 |
Астронет: Л. Л. Соколов, К. В. Холшевников/Коуровка Задача N тел и проблема интегрируемости http://variable-stars.ru/db/msg/1210340/node2.html |
1. Введение
Построение решений классической небесномеханической задачи N тел
(
) и исследование свойств этих решений является важнейшей
проблемой математики и механики со времен Ньютона. Все попытки
решить эту задачу по аналогии с задачей двух тел путем нахождения
полного набора глобальных (т. е. определенных во всем фазовом
пространстве) автономных интегралов движения заканчивались
неудачей. Напомним, что интегралом называется гладкая (или
однозначная аналитическая) функция от времени и фазовых координат,
постоянная на траекториях системы дифференциальных уравнений, но
различная для различных траекторий. Не зависящий от времени
интеграл называется автономным. На рубеже 19 и 20
столетий было установлено, что неудачи гениев вроде Эйлера в
поиске хотя бы одного дополнительного к классическим интеграла
вызваны тем, что их попросту нет. Прежде всего речь идет о
классических теоремах Брунса [17] и Пуанкаре
[10] о несуществовании глобальных интегралов
определенного вида в задаче трех тел. В настоящее время доказана
неинтегрируемость ряда динамических систем различного
происхождения [3,4,6,8,9]. С другой стороны, для ряда гамильтоновых динамических
систем сравнительно недавно удалось доказать полную
интегрируемость (число интегралов в инволюции равно числу степеней
свободы). Упомянем известный пример цепочки Тоды. Разработаны
соответствующие общие методы (представление Лакса и т. п.).
Подробности и дальнейшие ссылки можно найти в монографиях
[3,4,9].
При отсутствии полного набора глобальных интегралов иногда удается достичь успеха в описании траекторий не на всем фазовом пространстве, а на меньшем множестве. Так, в работе [21] построены две инвариантные области в фазовом пространстве консервативной системы с тремя степенями свободы, определяемой аналитическим гамильтонианом, в одной из которых существуют только два классических интеграла движения, а в другой еще и третий независимый интеграл. В работе [22] показана интегрируемость гамильтоновой динамической системы при одном фиксированном значении интеграла энергии и неинтегрируемость - при других его значениях.
Отсутствие полного набора глобальных
интегралов не обязательно свидетельствует о сложном поведении
траекторий или служит препятствием для их исследования
[8,20].
Так, линейная однородная автономная система на плоскости не
имеет автономного непрерывного интеграла
в случае узла или фокуса. Такова система
общее решение которой сразу найдет любой второкурсник. А интеграла нет! Однако плоскость можно разбить на конечное число инвариантных многообразий, внутри которых интеграл существует. Например, в правой полуплоскости можно указать на интеграл
. Для
таких ситуаций естественно использовать термин полная
региональная интегрируемость. Региональная интегрируемость (не
обязательно полная) имеет место, если можно указать хотя бы одну
инвариантную область, в которой интеграл существует.
На торе еще более простые системы оказываются неинтегрируемыми даже регионально по причине отсутствия инвариантных областей, отличных от всего фазового пространства. Такова, например, система
где
- иррациональное число; 
- угловые
переменные, понимаемые по 
. Вы можете возразить,
приведя пример функции
. Но эта величина не
является функцией на
торе, поскольку ее значения различны, например, в точках 
и
. Иногда подобного типа функции называют многозначными
интегралами.
Вернемся к задаче N тел. В середине прошлого века В. М. Алексеев [1,2] сформулировал гипотезу: задача трех тел для гиперболических, гиперболоэллиптических и гиперболопараболических движений интегрируема в смысле существования полного набора автономных интегралов движения. Очевидно, речь идет о региональной интегрируемости.
Традиционно классическая небесная механика больше интересуется траекториями, лежащими в ограниченной области, а не уходящими в бесконечность. Таковы траектории постоянных членов Солнечной системы. Однако и "уходящие" траектории, которые мы будем рассматривать в настоящей работе, могут представлять интерес для астрономии и космологии. Исследуя общие свойства движений в задаче N тел, Д. Саари [24] установил, что обычный результат динамической эволюции системы - распад на подсистемы, которые разлетаются друг от друга. Это свойство подтверждается и многими результатами численного моделирования динамической эволюции систем не очень большого числа тел [25,26,23,11]. По современным представлениям, звезды образуются группами в молекулярных облаках, и в результате динамической эволюции эти группы распадаются на устойчивые подсистемы малой кратности, большинство из которых - одиночные, двойные или иерархические тройные.
В наших работах [12,13,14]
показано, что в области фазового
пространства, отвечающей быстрому разлету N тел без сближений,
решение задачи N тел существует для всех значений времени 
,
являясь однозначной вещественно-аналитической функцией от и начальных
данных. Заметим, что факт продолжимости решения на всю ось времени
далеко не тривиален [5,7].
Каждая траектория диффеоморфна прямой с отделенными концами.
Решение может быть получено явно как предел
последовательности, сходящейся со скоростью геометрической прогрессии.
Этот результат позволил нам найти в указанной области полный набор
независимых однозначных вещественно-аналитических автономных
интегралов и доказать тем самым региональную интегрируемость задачи
N тел [15,20]. В работе
[16] мы обобщили результат на разлет одиночных и тесных
двойных звезд.
Почему задача о движении двух планет вокруг Солнца оказывается неинтегрируемой при сколь угодно малых массах и почти плоском почти круговом начальном движении, тогда как задача о разлете произвольного числа тел при произвольных массах при необременительных дополнительных условиях интегрируема? Дело в том, что в первом случае возмущения, хотя и малые, могут накапливаться со временем, тогда как во втором случае возмущения с течением времени стремятся к нулю.
Здесь мы приводим улучшенное доказательство анонсированных выше свойств траекторий задачи N тел в области фазового пространства, описывающей разлет одиночных звезд. Мы постарались сделать его доступным студентам, хорошо ориентированным в математическом анализе третьей четверти прошлого века. Ничего более изощренного не понадобится. Разлет одиночных и двойных исследован в [16].
<< Титульный лист | Оглавление | 2. Основная теорема >>