Астронет > Колебания и волны

Астронет: Научная Сеть/НС Колебания и волны
http://variable-stars.ru/db/msg/1175791/page7.html

Колебания и волны. Лекции.

В.А.Алешкевич, Л.Г.Деденко, В.А.Караваев (Физический факультет МГУ)
Издательство Физического факультета МГУ, 2001 г. Содержание

Рассмотрим теперь случай $\delta = \omega _{0},$ когда корни характеристического уравнения кратные: $\lambda _{1} = \lambda _{2} = - \delta .$ При этом частота $\omega = \sqrt {\displaystyle \omega _{0}^{2} - \delta ^{2}} = 0,$ то есть колебания отсутствуют. Общее решение, как нетрудно проверить подстановкой, имеет следующий вид:

$s(t) = (s_{0} + Ct)e^{ - \delta t},$

(1.69)

где независимые постоянные $s_{0}$ и $C$ определяются, как и раньше, начальными условиями. Возможный вид зависимости $s(t)$ при разных начальных условиях изображен на рисунке 1.16.

Рис. 1.16.

Их характерной особенностью является то, что они пересекают ось Ot не более одного раза, и возврат к равновесному состоянию у системы, выведенной из него, происходит за время порядка нескольких $\tau .$ Такой режим движения называется критическим.

Наконец, если $\delta \gt \omega _{0},$ то общее решение (1.52) является суммой двух убывающих с течением времени экспонент, поскольку - $\delta \pm \sqrt {\displaystyle \delta ^{2} - \omega _{0}^{2} } \lt 0.$ Возможный вид зависимостей $s(t)$ похож на то, что изображено на рис. 1.16, но возврат к равновесию осуществляется медленнее, чем в критическом режиме, поскольку вязкое трение больше. Данный режим движения называется апериодическим, или закритическим.

Отметим, что наиболее быстрое возвращение системы к положению равновесия происходит в критическом режиме, а в колебательном и апериодическом режимах этот процесс длится дольше. Поэтому, например, гальванометры - приборы для электрических измерений - работают обычно в режиме, близком к критическому, когда процесс установления их показаний, то есть смещения s рамки к устойчивому отклонению $s_{уст},$ имеет наименьшую длительность (см. рис. 1.17).

Рис. 1.17.

Иллюстрацией к рассмотренным закономерностям затухающих колебаний являются фазовые портреты, построенные для колебательного $(\delta \lt \omega _{0} ),$ а также критического и апериодического $(\delta \ge \omega _{0} )$ режимов (рис. 1.18).

Рис.1.18.

При $\delta \lt \omega _{0}$ фазовый портрет представляет собой совокупность спиралей, стягивающихся в особую точку типа "фокус". На рис. 1.18 изображена одна из таких спиралей. За каждый оборот радиус спирали уменьшается в $e^{\theta }$ раз. Для критического и апериодического режимов $\delta \ge \omega _{0}$ фазовые траектории сходятся в особую точку типа "узел".

Затухание колебаний в системах с сухим трением.

На практике мы часто имеем дело с системами, в которых главную роль играет сила сухого трения, не зависящая от скорости. Типичный пример - пружинный маятник, груз которого скользит по шероховатой горизонтальной поверхности, или колебательная система у стрелочных измерительных приборов, основу которой составляет вращающаяся рамка, испытывающая действие сил сухого трения в оси вращения. Хотя сила $F_{тр}$ сухого трения и не меняется по величине, тем не менее она меняет свое направление при изменении направления скорости. В силу этого необходимо записать два уравнения

$\ddot {\displaystyle s} + \omega _{0}^{2} s = - {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle F_{тр} }}{\displaystyle {\displaystyle m}}}для \quad \dot {\displaystyle s} \gt 0;$

(1.70)

$\ddot {\displaystyle s} + \omega _{0}^{2} s = + {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle F_{тр} }}{\displaystyle {\displaystyle m}}}для \quad \dot {\displaystyle s} \lt 0.$

(1.71)

Если в (1.70) использовать переменную $s_{1} = s + {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle F_{тр} }}{\displaystyle {\displaystyle m\omega _{0}^{2} }}},$ а в (1.71) - $s_{2} = s - {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle F_{тр} }}{\displaystyle {\displaystyle m\omega _{0}^{2} }}},$ то оба уравнения примут одинаковый вид:

$\ddot {\displaystyle s}_{1,2} + \omega _{0}^{2} s_{1,2} = 0.$

(1.72)

Фазовые траектории, соответствующие этому уравнению, представляют собой эллипсы с центрами, имеющими координаты $s_{ - } = - {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle F_{тр} }}{\displaystyle {\displaystyle m\omega _{0}^{2} }}} (s_{1} = 0)$ для верхней полуплоскости $\dot {\displaystyle s} \gt 0,$ и $s_{ + } = + {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle F_{тр} }}{\displaystyle {\displaystyle m\omega _{0}^{2} }}} (s_{2} = 0)$ для нижней полуплоскости $\dot {\displaystyle s} \lt 0.$ Чтобы нарисовать фазовый портрет, необходимо сомкнуть фазовые траектории верхней и нижней полуплоскостей на их общей границе $\dot {\displaystyle s} = 0.$

Из построенного на рис. 1.19 фазового портрета видно, что движение прекращается после конечного числа колебаний. Чрезвычайно важно, что система не обязательно придет к состоянию $s = 0,$ а может остановиться, попав в зону застоя $s_{ + } - s_{ - } .$ Зона застоя тем больше, чем больше сила $F_{тр}$ . Из фазового портрета легко определить убывание амплитуды колебаний за один период. Это изменение амплитуды в два раза превышает протяженность зоны застоя:

$\Delta A = A(t) - A(t + T) = 2(s_{ + } - s_{ - } ) = {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle 4F_{тр} }}{\displaystyle {\displaystyle m\omega _{0}^{2} }}}.$

(1.73)

Таким образом, в отличие от экспоненциального закона (1.56), характерного для вязкого трения, амплитуда колебаний убывает со временем линейно.

Рис. 1.19.

На рис. 1.20 показана зависимость от времени смещения колеблющегося тела при сухом трении. Число совершаемых системой колебаний до их прекращения зависит от начальной амплитуды $A_{0},$ и его можно оценить по формуле:

$N = {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle A_{0} }}{\displaystyle {\displaystyle \Delta A}}} = {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle A_{0} }}{\displaystyle {\displaystyle 2(s_{ + } - s_{\_} )}}}$

(1.74)

и зависит от начальной амплитуды $A_{0} .$ Частота колебаний $\omega _{0} = \sqrt {\displaystyle {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle k}}{\displaystyle {\displaystyle m}}}}$ остается такой же, как и при отсутствии силы трения (см. (1.72)).

Рис. 1.20.

Колебания продолжаются до тех пор, пока их амплитуда остается больше половины ширины зоны застоя $s_{ + } - s_{ - } .$ При этом в реальных условиях колеблющаяся масса останавливается в случайном положении внутри этой зоны (в точке Р на рис. 1.20).

Назад| Вперед