Астронет: Научная Сеть/НС Колебания и волны http://variable-stars.ru/db/msg/1175791/page20.html |
Колебания и волны. Лекции.
В.А.Алешкевич, Л.Г.Деденко, В.А.Караваев (Физический факультет МГУ)Издательство Физического факультета МГУ, 2001 г. Содержание
Определим теперь скорость движения этой волны. Для этого проследим за движением гребня волны, вершина которого в некоторый момент времени находится в точке Пусть за время этот гребень сместится на расстояние Поскольку на вершине гребня массы имеют максимальное положительное смещение, то фаза их колебаний постоянна и равна
(4.11) |
Поэтому
(4.12) |
Отсюда скорость получается равной
(4.13) |
Скорость называется фазовой скоростью гармонической волны с частотой Проанализируем зависимость этой скорости от волнового числа, пользуясь дисперсионным соотношением (4.1). Для этого перепишем его с учетом (4.4) в виде:
(4.14) |
График зависимости (4.14) называется дисперсионной кривой и изображен на рис. 4.5а.
Рис. 4.5а. |
На этой кривой точками отмечены значения частот и волновых чисел Пунктиром изображена прямая Она получается из (4.14) предельным переходом при (непрерывная среда).
Из формулы (4.14) или из рис. 4.5а можно сделать ряд принципиально важных выводов.
1) Из нелинейной зависимости описываемой формулой (4.14), следует, что фазовая скорость гармонической волны зависит от (или от ):
(4.15) |
Зависимость (4.15) изображена на рис. 4.5б.
Рис. 4.5б. |
Это явление носит название дисперсии среды по отношению к распространяющейся в ней волне. Эквивалентным является выражение "дисперсия волны в среде". Если фазовая скорость волны не зависит от как, например, в случае непрерывной среды, то говорят, что дисперсия отсутствует.
2) Для маленьких волновых чисел ( или ) дисперсия мала. Скорость таких "длинных волн" и среда может считаться сплошной.
3) С увеличением волнового числа (а значит и ) скорость как это следует из (4.15), убывает. Такое поведение скорости называется нормальной дисперсией. Следует отметить, что в оптике, помимо этой, реализуется и другая ситуация, когда фазовая скорость света в некотором диапазоне частот может возрастать с увеличением частоты. В этом случае дисперсия называется аномальной.
4) Дисперсионная кривая заканчивается, когда волновое число и частота достигают максимальных значений и Они получаются из (4.14) и (4.1) при :
Это означает, что волны с частотой в такой среде распространяться не могут. Действительно, при частоте длина волны Волны с меньшей длиной волны не могут существовать, поскольку на длине распространяющейся волны должно находиться не меньше двух колеблющихся грузов.
Заметим, что в некоторых случаях, например, при распространении электромагнитных волн в твердом теле и в плазме, кривая дисперсии может начинаться с некоторой точки на оси частот В таких средах могут распространяться электромагнитные волны только с частотами лежащими внутри интервала
В качестве примера укажем, что для кристаллов величина ( - упругая сила, величина которой определяется межатомным взаимодействием). Если принять массу иона равной то Эта частота, как и частоты колебаний молекул CO2 и H2O, лежит в инфракрасной области электромагнитного спектра. Поэтому при распространении ИК излучения в кристаллах ионы могут совершать резонансные колебания. В этом частотном оптическом диапазоне может существовать сильная дисперсия света.
Отметим, что при распространении волн в протяженных средах проблемы "настройки" частоты внешнего воздействия, порождающего волну, на частоту одной из мод среды не существует. Любое воздействие внешней силы, даже сколь угодно близкой к гармонической, на самом деле всегда будет квазигармоническим, характеризуемым узким интервалом частот С другой стороны, для протяженной среды к частоте будут близки частоты мод с большими номерами Разность частот двух соседних мод как это легко видеть из рисунка 4.5, будет настолько малой, что Следовательно, для любой частоты внешнего воздействия, прикладываемого к границе среды, по ней побежит волна, которую в ряде случаев можно приближенно считать гармонической:
(4.16) |
Группа волн и ее скорость.
Как и внешнее воздействие, волна, возникающая в среде, будет, строго говоря, квазигармонической, т. к. Поэтому вместо (4.16) следует записать уравнение волны в более усложненном виде:
(4.17) |
Здесь амплитуда и фаза являются медленно меняющимися функциями времени на некотором масштабе времени (сравните с формулой (3.19)). Естественно, что такая волна представляет собой группу гармонических волн, частоты которых располагаются вблизи основной частоты в пределах интервала Каждая из волн группы в среде с дисперсией имеет собственную фазовую скорость. В среде с нормальной дисперсией волны большей частоты будут двигаться медленнее, чем волны меньшей частоты. Возникает естественный вопрос: что является скоростью группы волн, и если такая скорость существует, то как ее вычислить? Какой физический смысл имеет эта скорость и в чем ее отличие от фазовой скорости ?
Чтобы ответить на эти вопросы, рассмотрим для простоты группу из двух волн с одинаковыми амплитудами и с близкими частотами и бегущих в положительном направлении оси х. Будем считать, что С такой ситуацией мы уже встречались при анализе биений двух связанных осцилляторов. Зададим дисперсионные свойства среды дисперсионным соотношением С его помощью вычислим значения и двух волновых чисел, соответствующих частотам и Тогда уравнение группы волн примет вид:
(4.18) |
Здесь