Astronet Астронет:  Научная Сеть/НС Колебания и волны
http://variable-stars.ru/db/msg/1175791/page27.html

Колебания и волны. Лекции.

В.А.Алешкевич, Л.Г.Деденко, В.А.Караваев (Физический факультет МГУ)
Издательство Физического факультета МГУ, 2001 г. Содержание

В последние годы была выявлена детальная структура мантии Земли. На рис. 5.3 показано распределение скорости $c_{s} (\ell )$ в мантии, из которого можно сделать заключение о её структуре. Земная кора и верхний слой мантии до глубины $\ell \approx 70 км$ образуют наружную зону - литосферу, или литосферную плиту. Эта жесткая плита расколота примерно на 10 больших плит, по границам которых расположено подавляющее число очагов землетрясений. Под жесткой литосферной плитой на глубинах $70 \lt \ell \lt 250 км$ расположен слой повышенной текучести, называемый астеносферой. Из-за её малой вязкости $(\mu \sim 10^{20}\div 10^{21} Пуаз)$ литосферные плиты как бы плавают в "астеносферном океане" Земли. В астеносфере, где температура вещества близка к температуре плавления, скорости волн понижены. Начиная с $\ell \approx 250 км$ скорости возрастают из-за увеличения давления. При $\ell \approx 400 км$ возрастание скорости есть результат фазовых переходов (минералы оливины переходят в шпинелевую модификацию), а на глубинах $400 \lt \ell \lt 650 км$ скорость возрастает из-за роста давления. На глубинах $650 \lt \ell \lt 700 км$ расположена вторая зона фазовых переходов, однако остается открытым вопрос о том, какие конкретно переходы ответственны за быстрый рост скорости.

Рис. 5.3.

На рис. 5.4 изображен разрез Земли, построенный в соответствии с современными сейсмическими данными.

Рис. 5.4.

При распространении объемной сейсмической волны в трехмерном случае амплитуда уменьшается с расстоянием r, пройденным волной от точечного источника. Уравнение такой волны, называемой сферической, имеет вид:

$ s(r,t) = {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle s_{0} }}{\displaystyle {\displaystyle r}}}e^{ - \alpha r}\sin {\displaystyle \left[ {\displaystyle \omega \left( {\displaystyle t - {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle r}}{\displaystyle {\displaystyle c}}}} \right)} \right]}. $(5.4)

Из этого уравнения видно, что амплитуда волны убывает, во-первых, из-за ее геометрического расхождения во все стороны от эпицентра; это убывание происходит обратно пропорционально пройденному волной расстоянию $r.$ Во-вторых, амплитуда волны убывает из-за перехода части энергии волны в тепло вследствие неидеальной упругости земных недр. Это ослабление характеризуется коэффициентом затухания $\alpha.$ Коэффициент $\alpha$ пропорционален частоте сейсмической волны, поэтому короткие волны затухают быстрее длинных. Расчет показывает, что для коэффициентов затухания s- и p-волн могут быть записаны соотношения

$\alpha _{s} (км^{-1}) \sim 1 \cdot 10^{ - 3}\nu (Гц);\quad \alpha _{p} (км^{-1}) \sim 0,25 \cdot 10^{ -3}\nu (Гц)$

Частоты объемных сейсмических волн лежат в инфразвуковом диапазоне $0,1 Гц \lt \nu \lt10 Гц.$ Следовательно, для волн с частотой $\nu \sim 1 Гц$ уменьшение амплитуды в е раз у поперечной волны происходит на пути ~ 1000 км, а у продольной волны - на пути ~ 4000 км.

Помимо бегущих волн, в объеме Земли могут наблюдаться и стоячие волны, когда вся Земля колеблется, как целое, с различными частотами, соответствующими различным модам колебаний. Конфигурации этих мод относятся к двум основным типам: сфероидальные колебания (наибольший период ~ 55 мин., частота ~ 3*10-4 Гц) и торсионные (крутильные) колебания (наибольший период ~ 44 мин., частота ~ 3,8*10-4 Гц). В настоящее время спектр этих колебаний насчитывает несколько тысяч экспериментально обнаруженных частот.

Поверхностные сейсмические волны.

Наряду с объемными, по Земле могут распространятся и поверхностные волны. Эти волны бывают двух типов и называются волнами Рэлея и Лява. Они были теоретически предсказаны Дж. Рэлеем в 1855 г. и Лявом в 1911 г. В Рэлеевской волне частицы грунта смещаются в вертикальной плоскости, ориентированной вдоль направления распространения волн, а траектории их движения представляют собой эллипсы (см. далее гравитационные волны на поверхности жидкости). В волне Лява частицы движутся в горизонтальной плоскости поперек направления распространения волны.

Длины поверхностных волн $\lambda,$ возбуждаемых при землетрясении, лежат в интервале от десятков до многих сотен километров. В поверхностных волнах амплитуда убывает с глубиной, и на глубине $\ell \gt \lambda$ колебания мантии малы. Поэтому с помощью таких волн можно исследовать лишь наружные слои Земли.

Из-за двумерного распространения амплитуда поверхностных волн убывает медленнее (обратно пропорционально $\sqrt {\displaystyle r}$ ), чем у объемных волн. Поэтому такие волны могут по несколько раз обегать вокруг земного шара. Скорость поверхностных волн зависит от частоты, т. е. они обладают дисперсией.

На рисунке 5.5 показаны зависимости групповых скоростей волн Рэлея $c_{R}$ и Лява $c_{L}$ от периода колебания волны. Легко видеть, что волны Лява распространяются быстрее волн Рэлея. Отметим, что на рис. 5.5 показаны $c_{R}$ и $c_{L}$ лишь для волн, амплитуды которых определенным образом убывают с глубиной. Возможны поверхностные волны и с другими распределениями амплитуд по глубине.

Рис. 5.5.

Сейсмические волны можно вызвать при помощи взрыва. Небольшие взрывы используются в инженерной сейсмологии для проведения разведки полезных ископаемых (нефти, руды, газа и т. д.). Подземные ядерные взрывы создают интенсивные волны, которые можно регистрировать на любых расстояниях. Это дает возможность надежно проводить контроль над подземными ядерными испытаниями.

Волны в жидкостях и газах.

В жидкостях и газах возможны лишь деформации сжатия и растяжения, поэтому в них могут распространятся только продольные волны. Хотя мы ранее и рассчитывали скорость распространения возмущений в газе, тем не менее вычислим скорость распространения продольных волн с использованием волнового уравнения. Последнее может быть получено из (4.74), в котором $\sigma _{n}$ следует заменить величиной $- \delta p = p_{0} - p,$ где $р$ - давление в волне, $p_{0}$ - равновесное давление в среде, $\delta p$ - возмущение давления. Тогда мы можем записать

$ dm{\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle \partial ^{2}s}}{\displaystyle {\displaystyle \partial t^{2}}}} = [ - \delta p(x + dx,t) + \delta p(x,t)]S. $(5.5)

Чтобы из (5.5) получить волновое уравнение, необходимо знать материальное уравнение среды

$ p = p(\rho ). $(5.6)

Качественно эта зависимость изображена на рис. 5.6. При очень малых возмущениях плотности $\left| {\displaystyle \delta \rho } \right| \ll \rho _{0}$ и давления $\left| {\displaystyle \delta p} \right| \ll p_{0}$ из (5.6) получаем:

$ \delta p = \left( {\displaystyle {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle dp}}{\displaystyle {\displaystyle d\rho }}}} \right)_{\rho _{0} } \cdot \delta \rho = c^{2}\delta \rho, $(5.7)

где введено обозначение

$ c = \sqrt {\displaystyle \left( {\displaystyle {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle dp}}{\displaystyle {\displaystyle d\rho }}}} \right)_{\rho _{0} } }. $(5.8)

Рис. 5.6.

С учетом (4.69) и (4.72) возмущения плотности $\delta \rho$ в (5.7) связаны со смещением s соотношением:

$ \delta \rho = - \varepsilon \rho _{0} = - \rho _{0} {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle \partial s}}{\displaystyle {\displaystyle \partial x}}}. $(5.9)

Следовательно, (5.7) примет вид:

$ \delta p = - \rho _{0} c^{2}{\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle \partial s}}{\displaystyle {\displaystyle \partial x}}}. $(5.10)

Подставляя (5.10) в (5.5), записывая $dm = \rho _{0} Sdx$ и переходя к пределу при $dx \to 0,$ получим волновое уравнение

$ {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle \partial ^{2}s}}{\displaystyle {\displaystyle \partial t^{2}}}} = c^{2}{\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle \partial ^{2}s}}{\displaystyle {\displaystyle \partial x^{2}}}}, $(5.11)

из которого сразу видно, что скорость волны задается выражением (5.8) и не зависит от частоты (дисперсия отсутствует). Естественно, что с такой скоростью распространяются волны с длиной волны $\lambda,$ превосходящей длину свободного пробега молекул в газе или межатомные расстояния в жидкостях $\ell.$ В этом случае жидкость и газ могут рассматриваться как сплошные среды. Для волн высоких частот, когда $\lambda \sim \ell,$ возникает дисперсия, а волны с длиной $\lambda \lt \ell$ распространяться вообще не могут.

Упругие волны в жидкостях и газах, как, впрочем, и в твердых телах, называются акустическими, а раздел физики, который их изучает - акустикой. Частоты этих волн лежат в диапазоне от долей герца (инфразвук) до 1013 Гц (гиперзвук). Этим частотам соответствуют длины волн $\lambda$ от десятков километров до нескольких ангстрем. Значения скоростей (фазовых и групповых) для разных сред лежат в диапазоне от долей до десятков км/с.

Для воздуха материальное уравнение (5.6) является уравнением адиабаты и в акустике обычно записывается в виде (см. также предыдущие лекции):

$ p = p_{0} \left( {\displaystyle {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle \rho }}{\displaystyle {\displaystyle \rho _{0} }}}} \right)^{\gamma }, $(5.12)

где $\gamma = c_{p} / c_{V}$ - показатель адиабаты.

Тогда из (5.8) скорость волны (в акустике употребляют термин "скорость звука") в газе получается равной

$ c = \sqrt {\displaystyle \gamma {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle p_{0} }}{\displaystyle {\displaystyle \rho _{0} }}}} = \sqrt {\displaystyle \gamma {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle RT}}{\displaystyle {\displaystyle \mu }}}}, $(5.13)

где $\mu$ - молярная масса газа.

Скорость звука зависит, таким образом, от рода газа и по порядку величины совпадает со средней скоростью теплового движения молекул.

Для жидкости материальным уравнением является полуэмпирическое уравнение Тета:

$ p = p_{вн} {\displaystyle \left[ {\displaystyle \left( {\displaystyle {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle \rho }}{\displaystyle {\displaystyle \rho _{0} }}}} \right)^{\Gamma } - 1} \right]}, $(5.14)

где $p_{вн}$ - характерное внутреннее давление, обусловленное межмолекулярным взаимодействием (оно составляет для большинства жидкостей без пузырьков и различных включений несколько тысяч атмосфер). Параметр $\Gamma$ имеет порядок нескольких единиц (например, для воды $\Gamma \approx 7$).

В таблице приведены значения скорости звука, измеренные в некоторых газах (при температуре $t = 0^\circ C$) и жидкостях.

ГазыСкорость звука, м/сЖидкостиСкорость звука, м/с
Водород1265Вода $(t = 20^\circ C)$1490
Гелий965Этил. спирт $(t = 20^\circ C)$1180
Азот334Водород $(t = -252^\circ C)$1127
Воздух331Кислород $(t = -183^\circ C)$911
Кислород316Азот $(t = -196^\circ C)$867
Углекислота216Гелий $(t = -269^\circ C)$180

Назад| Вперед

Rambler's Top100 Яндекс цитирования