Астронет > Механика твердого тела. Лекции.

Астронет: Физический факультет МГУ Механика твердого тела. Лекции.
http://variable-stars.ru/db/msg/1175788/page13.html

Механика твердого тела. Лекции.

В.А.Алешкевич, Л.Г.Деденко, В.А.Караваев (Физический факультет МГУ)
Издательство Физического факультета МГУ, 1997 г. Содержание

Проецируя векторы L и $\omega$ на оси системы xyz, жестко связанной с твердым телом, получим:

${\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle \partial L_{x} }}{\displaystyle {\displaystyle \partial t}}} + \omega _{y} L_{z} - \omega _{z} L_{y} = 0;$

(3.49)

${\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle \partial L_{y} }}{\displaystyle {\displaystyle \partial t}}} + \omega _{z} L_{x} - \omega _{x} L_{z} = 0;$

(3.50)

${\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle \partial L_{z} }}{\displaystyle {\displaystyle \partial t}}} + \omega _{x} L_{y} - \omega _{y} L_{x} = 0;$

(3.51)

Поскольку оси Ox, Oy и Oz - главные оси инерции для точки закрепления, то $L_{x} = J_{x} \omega _{x} ,\; L_{y} = J_{y} \omega _{y} ,\; L_{z} = J_{z} \omega _{z}$ и из (3.49-3.51) будем иметь следующие уравнения:

$J_{x} {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle \partial \omega _{x} }}{\displaystyle {\displaystyle \partial t}}} + \omega _{y} \omega _{z} \left( {\displaystyle J_{z} - J_{y} } \right) = 0;$

(3.52)

$J_{y} {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle \partial \omega _{y} }}{\displaystyle {\displaystyle \partial t}}} + \omega _{z} \omega _{x} \left( {\displaystyle J_{x} - J_{z} } \right) = 0;$

(3.53)

$J_{z} {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle \partial \omega _{z} }}{\displaystyle {\displaystyle \partial t}}} + \omega _{x} \omega _{y} \left( {\displaystyle J_{y} - J_{x} } \right) = 0,$

(3.54)

где $J_{x}, J_{y}, J_{z}$ - главные моменты инерции тела. Обычно эти уравнения называют уравнениями Эйлера при отсутствии моментов внешних сил.

В частном случае (рис. 3.14) $J_{x }= J_{y},$ и из (3.52-3.54) получаем:

${\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle \partial \omega _{x} }}{\displaystyle {\displaystyle \partial t}}} + \omega _{y} \omega _{0} = 0;$

(3.55)

${\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle \partial \omega _{y} }}{\displaystyle {\displaystyle \partial t}}} + \omega _{x} \omega _{0} = 0;$

(3.56)

${\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle \partial \omega _{z} }}{\displaystyle {\displaystyle \partial t}}} = 0,$

(3.57)

где введено обозначение

$\omega _{0} = \omega _{z} \cdot {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle J_{z} - J_{y} }}{\displaystyle {\displaystyle J_{x} }}}.$

(3.58)

Из (3.57) следует, что $\omega _{z} = {\displaystyle \rm const},$ то есть проекция вектора $\omega$ на ось симметрии тела остается постоянной. Ясно, что $\omega _{0}$ - также постоянная величина. Ее физический смысл становится понятным, если записать решение уравнений (3.55, 3.56):

$\omega _{x} = \omega _{ \bot } \cos \left( {\displaystyle \omega _{0} t + \varphi } \right); \omega _{y} = \omega _{ \bot } \sin \left( {\displaystyle \omega _{0} t + \varphi } \right);$

(3.59)

где $\omega _{ \bot } = \sqrt {\displaystyle \omega _{x}^{2} + \omega _{y}^{2} }$ - проекция вектора $\omega$ на плоскость xy.

Таким образом, вектор $\omega$ составляет с осью симметрии тела угол $\theta = {\displaystyle \rm arctg}{\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle \omega _{ \bot } }}{\displaystyle {\displaystyle \omega _{z} }}}$ и вращается вокруг этой оси, как следует из (3.59), с постоянной угловой скоростью $\omega _{0}$ Начальная фаза $\varphi$ этого вращения определяется начальными условиями.

Посмотрим, как будет выглядеть движение твердого тела в лабораторной системе x₀y₀z₀. Поскольку нам известны значения $\omega _{x} , \omega _{y}$ и $\omega _{z} ,$ то закон движения тела (зависимость углов Эйлера от времени) в принципе может быть получен из кинематических уравнений Эйлера (1.30-1.32). Однако это связано с решением в общем случае довольно сложных дифференциальных уравнений, поэтому мы ограничимся качественным рассмотрением движения тела. В силу того, что

$\bf L} = J_{x} \omega _{x} {\displaystyle \bf i} + J_{y} \omega _{y} {\displaystyle \bf j} + J_{z} \omega _{z} {\displaystyle \bf k$

(3.60)

(i, j, k - орты главных осей инерции тела), а $J_{x} = J_{y},$ можно записать

${\displaystyle \bf L} = J_{z} \omega _{z} {\displaystyle \bf k} + J_{x} \left( {\displaystyle \omega _{x} {\displaystyle \bf i} + \omega _{y} {\displaystyle \bf j}} \right) + J_{x} \omega _{z} {\displaystyle \bf k} - J_{x} \omega _{z} {\displaystyle \bf k}.$

(3.61)

Здесь добавлен и вычтен член $J_{x} \omega _{z} {\displaystyle \bf k},$ что позволяет представить (3.61) в виде

${\displaystyle \bf L} = \left( {\displaystyle J_{z} - J_{x} } \right)\omega _{z} {\displaystyle \bf k} + J_{x} \omega$

(3.62)

Отсюда видно, что k (ось фигуры), L и $\omega$ лежат в одной плоскости. Из (3.62) следует, что

$\omega = \Omega - \omega _{0} k,$

(3.63)

где

$\Omega = {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle {\displaystyle \bf L}}}{\displaystyle {\displaystyle J_{x} }}}.$

(3.64)

есть составляющая угловой скорости по направлению L. Плоскость, в которой лежат ось фигуры, $\omega$ и L, поворачивается (прецессирует) вокруг направления L с угловой скоростью $\Omega,$ называемой скоростью прецессии (рис. 3.16). Само движение называется регулярной прецессией свободного симметричного волчка.

Рис. 3.16.

Отметим, что в случае веретенообразного тела, изображенного на рис. 3.16, $J_{z} \lt J_{y} ,$ поэтому $\omega _{0} \lt 0$ (см. (3.58)), и вектор - $\omega _{0} {\displaystyle \bf k}$ направлен в ту же сторону, что и k.

Замечание 1. Закрепление аксиально симметричного твердого тела в центре масс может быть выполнено не только с помощью карданова подвеса, но, например, так, как показано на рис. 3.17. Массивное тело, сечение которого плоскостью рисунка заштриховано, шарнирно закреплено в точке О, совпадающей с центром масс тела.

Рис. 3.17.

Замечание 2. Используя построение Пуансо (см. лекцию 2), регулярной прецессии свободного симметричного волчка можно дать наглядную геометрическую интерпретацию (рис. 3.18).

Рис. 3.18.

Момент импульса L, тела относительно неподвижного центра масс О представляет собой вектор, постоянный по величине и направлению. Эллипсоид инерции тела с центром в точке О, сечение которого изображено на рис. 3.18, является эллипсоидом вращения. Касательная к эллипсоиду плоскость BB' проведена через полюс Р пересечения мгновенной угловой скорости $\omega$ с эллипсоидом; эта плоскость перпендикулярна к вектору L и в лабораторной системе отсчета сохраняет свое положение неизменным. При регулярной прецессии волчка эллипсоид инерции тела катится по плоскости BB' без скольжения, так что геометрическим местом полюсов Р является окружность радиуса $R ,$ принадлежащая плоскости BB'.

Замечание 3. Во избежание путаницы отметим следующее. Описанное выше движение связано с изменением угла прецессии $\psi$ (см. рис. 1.3), поэтому оно и было названо регулярной прецессией (кинематическое определение). Однако существуют определения прецесcии как движения оси симметрии тела под действием момента внешних сил (динамическое определение, см. лекцию 4). Описанное же выше движение с точки зрения динамического определения называют нутацией.

Назад| Вперед