Астронет > Механика твердого тела. Лекции.

Астронет: Физический факультет МГУ Механика твердого тела. Лекции.
http://variable-stars.ru/db/msg/1175788/page10.html

Механика твердого тела. Лекции.

В.А.Алешкевич, Л.Г.Деденко, В.А.Караваев (Физический факультет МГУ)
Издательство Физического факультета МГУ, 1997 г. Содержание

I. Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси.

В этом случае движение твердого тела определяется уравнением

${\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle dL_{\parallel} }}{\displaystyle {\displaystyle dt}}} = M_{\parallel} .$

Здесь $L_{\parallel}$ - это момент импульса относительно оси вращения, то есть проекция на ось момента импульса, определенного относительно некоторой точки, принадлежащей оси (см. лекцию 2). $M_{\parallel}$ - это момент внешних сил относительно оси вращения, то есть проекция на ось результирующего момента внешних сил, определенного относительно некоторой точки, принадлежащей оси, причем выбор этой точки на оси, как и в случае с $L_{\parallel} ,$ значения не имеет. Действительно (рис. 3.4), $M_{\parallel} = rF\cos \alpha = \rho F,$ где $F$ - составляющая силы, приложенной к твердому телу, перпендикулярная оси вращения, $\rho$ - плечо силы $F$ относительно оси.

Рис. 3.4.

Поскольку $L_{\parallel} = J\omega$ ( $J = \int {\displaystyle \rho ^{2}} dm$ - момент инерции тела относительно оси вращения), то вместо $\frac{\displaystyle {\displaystyle dL_{\parallel} }}{\displaystyle {\displaystyle dt}}} = M_{\parallel$ можно записать

$\frac{\displaystyle {\displaystyle d}}{\displaystyle {\displaystyle dt}}}\left( {\displaystyle J\omega} \right) = M_{\parallel$

(3.8)

или

$J{\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle d\omega}}{\displaystyle {\displaystyle dt}}} = M_{\parallel} ,$

(3.9)

поскольку в случае твердого тела $J = {\displaystyle \rm const}.$

Уравнение (3.9) и есть основное уравнение динамики вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси. Его векторная. форма имеет вид:

$J{\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle d\omega}}{\displaystyle {\displaystyle dt}}} = {\displaystyle \bf M}_{\parallel}$

(3.10)

Вектор $\omega$ всегда направлен вдоль оси вращения, а $\bf M}_{\parallel$ - это составляющая вектора момента силы вдоль оси.

В случае $M_{\parallel} = 0$ получаем $\omega = {\displaystyle \rm const},$ соответственно и момент импульса относительно оси $L_{\parallel}$ сохраняется. При этом сам вектор L, определенный относительно какой-либо точки на оси вращения, может меняться. Пример такого движения показан на рис. 3.5.

Рис. 3.5.

Стержень АВ, шарнирно закрепленный в точке А, вращается по инерции вокруг вертикальной оси таким образом, что угол $\alpha$ между осью и стержнем остается постоянным. Вектор момента импульса L, относительно точки А движется по конический поверхности с углом полураствора $\beta = {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle \pi }}{\displaystyle {\displaystyle 2}}} - \alpha$ однако проекция L на вертикальную ось остается постоянной, поскольку момент силы тяжести относительно этой оси равен нулю.

Кинетическая энергия вращающегося тела и работа внешних сил (ось вращения неподвижна).

Скорость i -й частицы тела

$v_{i} = \omega \rho _{i} ,$

(3.11)

где $\rho _{i}$ - расстояние частицы до оси вращение Кинетическая энергия

$T = {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle 1}}{\displaystyle {\displaystyle 2}}}{\displaystyle \sum\limits_{i} {\displaystyle m_{i} } }v_{i}^{2} = {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle 1}}{\displaystyle {\displaystyle 2}}}{\displaystyle \sum\limits_{i} {\displaystyle m_{i} } }\rho _{i}^{2} \omega ^{2} = {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle 1}}{\displaystyle {\displaystyle 2}}}J\omega ^{2},$

(3.12)

так как угловая скорость вращения для всех точек одинакова.

В соответствии с законом изменения механической энергии системы элементарная работа всех внешних сил равна приращению кинетической энергии тела:

$\delta A = d\left( {\displaystyle {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle 1}}{\displaystyle {\displaystyle 2}}}J\omega ^{2}} \right) = J\omega \cdot d\omega = M_{\parallel} \omega \cdot dt = M_{{\displaystyle \left\| {\displaystyle } \right.}} \cdot d\varphi$

(3.13)

Работа внешних сил при повороте тела на конечный угол $\varphi _{0}$ равна

$A = {\displaystyle \int\limits_{0}^{\varphi _{0} } {\displaystyle M_{\parallel} } } \cdot d\varphi .$

(3.14)

опустим, что диск точила вращается по инерции с угловое скоростью $\omega _{0} ,$ и мы останавливаем его, прижимая какой-либо предмет к краю диска с постоянным усилием. При этом на диск будет действовать постоянная по величине сила $F_{тр} ,$ направленная перпендикулярно его оси. Работа этой силы

$A_{тр} = - F_{тр} \cdot R\varphi ,$

где $R$ - радиус диска, $\varphi$ - угол его поворота. Число оборотов, которое сделает диск до полной остановки,

$n = {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle \varphi }}{\displaystyle {\displaystyle 2\pi }}} = {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle J\omega _{0}^{2} }}{\displaystyle {\displaystyle 4\pi \cdot F_{тр} \cdot R}}},$

где $J$ - момент инерции диска точила вместе с якорем электромотора.

Замечание. Если силы таковы, что $M_{\parallel} = 0,$ то работу они не производят.

Свободные оси. Устойчивость свободного вращения.

При вращении тела вокруг неподвижной оси эта ось удерживается в неизменном положении подшипниками. При вращении несбалансированных частей механизмов оси (валы) испытывают определенную динамическую нагрузку, Возникают вибрации, тряска, и механизмы могут разрушиться.

Если твердое тело раскрутить вокруг произвольной оси, жестко связанной с телом, и высвободить ось из подшипников, то ее направление в пространстве, вообще говоря, будет меняться. Для того, чтобы произвольная ось вращения тела сохраняла свое направление неизменным, к ней необходимо приложить определенные силы. Возникающие при этом ситуации показаны на рис. 3.6.

Рис. 3.6.

В качестве вращающегося тела здесь использован массивный однородный стержень АВ, прикрепленный к достаточно эластичной оси (изображена двойными штриховыми линиями). Эластичность оси позволяет визуализировать испытываемые ею динамические нагрузки. Во всех случаях ось вращения вертикальна, жестко связана со стержнем и укреплена в подшипниках; стержень раскручен вокруг этой оси и предоставлен сам себе.

В случае, изображенном на рис. 3.6а, ось вращения является для точки В стержня главной, но не центральной, ${\displaystyle \bf L}\parallel \omega.$ Ось изгибается, со стороны оси на стержень действует сила ${\displaystyle \bf F}_{упр} ,$ обеспечивающая его вращение (в НИСО, связанной со стержнем, эта сила уравновешивает центробежную силу инерции). Со стороны стержня на ось действует сила ${\displaystyle {\displaystyle \bf F}}',$ уравновешенная силами $\bf Ф'$ со стороны подшипников.

В случае рис. 3.6б ось вращения проходит через центр масс стержня и является для него центральной, но не главной. Момент импульса относительно центра масс О не сохраняется и описывает коническую поверхность. Ось сложным образом деформируется (изламывается), со стороны оси на стержень действуют силы $\bf F}_{упр.1$ и ${\displaystyle \bf F}_{упр.2},$ момент которых обеспечивает приращение $d{\displaystyle \bf L}.$ (В НИСО, связанной со стержнем, момент упругих сил компенсирует момент центробежных сил инерции, действующих на одну и другую половины стержня). Со стороны стержня на ось действуют силы $\bf {\displaystyle F}'}_{1$ и ${\displaystyle \bf {\displaystyle F}'}_{2} ,$ направленные противоположно силам $\bf F}_{упр.1$ и ${\displaystyle \bf F}_{упр.2}.$ Момент сил $\bf {\displaystyle F}'}_{1$ и ${\displaystyle \bf {\displaystyle F}'}_{2} ,$ уравновешен моментом сил $\bf Ф'}_{1$ и ${\displaystyle \bf Ф'}_{2} ,$ возникающих в подшипниках.

И только в том случае, когда ось вращения совпадает с главной центральной осью инерции тела (рис.3.6в), раскрученный и предоставленный сам себе стержень не оказывает на подшипники никакого воздействия. Такие оси называют свободными осями, потому что, если убрать подшипники, они будут сохранять свое направление в пространстве неизменным.

Иное дело, будет ли это вращение устойчивым по отношению к малым возмущениям, всегда имеющим место в реальных условиях. Опыты показывают, что вращение вокруг главных центральных осей с наибольшим и наименьшим моментами инерции является устойчивым, а вращение вокруг оси с промежуточным значением момента инерции - неустойчивым. В этом можно убедиться, подбрасывая вверх тело в виде параллелепипеда, раскрученное вокруг одной из трех взаимно перпендикулярных главных центральных осей (рис. 3.7). Ось AA' соответствует наибольшему, ось BB' - среднему, а ось CC' - наименьшему моменту инерции параллелепипеда. Если подбросить такое тело, сообщив ему быстрое вращение вокруг оси AA' или вокруг оси CC', можно убедиться в том, что это вращение является вполне устойчивым. Попытки заставить тело вращаться вокруг оси BB' к успеху не приводят - тело движется сложным образом, кувыркаясь в полете.

Рис. 3.7.

В телах вращения устойчивой оказывается свободная ось, соответствующая наибольшему моменту инерции. Так, если сплошной однородный диск подвесить к быстровращающемуся валу электромотора (рис. 3.8, ось вращения вертикальна), то диск довольно быстро займет горизонтальное положение, устойчиво вращаясь вокруг центральной оси, перпендикулярной к плоскости диска.

Рис. 3.8.

Назад| Вперед