от источника:
Q(I0)=W(I0). Если в окрестности стационарного режима I0 энергия потерь Q (I) при изменении I растет быстрее, чем приток энергии W(I), то этот режим автоколебаний, с энергетической точки зрения, устойчив (рис. 1, а); если же быстрее увеличивается W(I), то стационарный режим неустойчив (рис. 1, б). Даже в тех случаях, когда можно ввести функции Q и W, они обычно зависят не только от интенсивностей автоколебаний, но и от их фаз, поэтому энергетический метод определения устойчивости автоколебаний в общем случае неприменим. Системы, в которых автоколебания возникают "самопроизвольно" - без начального толчка, называются системами с мягким режимом возбуждения; если для возникновения автоколебаний необходим конечный начальный толчок, то говорят о жёстком режиме возбуждения.
В простейших автоколебательных системах можно выделить колебательную систему с затуханием, усилитель колебаний, нелинейный ограничитель и звено обратной связи. Например, в ламповом генераторе (генераторе Ван дер Поля, рис. 2, а, б) колебательный контур с потерями, состоящий из емкости С, индуктивности L и сопротивления R, представляет собой диссипативную колебательную систему, цепь "катод - сетка" и индуктивность L образуют цепь обратной связи. Случайно возникшие в колебательном контуре малые собственные колебания через катушку L управляют анодным током лампы, которая является усилителем. При положительной обратной связи (т. е. при определённом взаимном расположении катушек L и L1) в контур вносится определенная энергия. Если эта энергия больше энергии потерь в контуре, то амплитуда малых вначале колебаний в контуре нарастает. Поскольку анодный ток лампы зависит от напряжения на сетке нелинейным образом (рис. 2, в), то при нарастании амплитуды колебаний энергия, поступающая в контур, уменьшается и при некоторой амплитуде колебаний становится равной энергии потерь. В результате устанавливается режим стационарных автоколебаний, при котором внешний источник (анодная батарея) компенсирует все потери энергии. Т. о., автоколебательные системы должны быть принципиально нелинейными - именно нелинейность не позволяет колебаниям безгранично нарастать, управляя поступлением и тратами энергии источника.
Чтобы определить характер автоколебаний и зависимость их амплитуды и
формы от параметров системы, необходимо обратиться к анализу соответствующей математической
модели. Для простейшего генератора (рис. 2, а) такой моделью
может служить уравнение Ван дер Поля
(1) |
которое получается при пренебрежении сеточными токами лампы и аппроксимации её характеристики кривой, представленной на рис. 2, в. Это уравнение записано в безразмерных переменных, где . Здесь - собственная частота колебательного контура, - параметр превышения над порогом генерации (при потеря в контуре больше, чем вносимая энергия), характеризует амплитуду автоколебаний, М - козффициент взаимной индукции, S0 и S2 - параметры вольт-амперной характеристики усилительной лампы. Тот факт, что автоколебания в рассматриваемой системе описываются дифференциальным уравнением 2-го порядка (его фазовое пространство - плоскость), сразу накладывает принципиальные ограничения на вид автоколебаний. В подобных системах возможны только периодические автоколебания.
Геометрическим образом установившихся автоколебаний в фазовом пространстве системы служит аттрактор - траектория (или множество траекторий), расположенная в ограниченной области фазового пространства и притягивающая к себе все близкие траектории. Поскольку на фазовой плоскости траектории пересекаться не могут, в системах 2-го порядка может существовать лишь простейший нетривиальный аттрактор - замкнутая траектория, к которой стремятся все ближайшие траектории. Такая траектория называется предельным циклом, который служит образом периодических автоколебаний. Размеры предельного цикла определяют амплитуду автоколебаний, время движения изображающей точки по циклу - период автоколебаний, а форма предельного цикла - форму колебаний. Величина характеризует нелинейность системы: чем больше нелинейность, тем больше форма колебаний отличается от синусоидальной (рис. 3). При малых потери в контуре и вносимая в него энергия очень малы - уравнение (1) близко к уравнению гармонического осциллятора, а автоколебания близки к синусоидальным с частотой .
В другом предельном случае () потери в контуре и вносимая в него энергия очень велики по сравнению с энергией в нем запасенной, поэтому колебания будут сильно отличаться от синусоидальных, превращаясь в релаксационные. Анализ таких автоколебаний удобно проводить, разделяя движения на участки быстрых и медленных движений (см. Релаксационные колебания}.
При изменении величины параметра не происходит никаких качественных изменений в структуре разбиения фазовой плоскости уравнения (1) на траектории - при любом