Астронет > Колебания и волны

Астронет: Научная Сеть/НС Колебания и волны
http://variable-stars.ru/db/msg/1175791/page4.html

Колебания и волны. Лекции.

В.А.Алешкевич, Л.Г.Деденко, В.А.Караваев (Физический факультет МГУ)
Издательство Физического факультета МГУ, 2001 г. Содержание

Фазовый портрет колебательной системы.

В любой колебательной системе с одной степенью свободы смещение $s(t)$ и скорость $v(t) = ds / dt$ меняются со временем. Состояние системы в каждый момент времени можно характеризовать двумя значениями $s$ и $v,$ и на плоскости этих переменных это состояние однозначно определяется положением изображающей точки P с координатами $s$ и $v$ . С течением времени изображающая точка P будет перемещаться по кривой, которую называют фазовой траекторией движения (рис. 1.10).

Рис. 1.10.

Плоскость переменных $s$ и $v$ называется фазовой плоскостью. Семейство фазовых траекторий образует фазовый портрет колебательной системы. Анализ фазового портрета дает хотя и не полную, но обширную информацию о колебательной системе. К построению такого портрета прибегают тогда, когда не удается решить аналитически уравнение, описывающее сложные колебания. В первую очередь это относится к нелинейным колебаниям, анализ которых затруднен из-за отсутствия точных решений нелинейных уравнений.

Вначале проиллюстрируем сказанное на примере простейших гармонических колебаний вида $s(t) = s_{0} \sin (\omega _{0} t + \varphi _{0} ).$ Поскольку скорость $v(t) = {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle ds}}{\displaystyle {\displaystyle dt}}} = s_{0} \omega _{0} \sin \left( {\displaystyle \omega _{0} t + \varphi _{0} + {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle \pi }}{\displaystyle {\displaystyle 2}}}} \right)$ опережает смещение по фазе на $\pi / 2,$ то фазовая траектория будет эллипсом. Точка P будет двигаться по эллиптической траектории по часовой стрелке (при $v \gt 0$ смещение $s$ увеличивается, а при $v \lt 0$ - уменьшается (рис. 1.11)).

Рис. 1.11.

Параметры эллипса определяются энергией, запасенной гармоническим осциллятором. Потенциальная энергия пружинного маятника пропорциональна квадрату смещения:

$E_{пот} = {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle 1}}{\displaystyle {\displaystyle 2}}}ks^{2} = {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle 1}}{\displaystyle {\displaystyle 2}}}ks_{0}^{2} \sin ^{2}(\omega _{0} t + \varphi _{0} ).$

(1.24)

Кинетическая энергия пропорциональна квадрату скорости:

$E_{кин} = {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle 1}}{\displaystyle {\displaystyle 2}}}mv^{2} = {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle 1}}{\displaystyle {\displaystyle 2}}}m\omega _{0}^{2} s_{0}^{2} \cos ^{2}(\omega _{0} t + \varphi _{0} ).$

(1.25)

Если принять во внимание равенство $k = m\omega _{0}^{2},$ то легко видеть, что взаимопревращения одного вида энергии в другой за период происходят дважды. При этом полная энергия системы остается постоянной:

$E_{0} = E_{пот} + E_{кин} = {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle 1}}{\displaystyle {\displaystyle 2}}}m(\omega _{0}^{2} s^{2} + v^{2}).$

(1.26)

Равенство (1.26) как раз и является уравнением эллипса, которое можно переписать в более удобном виде:

$s^{2} + {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle v^{2}}}{\displaystyle {\displaystyle \omega _{0}^{2} }}} = {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle 2E_{0} }}{\displaystyle {\displaystyle m\omega _{0}^{2} }}}.$

(1.27)

Фазовый портрет гармонического осциллятора представляет собой семейство эллипсов, каждому из которых соответствует энергия $E_{0},$ запасенная осциллятором. Положение равновесия в точке 0 на фазовой плоскости является особой точкой и называется особой точкой типа "центр".

С увеличением энергии $E_{0}$ возрастают амплитуды колебаний смещения $s_{0}$ и скорости $s_{0} \omega _{0} .$ Колебания, как правило, перестают быть гармоническими, а фазовые траектории - эллипсами.

Рис. 1.12.

Проанализируем на фазовой плоскости колебания математического маятника при произвольных углах $\alpha$ отклонения от положения равновесия. При этом будем считать, что точечная масса $m$ прикреплена не к нити, а к жесткому невесомому стержню длины $\ell .$ Первое из уравнений (1.2) запишем в виде

${\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle d^{2}\alpha }}{\displaystyle {\displaystyle dt^{2}}}} = - \omega _{0}^{2} \sin \alpha .$

(1.28)

Это нелинейное уравнение не имеет точного аналитического решения, поэтому позднее мы приведем его приближенное решение. Однако многие закономерности таких колебаний можно проанализировать с использованием фазового портрета на плоскости $(\alpha ; \dot {\displaystyle \alpha } = {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle d\alpha }}{\displaystyle {\displaystyle dt}}}).$ С этой целью уравнение (1.28) надо преобразовать к такому виду, чтобы в нем остались только эти переменные, а время было бы исключено. Для этого угловое ускорение в левой части (1.28) преобразуем к виду:

${\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle d^{2}\alpha }}{\displaystyle {\displaystyle dt^{2}}}} = {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle d\dot {\displaystyle \alpha }}}{\displaystyle {\displaystyle dt}}} = {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle d\dot {\displaystyle \alpha }}}{\displaystyle {\displaystyle d\alpha }}} \cdot {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle d\alpha }}{\displaystyle {\displaystyle dt}}} = {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle d\dot {\displaystyle \alpha }}}{\displaystyle {\displaystyle d\alpha }}} \cdot \dot {\displaystyle \alpha } = {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle 1}}{\displaystyle {\displaystyle 2}}}{\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle d(\dot {\displaystyle \alpha }^{2})}}{\displaystyle {\displaystyle d\alpha }}}.$

(1.29)

Подставляя (1.29) в (1.28), получим

${\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle 1}}{\displaystyle {\displaystyle 2}}}d(\dot {\displaystyle \alpha }^{2}) = - \omega _{0}^{2} \sin \alpha d\alpha .$

(1.30)

Уравнение (1.30) отражает тот факт, что приращение кинетической энергии маятника равно убыли его потенциальной энергии в поле силы тяжести. Интегрируя (1.30), получим

$$ {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle \dot {\displaystyle \alpha }^{2}}}{\displaystyle {\displaystyle 2}}} - \omega _{0}^{2} -$

(1.31)

Если принять, что потенциальная энергия маятника в положении равновесия равна нулю, то константа выражается через запасенную маятником энергию $E_{0} = {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle m\ell ^{2}\dot {\displaystyle \alpha }_{0}^{2} }}{\displaystyle {\displaystyle 2}}}$ ( $\dot {\displaystyle \alpha }_{0}$ - угловая скорость маятника в положении равновесия):

${\displaystyle \rm const}\; = {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle E_{0} }}{\displaystyle {\displaystyle m\ell ^{2}}}} - \omega _{0}^{2} .$

(1.32)

Уравнение фазовой траектории (1.31) окончательно запишется в виде:

${\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle 1}}{\displaystyle {\displaystyle 2}}} \cdot {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle \dot {\displaystyle \alpha }^{2}}}{\displaystyle {\displaystyle \omega _{0}^{2} }}} + \left( {\displaystyle 1 - \cos \alpha } \right) = {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle E_{0} }}{\displaystyle {\displaystyle m\ell ^{2}\omega _{0}^{2} }}}.$

(1.33)

При этом потенциальная и кинетическая энергии задаются выражениями

$E_{кин} = {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle 1}}{\displaystyle {\displaystyle 2}}}m\ell ^{2}\dot {\displaystyle \alpha }^{2}; \quad E_{кин} = m\ell ^{2}\omega _{0}^{2} \left( {\displaystyle 1 - \cos \alpha } \right).$

(1.34)

Используя (1.33), построим фазовый портрет системы (рис. 1.13).

Рис. 1.13.

Отчетливо видны два типа фазовых траекторий, соответствующие двум типам движения. Замкнутые траектории, окружающие особые точки типа "центр" с координатами $\dot {\displaystyle \alpha } = 0, \alpha = 2\pi n$ ( $n$ - целое число), соответствуют колебаниям маятника относительно устойчивого нижнего положения равновесия. Такие колебания имеют место, если энергия системы $E_{0} \lt m\ell ^{2}\omega _{0}^{2} = 2mg\ell$ (см. рис. 1.13). При этом, если $E_{0} \ll 2mg\ell,$ то колебания будут гармоническими, а фазовые траектории - эллипсами. Если $E_{0} \sim mg\ell,$ то колебания будут негармоническими. При увеличении энергии, а, значит, и амплитуды колебаний осциллятора, их период будет возрастать, поскольку возвращающая сила в уравнении (1.28) меньше, чем в случае гармонического осциллятора.

Верхнему положению равновесия с координатами $\dot {\displaystyle \alpha } = 0, \alpha = \left( {\displaystyle 2n - 1} \right)\pi$ соответствуют особые точки типа "седло". Фазовые кривые, проходящие через "седла", соответствуют энергии $E_{0} = 2mg\ell$ и называются сепаратрисами.

Если, наконец, $E_{0} \gt 2mg\ell,$ то получаются незамкнутые (убегающие) траектории, соответствующие вращательному движению маятника.

Таким образом, сепаратрисы разделяют фазовую плоскость на две области: область замкнутых траекторий и область траекторий, приходящих из бесконечности и уходящих в бесконечность.

Отметим, что для негармонических колебаний нельзя употреблять термин "круговая частота", поскольку, как будет показано ниже, такие колебания являются, как правило, суперпозицией гармонических колебаний с различными частотами. Период же является по-прежнему одной из главных характеристик колебаний. Фазовый портрет не позволяет определить, как быстро движется точка Р по траектории. Однако период нелинейных колебаний математического маятника можно получить на основе приближенного решения уравнения (1.28).

Назад| Вперед